RIII_OCR[6]
.pdf5 Пусть функция г = {(х. у) имеет размерность длнны и {(х. у) > о во всех точках плоской дуги L AH • лежащей в плоскости Оху. Тогда
|
\ {(х. |
у) dl = |
5. |
|
|
|
||
|
LA/j |
|
|
|
|
|
|
|
где 5 - площадь части цилиндрнческои |
поверхности |
с образующими, |
||||||
параллельными оси Ог и проходящими |
через точки |
дуги L AB • |
огра |
|||||
ниченной снизу дугой L AB • сверху - |
линией пересечения цилиндрическоii |
|||||||
IIоверхнuсти с поверхностью г = f(x. у). |
а с боков - |
прямыми. |
прихо- |
|||||
z |
z=f(x,y}>O |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ---- 718 |
|
||
|
у |
|
|
|
|
|
у. |
|
хА
Рис. 14.2 |
Рис. 14.3 |
дящими через точки А и В параллельно оси Ог. На рис. 14.2 изобраil,ена описанная часть цилиндрической поверхности АВВ'А'. Если {(К, у\ < О
во всех точках плоской дуги L AlJ • ТО
\ j(x. y)d/=-5
|
L,ш |
|
|
(рис. |
14.3). И. наконец. в некоторых точках |
плоской дуги L c1B |
фУ~jКЦflЯ |
f(x. у) |
меняет знак. тогда интеграл \ f(x. |
у) d/ выражает |
раЗIfUСТЬ |
L(lFJ
площадей частей описанной цилиндрической поверхности. наХОДЯЩllХСЯ
над плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4):
\ j(x. y)d/=51-5~+5J.
L(18
Пример 3. ВЫЧИСJl!1ТЬ массу т и координаты центра масс Хс . ус
2 _('
плоской материальной дуги у = '3 х' -. О ~ х ~ 1. линейная плотносТ[,
которой Ь(х. у) = у~
~Согласно формулам (14.5) и (14.6). для случая плоско"! ДУII1
имеем.
! |
1 |
т =) Ь(х. У(Х)) -УI +(у'(x))2dx = |
~ ) х3/2 ~~dx = |
• |
• |
z
в'
у
|
|
Рис. |
14.4 |
|
|
|
l |
|
|
= |
_~.J (х' '+Х'> ") dx = |
16 |
||
|
3 |
j |
|
:)5' |
ПО ФОРМУJlам (14.7) |
находим: |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
:)5 |
( с, |
~, |
10 |
x c = |
16j1x"+x· ,)аХ=У) |
II
l
1/ |
|
~15 |
~ |
-- |
|||
. |
(.' - |
lб |
|
2 , . , ., |
35 |
- ,"Ix"+x")ilx= - |
|
J' |
24 |
~ \, |
21 |
(х +x)llx= - .....
~\2 ....
|
(l |
Пример |
4. ВLlЧIlс.'IИТЬ 11,·lOща.'l.Ь части ЦII.1l1НДlщческоИ повеРХНОСТI1 |
х' +!/' =~. |
заК,lЮЧl'Нlюii между П:IOСКОСТI,Ю Оху 11 повеРХIIОСТЬ\О 2 = |
=2+.\""/2 |
(рис. 14;'). |
~I1СIШ\l;1Я Н,10ЩС1:.lЬ S ЦII,llll1.ЧНlчео;оii ПОВl'рХНОСТI1 выражается
НlIтегра.10М
|
|
|
|
s = |
\ (2 + х"/2) dl. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
[. |
|
|
|
|
|
|
где L - |
окружность А |
П,10С;,ОСТI1 |
Оху: |
х' + у" = |
4, |
2 = |
IJ. уравнеНllе |
||||
KOTOpoil |
в |
паР3~lеТРllчеl"КОМ |
BII.'1C |
х =:2 l"OS 1. |
!I = |
2 |
sill 1. |
Тогда d! = |
|||
=2dll1 |
|
|
|
(2 + +.4cos; ') 2d 1= |
|
|
|
||||
|
|
s = |
~ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2л |
|
|
cos 21) dl |
|
||
= 4 |
~ |
(1 + со,,' 1) dl = |
4 |
~ (1 |
+ ~ |
+ ~ |
12л..... |
о
7-357 |
193 |
|
2
-2
Р If с. 14.5 |
Р н с. 14.6 |
|
|
Криволинейные интегралы второго рода |
(по координатам). Пусть |
в пространстве R' задан вектор а = Р(х, у, г) i |
+ Q(x, у' г) j + R(x, у, г) k, |
координаты которого - непрерывные функции в точках ориентированной
кривой L,18. Кривую |
LAB разобьем в |
направлении |
от А к В |
на n |
эле- |
||
|
дуг 1, и |
|
|
....... |
|
|
|
мгнтарных |
IIОСТРОИМ |
векторы |
.".1, = .".x,i + .".y,j + .".z,k, где |
~Xi, |
|||
|
|
|
....... |
|
|
|
|
~y" .".г, - |
проекции |
векторов |
.".Ii на оси координат. Начала |
этих |
век |
||
торов совпадают с началами |
элементарных дуг 1" |
а концы - |
с нх кон |
цами (рис. 14.6). На каждой элементарной части 1, выберем пронз
вольную точку М,(х" Yi, г,) и составим интегральную сумму
1" = L Р(х" у" г,) .\х, + Q(x" |
у" |
г,ру, + R (х" |
у" .(",).".г, = |
j=1 |
|
|
|
L а (Xi, |
Yi, |
г,)· М,. |
(14.9) |
i=J |
|
|
|
|
|
|
....... |
Преде.l суммы (14.9), найденный при условии, что все fbl,l-+ О, называется криволинейным интегралом второго рода или крuводинеЙНblМ интеграло,\! ПО координатам от вектор-функции а (х, у, г) по кривой
LAB И обозначается
! а(х, |
у, г) ·dl= \ |
Р(х, |
у' z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz= |
|||
LAB |
' •.4В |
|
|
|
|
|
|
|
.lim |
n |
|
....... |
|
|
|
L a(xi, |
Yi, |
г,) . bli. |
(14.10) |
|
|
|
fj/,~O |
i=J |
|
|
|
Если |
функции Р (х, |
у, г), |
Q (х, у, |
г), |
R (х, у' |
z) непрерывны в точ |
ках гладкой кривой L AB , то предел суммы (14.8) существует, т. е. сущест
еует КРИ1Jолинейный интеграл IЗторого рода (14.10).
КРИ1Jолинейные интегралы IЗторого рода обладают ОСНО1JНЫМИ С1JОЙ
СТ1Jами определенных интеграЛО1J (линейность, аДДИТИ1JНОСТЬ). Непо
среДСТIЗенно из определения КРИ1Jолннейного интеграла IЗторого рода
{:ледует, например, что он зависнт от направления интеГРИРО1Jания
вдоль кривой, т е. меняет знак при изменении ориентации крнвой:
\ а· dl = - |
\ а· dl. |
194
Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы
второго рода обозначаются |
фа. dl. В этом случае через кривую L |
, |
L |
проводится ориентироваиная поверхность и за положительное направле
ние обхода по L принимается Такое направление, при котором об
ласть поверхноtти, ограниченная кривой L, находится слева, если дви
гатьСЯ вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности (т. е. обход
контура L совершается против хода часовой стрелки).
Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части,
не имеющие общих внутренних точек и ограниченные з ~кнvтыми
кривыми L 1 И L2, ТО |
|
|
|
|
|
|
фа. dl = |
фа. dl + фа. dl, |
|
||||
L |
|
L, |
|
L, |
|
|
где направления обхода по контурам |
L, |
LI и |
L2 - всюду |
либо поло |
||
жительные, либо отрицательные. |
|
|
|
|
||
Если гладкая кривая LAB задана |
параметрическими уравнениями |
|||||
х = x(t), у = y(I), z = ги), |
где |
x(I), y(I), |
г(О - |
непрерывно |
дифферен |
|
цируемые функции, А (х(а), |
у(а), г(а» |
и |
8 (x(!i), у(!i), г(М) - соответ |
ственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычислеиия криволинейного интеграла второго рода:
|
~ Р (х, |
у, |
г) dx + Q (t", у, |
г) dy + R (х, |
у, г) dz = |
|
|||||||||
|
LA8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fI |
|
|
|
|
х'(1) +Q (x(I), |
|
|
|
|
у'(1) + R (х(ЩI4.1l) |
||||
= |
\ (Р (x(I). |
У (1), z и) |
уи), |
ги) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
y(t), z(I» г'(1» dl. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если кривая L AB лежит |
в плоскости |
Оху, |
а = |
Р (х, |
у) i + Q (х, у) j, |
||||||||||
то R(x, |
!f, |
г)==О, |
z(I)==O |
и |
формула |
(14.11) |
упрощается: |
||||||||
|
|
|
|
у) dx + Q(x, |
|
fI |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~. |
Р (х, |
у) dy = |
~ |
(Р (x(I), |
У (1» x'(I) + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
'" |
dl. |
|
|
|
|
(14.12) |
|
|
|
|
|
|
+ Q(x(I), y(I»y'(t» |
|
|
|
|
||||||
Если кривая |
LAB Лежит |
в плоскости |
Оху |
и |
задана |
уравнением |
|||||||||
у =;= Nx), |
производиая {' (х) непрерывна на отрезке [а: Ь], |
а = |
Р (х, у) i + |
||||||||||||
+ Q (х, у) J, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
.~ |
Р(х, |
y)dx+ Q(x, y)dy= ~ |
(Р(х, |
{(х)) |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-\- Q(x, ((х» "(х» dx. |
|
|
|
|
(14.13) |
|||||
Пример 5. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
/ = |
~ ydx + (х + г) dy + (х - |
|
у) dz, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где LAB - |
отрезок прямой, соединяющнй точки А(I, -1, 1) |
и 8(2, 3, 4). |
195
~ Запишем |
параметрические уравиения |
прямой |
АВ: |
х = |
1 + t, |
|||||
У = - 1 + 4t, |
z = 1 + 3t. |
На |
отрезке |
IABI |
паоаметр |
О';;;; |
t.;;;; 1 По |
|||
этому, согласно dJOомvле |
(14.11), |
|
|
|
|
|
|
|||
|
! |
- 1+ 4t) + (2 + 4t) . 4 + (2 - |
|
|
|
|
||||
I = |
\ « |
3t) . 3) dt = |
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= \ (13 + II t) dt = 18,5. .... |
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
x2d у + (х + у) dz, |
|
|
|
||
Пример 6. |
Вычислить I = |
Ф ydx - |
если L - |
крн- |
||||||
вая пересечения |
цилиндра |
х2L+ у2 = |
4 с |
плоскостью |
х + у - |
z = О, |
«пробегаемая» в положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной плоскости.
~ Найдем пара метрические уравнения кривой L. Так как проекция |
||
кривой |
|
+ у2 = 4, z = О, ТО |
можно записать, что х = 2 cos t, У = |
2 siп t. Тогда из уравнения плоскости |
|
иаходим, что z = 2 (cos t + siп t). Таким |
образом, |
|
х = 2 cos t |
} |
{ dx = - 2 sin tdt |
у = 2 sin t |
=:>- |
dy = 2 cos tdt |
z=2(cost+sint), tE[O; 2л], |
|
dz=2(-sint+cost)dt |
Отсюда по формуле (14.11) имеем: |
|
|
2л |
t + 4 (cos2 t - sin 2 t» dt = |
|
1= \ ( - 4 sin 2 t - 8 cos3 |
||
О |
|
|
2л
=\ (-2+2cos2t-8cost+8sin 2 tcost+4cos2t)dt= -4л.....
