2.4 Взаимное пересечение поверхностей Общие положения

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности σиψ(рисунке 2.9)

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1. Введем вспомогательную поверхность Ф.

2. Строим линии пересечения поверхности Фс поверхностямиσиψ (aиb).

3. Определяем точки пересечения КиМ, построенных линий пересеченияaиb.

1. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.

2. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Пересечение двух многогранников (самост)

Для построения линии пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рисунке 2.10 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD'E'F'и трехгранной пирамидыSABC. Так как призма фронтально-проецирующая,фронтальная проекция линии пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. РеброSСпересекает грани призмы в точках1и2, реброSB– в точках3и4, ребро SAне пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. По чертежу видим, что только реброDD'пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения5и6через реброDD'проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки5и6получаем, как пересечениеDD'с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

Втом случае, когда обе гранные поверхности общего положения, последовательность соединения точек вызывает затруднение. Поэтому для соединения точек используется диаграмма Ананова – условные развертки поверхностей (см. учебник).

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 2.11 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы АА',ВВ',СС'с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму по прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.