2.3 Пересечение прямой линии с поверхностью

Для определения точек пересечения прямой линии с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей (рисунок 2.4)

Алгоритм решения задачи следующий:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную секущую плоскость Ϭ.

2. Строим линию пересечения mплоскостиϬс заданной поверхностью Ф.

3. О

   Рисунок 2.4

   пределяем точки пересечения К и М прямой ℓ с построенной линией пересеченияm. Это и будут искомые точки пересечения прямой ℓ с поверхностью.

4. Определяем видимость прямой.

Нужно подчеркнуть, что вспомогательная плоскость выбирается такой, чтобы сечение поверхности было простейшим.

Рассмотрим несколько примеров на определение точек пересечения прямой с поверхностью.

Пример 1.Построить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рисунок 2.5)

Ход решения.

1. Через прямую ℓпроводим плоскостьα(ℓ×m)общего положения проходящую через вершину конуса. Такая плоскость пересекает конус по треугольнику.

2. Строим линию сечения конуса плоскостью α. Для этого определяем линию пересечения плоскости α с плоскостью основания конуса (точки1и2, соответственно точки пересечения прямыхℓиmс плоскостью основания). Горизонтальная проекция линии пересечения1,2пересекает окружность основания. Полученные точки соединяем с вершиной конуса.

3. Определяем точки К₁иМ₁пересечения прямойℓ₁с полученным сечением. Фронтальные проекции определяем по линиям связи.

4. Устанавливаем видимость прямой ℓ.

Примеры построения пересечение прямой с различными поверхностями (самостоятельно)

Пример 2.Построить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонной трехгранной призмы (рисунок 2.6).

Последовательность решения следующая:

1. Через прямую ℓпроводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскостьϬ.

2. Строим линию пересечения плоскости Ϭи призмы. Сечением является треугольник1, 2, 3.

3. Определяем точки пересечения прямой ℓ с треугольником сечения (точки LиМ).

4. Определяем видимость прямой ℓ.

Пример 3.Поострить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонного цилиндра (рисунок 2.7).

Ход решения:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную плоскость α(ℓ×m)параллельную образующим цилиндра. Плоскостьα– общего положения, гдеmпараллельна образующим цилиндра.

2. Строим линию пересечения плоскости α с поверхностью цилиндра. Плоскость параллельная образующим цилиндра рассечет цилиндр по параллелограмму. Для его построения определяем линию пересечения 1,2плоскостиαс плоскостью основания цилиндра. Из точек пересечения линии1,2с окружностью основания проводим образующие цилиндра.

3. определяем точки пересечения К₁иМ₁прямойℓ₁с линией сечения. Фронтальные проекции точекК₂иМ₂определяем по линиям связи.

4. Устанавливаем видимость прямой.

Пример 4.Построить точки пересечения прямойℓс поверхностью сферы (рисунок 2.8)

Последовательность решения:

1. Через прямую ℓпроводим горизонтально-проецирующую плоскостьδ.

2. Для построения линия пересечения сферы плоскостью α выполняем замену фронтальной плоскости проекций П₂наП₄параллельную плоскостиδ. Строим окружность радиусаR(фигура сечения) и новую проекцию прямойА₄В₄.

3. Определяем точки пересечения К₄ М₄прямойℓ₄и окружности сечения. Далее, используя линии проекционной связи строим проекции точекК₁, М₁иК₂, М₂.

4. Определяем видимость прямой ℓ,