о
Пример |
7. |
|
Вычислить |
1= \ |
xydx + (х2 + у) dy, |
если |
линия |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LAB - |
дуга |
параболы |
у = |
х2 , |
расположенная |
между точками |
А (О, О) |
|||||||||||
и В(2, 4). |
|
|
|
|
|
|
случае {(х)=х2 , {'(х)=2х, ХЕ[О; 2], то, со· |
|||||||||||
~ |
Так |
как |
|
в данном |
||||||||||||||
гласно формуле (14.13), ПО,1учаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(хх |
2 |
+ (х |
2 |
2 |
) • 2х) dx = |
r |
5x |
3 |
dx = |
5 |
4 |
2 |
20..... |
|
|
|
1= ) |
|
|
+ х |
) |
|
Т х |
|
!о = |
|
оо
АЗ-14.1
t. |
Вычислить [~, если L - |
отрезок прямой у = |
|
|
|
) х-у |
|
|
|
L |
|
= -} Х - |
2, заключенный между |
точками А(О, - 2) и |
|
В(4, |
О). |
(Ответ: -{51п 2.) |
|
2. |
Вычислить фхуdl, если L - контур прямоугольника |
196
с вершинами в |
точках А(О, О), 8(4, О), |
С(4, 2), D(O, 2). |
||||
(Ответ: |
24.) |
|
|
|
|
|
3. Вычислить ~ -{2Ydl, если L - |
первая арка циклоиды |
|||||
|
|
L |
|
|
|
|
х= a(t - |
siп t), |
у = а(1 - |
cos t) (а> О). |
(Ответ: 4ла-r;;.) |
||
4. Вычислить ~ |
xyzdl, если L - |
отрезок прямой между |
||||
|
|
L |
|
|
|
|
точками |
A(I, О, |
1) |
и 8(2, |
2, 3). (Ответ: |
12.) |
5. |
Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра |
|||||
;(2 +у2 = Rx, заключенной внутри сферы х2 + у2 + Z2 = R2 . |
||||||
(Ответ: 4R2.) |
|
|
2ху) dx + (2ху + y2)dy, где LAB |
|
||
6. |
Вычислить |
~ |
(х2 - |
- |
||
|
|
LAB |
|
|
|
|
дуга |
параболы у = |
х2 |
от точки A(I, 1) |
до точки 8(2, |
4). |
|
(Ответ: 40 ~~-) |
|
xdx + ydy +(х + у - |
|
|
||
7. |
Вычислить |
~ |
1) dz, где LAB - |
отрезок прямой, соединяющей точки A(I, 1, 1) и 8(2, 3, 4).
(Ответ: 13.)
8. Вычислить ~ yzdx + zxdy + xydz, где L -- дуга Вин-
L
товой линии Х = R cos t, У = R siп t, z = at/ (2л) от точки
пересечения |
линии с |
плоскостью |
z = |
О до тоЧКи ее пере |
|||||||||
сечения с плоскостью z = |
а. |
(Ответ: |
О.) |
|
|
|
|||||||
9. |
Вычислить |
~ xydx + (у - |
х) dy, |
если линия LAB , |
со- |
||||||||
|
|
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единяющая |
тОЧКи А (О, О) и 8(1, |
1), |
задана |
уравнением: |
|||||||||
а) у=х; б) |
у=х2 ; |
В) у' =х; |
г) |
у=х3 • |
(Ответ: а) |
1/3; |
|||||||
б) 1/12; в) 17/30: г) -1/20.) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. Найти координаты центра масс первой полуарки |
|||||||||||||
циклоиды |
х = a(t - |
sin t), |
у = |
а(1 |
- |
cos t), |
t Е lO; |
лJ. |
|||||
(Ответ: 4а/3, 4а/3.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Самостоятельная |
работа |
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
~ xdl, |
если |
L - |
отрезок |
прнмой, |
соединяющей |
точ |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки А(О, О) и |
8(1, |
2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
~ (х +у) dx + (х - |
у) dy, если LAB - |
дуга параболы |
LAB
197
у=х2, лежащая между точкамl'1 А(-I, |
1) и ВО, 1}. |
||||||
(Ответ: а) -{5/2; б) 2.) |
|
|
|
|
|||
2. |
Вычислить: |
часть окружности х2 +у2 = 9 |
|
||||
а) |
~ x 2ydl, если L - |
лр |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
жащая в первом квадранте; |
|
|
|
|
|||
п) |
~ (х - у) dx +(х +у) dy, |
если |
LAB - |
отрезок |
пря- |
||
|
LA8 |
|
|
|
|
|
|
мой, соединяющий точки А(2, 3) и В(3, 5). |
|
|
|||||
(Ответ: а) 27; б) 23/2.) |
|
|
|
|
|||
3. |
Вычислить: |
|
|
|
х +2, соеди |
||
а) (~, если L - |
отрезок прямой у = |
||||||
|
J х+у |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
няющий точки А(2, 4), В(I, 3); |
|
|
|
|
|||
б) |
~ (у +x 2)dx +(2х - y)dy, если |
LAB - |
дуга парабо- |
||||
|
LA8 |
|
|
между точками А (1, |
1) и |
||
лы у = 2х - |
х2, расположенная |
||||||
В(3. |
-3). |
(Ответ: а) (-{2/2) 'П 2; б) |
12.) |
|
|
14.2.ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
спомощью КРИВOJJииейных интегралов первого рода можно вычн
слять длииу дуги кривой, массу матернальиой дуги, ее центр масс,
площади цилиндрических поверхиостей и другие величииы.
Пример J. Вычислить массу т дуги кривой L, заданиой урав
нениями х = t2/2, у = t, Z = tЭ /3, о:;::;; t :s:;; 2, если плотность в каждой ее точке 6 = 1 +4,r +у2.
~Согласно формуле (14.6), искомая масса т выражается инте-
гралом |
• |
||
|
2 |
|
|
т = J "';1+4х2 + y2 dl = J"';1+t 4 + t 2 "';t |
2 + I + t4 |
dt = |
|
L |
О |
||
|
2 |
|
|
= |
J(l +t2 +t4 )dt= 116/15. ~ |
о
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дугн
окружности х2 +у2 = R2 , расположенной в первом квадранте, и моменты
ииерции 10, 1., I g •
~Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окруж
иости, то Хс=Ус. Для нахождения х с используем первую из формул
(14.7) :
хс= Jx6d// ~ 6dl = |
1xd/j Jdl, |
||
L |
L |
L |
L |
198
поскольку {, = const. Интеграл
~ dl = {лR
L
определяет д.лину четверти рассматриваемои окружности. Вычислим
~ xdl. где х = R cos с; у = R sin 1; |
О < 1 < л/2; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = .... |
|
|
dl = Rdt. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
j(x' (1))2 |
+ (у'(1))2 |
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
,,(2 |
|
|
|
|
|
|
|
л/2 |
= R 2. |
|
|
|
||
|
|
xdl = |
~ R cos IRdl = R 2 sin 1I |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Окончательно имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R' |
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хс=ус= лR/2 =п' |
|
|
|
|
|
|||||||||
При вычислении / О, |
(К, |
/у воспользуемся формулами (14.8) и (14.3) |
|||||||||||||||||
для случая плоской |
дуги (г |
== |
О) |
и |
учтем, что / к = |
1у: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ у2) бdl = |
л(2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
[о = |
\ |
(х2 |
б \ R 2 Rdl = R3бл/2, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
п(2 |
|
|
|
|
|
|
|
:л(2 |
|
|
|
|
|
|
||
/к= ~ у2бdl= б |
~ |
R 2 sin 2 IRdl = |
~б |
~ (1 - |
cos 21) dl = лRЗб/4. |
~ |
|||||||||||||
L |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Криволннейный интеграл второго рода (14.9) |
в случае, |
когда |
а = |
||||||||||||||||
= f - |
сила, |
под |
действием |
которой |
перемещается тело, |
определяет |
|||||||||||||
работу |
силы |
F |
иа |
|
пути L AB • |
В |
этом |
заключается физический смы лл |
|||||||||||
криволинейного интеграла второго рода. |
|
yzi + xzj + xyk |
|
|
|||||||||||||||
Пример |
3. |
Вычислить |
работу |
А |
силы f |
= |
вдоль |
||||||||||||
отрезка прямой 8С, если 8(1, 1, |
1) и |
С(2. 3. 4). |
|
|
|
1 + 1: |
|||||||||||||
~ |
Запишем |
параметрические |
уравнення |
прямой |
8С: х = |
||||||||||||||
у = 1 + |
2/, z = 1 + |
31. где |
0< 1 < 1. |
Тогда работа А |
силы |
f на |
|
путн |
|||||||||||
ВС вычисляется |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
А = |
\ |
yzdx + xzdy + xydz, = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
LBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'=\(1 + |
21)(1 +31) d/ + |
(1 +1)(1 +3/) 2d/ + |
(1 +1)(1 +21) 3dl = |
||||||||||||||||
() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
\(1812 |
+221+б)dl=23. ~ |
|
|
|
|
о
Теорема (Грина), Если функции Р(х. у) и Q(x. у) непрерывны и меют непрерывные частные nроизводные в замкнутой односвязной
199
области D, лежащей в плuскости Оху и ограниченной кусочно-гладкой кривой L, то
|
фPdx + Qdy = |
)) (~; - |
~:) dxdy, |
(14.14) |
|||
|
L |
|
|
D |
|
|
|
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном на |
|||||||
правлении. |
|
|
|
|
|
|
|
Формула (14.14) называется формулой Грина. |
|
||||||
Если в некоторой областн |
D выполнены условия теоремы Грина, |
||||||
то равносильны следующие утверждения. |
|
|
|||||
1 |
ФPdx + Qdy = О, если L - |
любой замкнутый контур L, |
располо |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
женный в области D. |
|
|
|
|
|
||
2. |
Интеграл \ |
Pdx + Qdy не зависит от пути интегрирования, |
|||||
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
соединяющего точки А и В, |
где L AB Е D. |
|
|
||||
3. |
Pdx + Qdy = |
du(x, |
у), |
где |
du(x, |
у) - полный дифференциал |
|
функции и(х, у). |
|
|
|
|
|
|
|
4. Во всех точках области D справедливо равенство |
|
||||||
|
|
|
aQ |
дР |
|
(14.15) |
|
|
|
|
дх |
Ту. |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Из формулы Грина следует, |
что площадь S области D можно также |
вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
SD = -}ф- ydx + xdy,
L
где интегрирование QO контуру L производится В положительном направ
лении.
Приме~ 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пеТ.lеЙ кривой xj+x -у =0 (рис. 14.7).
-1
х
рис. 14.7
200
~ Из уравнения кривой получим, что у = ±х -,J;+I, т. е. кривая
симметрична относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = О и
x=-I; |
обе |
функции |
y=±x-v:+! |
определены |
при |
x;;'-I, |
|||||||||
а у__ ± |
00 |
при х__ оо. Перейдем к параметрическим уравнениям данной |
|||||||||||||
кривой, |
положив |
у = xl. |
Подставив |
f |
= хl |
в |
уравнение |
хЗ + х2 - |
|||||||
- у2 = |
О, |
получим |
х3 + х2 |
= |
х212, Х = |
1 |
- |
1, У = 13 - 1, |
где |
для петли |
|||||
-1<1<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
искомая |
площадь |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
[-(13 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S = |
+~ |
1) 21 + (12 - |
1) (312 - |
1)] dl = |
|
||||||||
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
~ (14 - |
|
2е+ 1) dl = |
185. |
~ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f = Ф у(1 |
- |
x2)dx + (1 +у2) xdy, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где контур L - |
окружность х2 |
+ у2 = 4, «пробегаемая» в положительном |
направлении обхода.
~для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина
(14.14) : |
|
\\ (1 + у2 - |
1 + х2) dxdy = |
|
+ у2) dxdy, |
||||
|
1 = |
\\ (х2 |
|||||||
|
|
D |
|
|
|
|
D |
|
|
где D - |
круг, |
определяемый неравенством |
х2 + у2 < 4. |
Имеем |
|||||
1 = |
\\ (х2 +y2)dxdy = |
Ix = |
р c.OS qJ, |
dxdy = |
pdpdqJ, |
I |
|||
|
D |
|
у=р SIП qJ, |
0<qJ<2л, 0<р<2 |
|||||
|
|
\\ p3dpdqJ = |
2п |
2 |
p3dp = |
|
|
||
|
|
\ |
dqJ \ |
8л. ~ |
|
||||
|
|
D' |
|
О |
О |
|
|
|
|
С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно
решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy, которое является полным днфференциалом не
которой функции u(х, у). Требуется найти эту функцию. Решение данной задачи определяется формулой
|
|
|
х |
|
У |
у) dy + С |
|
|
и (х, |
у) = |
\ Р (х, |
уо) dx + \ Q (х, |
(14.16) |
||
|
|
|
ХО |
|
Уо |
|
|
И.'IИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
У |
у) dy + С, |
|
|
u(х, |
у) = |
\ Р(Х, |
у) dx + \ Q(xo, |
(14.17) |
||
|
|
|
ХО |
|
УО |
|
|
где |
точки Мо(хо, |
уо) и |
М (х, |
у) |
принадлежат |
области |
D, в которой |
Р(х, |
у), Q(x, у) и |
их |
частные |
производные являются |
непрерывнымн |
функциями; С - ПРОИJI!i).lьная постоянная.
201