- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •1. Основи теорії похибок
- •1.1. Фізичні виміри та принципи опрацювання їхніх результатів
- •1.2. Типи похибок
- •1.3. Основи теорії випадкової похибки
- •1.4. Вилучення промахів
- •1.5. Врахування приладової похибки
- •2. Опрацювання експериментальних результатів
- •2.1. Прямі виміри
- •2.1.1. Розрахунки з використанням ms Excel
- •2.1.2. Розрахунки з використанням калькулятора
- •2.2. Непрямі виміри
- •2.2.1. Відтворювані умови експерименту
- •2.2.2. Невідтворювані умови експерименту
- •2.2.3. Апроксимація методом найменших квадратів
- •2.2.4. Похибки при одноразовому непрямому вимірі
- •2.2.5. Похибки непрямих вимірів за відтворюваних умов
- •2.2.6. Похибки непрямих вимірів за невідтворюваних умов
- •3. Правила наближених обчислень
- •4. Тест самоконтролю
- •5. Коментарі до питань самоконтролю
- •6. Розрахунково-графічна робота. Похибки прямих вимірювань
- •6.1. Завдання
- •6.2. Приклад виконання завдання
- •7. Розрахунково-графічна робота. Похибки непрямих вимірювань
- •7.1. Завдання
- •7.2. Приклад виконання завдання
- •8. Розрахунково-графічна робота. Лінійна апроксимація
- •8.1. Завдання а для варіантів 01 – 25
- •8.2. Приклад виконання завдання а
- •8.3. Завдання b для варіантів 26 – 50
- •8.4. Приклад виконання завдання в
- •8.5. Завдання с для варіантів 51 - 75
- •8.6. Приклад виконання завдання с
- •8.7. Завдання d для варіантів 76 - 00
- •8.8. Приклад виконання завдання d
- •Література
7. Розрахунково-графічна робота. Похибки непрямих вимірювань
7.1. Завдання
За заданими в табл. 7.4 результатами прямих вимірювань (середні значення , їхні граничні похибкипри надійних ймовірностях) знайдіть середнє значеннярезультату непрямих вимірювань. Аргументи тригонометричних функцій даються в радіанах. Для заданого значення надійної ймовірностізнайдіть граничні похибки,, граничну похибкуі відносну граничну похибкусереднього значення вимірюваної величини. Побудуйте графік функції за зразком рис. 7.1.
Номер Вашого варіанту відповідає двом останнім цифрам номера залікової книжки.
7.2. Приклад виконання завдання
Дані, за якими виконуються розрахунки, наведені в табл. 7.1, результати розрахунків заносяться до табл. 7.2
Таблиця 7.1
Варіант | ||||||||
* |
2 |
0,08 |
0,95 |
0,23 |
0,02 |
0,90 |
0,90 |
Таблиця 7.2
0,067 |
0,02 |
1,685 |
7,19 |
1,68 |
0,18 |
11 |
Знаходимо середнє значення результату непрямих вимірювань:
.
Оскільки гранична похибка середнього значення величинидається з надійною ймовірністю, а для результатупотрібна надійна ймовірність, то перераховуємо граничну похибку до заданої надійної ймовірності:
.
Значення коефіцієнтів Стьюдента іберемо з табл. 1.1.
Оскільки гранична похибка середнього значення величинидається з потрібною надійною ймовірністю, то .
Знаходимо частинні похідні від функції :
; .
Знаходимо значення частинних похідних у точках середніх значень :
;
.
Знаходимо граничну похибку результату непрямих вимірювань
.
Результат непрямих вимірювань подаємо у вигляді: .
Відносна гранична похибка середнього значення вимірюваної величини
.
Виконуємо необхідні розрахунки (див. табл. 7.3) і будуємо графік залежності (рис. 7.1).
Таблиця 7.3
1,0 |
0,62 | |
1,5 |
1,02 | |
2,0 |
1,68 | |
2,5 |
2,78 | |
3,0 |
4,58 |
Рис. 7.1. Графік функції . |
Таблиця 7.4
Похибки непрямих вимірювань
Варіант | ||||||||
01 |
122 |
8 |
0,95 |
1,23 |
0,11 |
0,90 |
0,90 | |
02 |
218 |
12 |
0,90 |
0,86 |
0,06 |
0,95 |
0,90 | |
03 |
148 |
13 |
0,95 |
2,15 |
0,13 |
0,90 |
|
0,95 |
04 |
50 |
4 |
0,90 |
7,49 |
0,12 |
0,95 |
|
0,95 |
05 |
222 |
12 |
0,95 |
3,82 |
0,32 |
0,90 |
|
0,90 |
06 |
18 |
2 |
0,90 |
2,15 |
0,15 |
0,95 |
|
0,90 |
07 |
308 |
25 |
0,95 |
1,11 |
0,10 |
0,90 |
|
0,95 |
08 |
431 |
19 |
0,90 |
0,52 |
0,04 |
0,95 |
|
0,95 |
09 |
250 |
15 |
0,95 |
0,72 |
0,03 |
0,90 |
|
0,90 |
10 |
187 |
14 |
0,90 |
0,58 |
0,08 |
0,95 |
|
0,90 |
11 |
66 |
7 |
0,95 |
2,18 |
0,23 |
0,90 |
|
0,95 |
12 |
542 |
38 |
0,90 |
2,14 |
0,09 |
0,95 |
|
0,95 |
13 |
814 |
42 |
0,95 |
2,87 |
0,08 |
0,90 |
|
0,90 |
14 |
90 |
5 |
0,90 |
4,13 |
0,12 |
0,95 |
|
0,90 |
15 |
545 |
49 |
0,95 |
5,58 |
0,17 |
0,90 |
|
0,95 |
16 |
220 |
17 |
0,90 |
2,14 |
0,14 |
0,95 |
|
0,95 |
17 |
169 |
15 |
0,95 |
0,38 |
0,06 |
0,90 |
|
0,90 |
18 |
414 |
28 |
0,90 |
0,54 |
0,08 |
0,95 |
|
0,90 |
19 |
340 |
24 |
0,95 |
1,12 |
0,09 |
0,90 |
|
0,95 |
20 |
271 |
17 |
0,90 |
9,99 |
0,92 |
0,95 |
|
0,95 |
21 |
336 |
31 |
0,95 |
2,14 |
0,14 |
0,90 |
|
0,90 |
22 |
52 |
6 |
0,90 |
0,60 |
0,04 |
0,95 |
|
0,90 |
23 |
189 |
8 |
0,95 |
0,44 |
0,05 |
0,90 |
|
0,95 |
24 |
82 |
7 |
0,90 |
0,31 |
0,03 |
0,95 |
|
0,95 |
25 |
22 |
2 |
0,95 |
0,27 |
0,02 |
0,90 |
|
0,90 |
26 |
11 |
1 |
0,90 |
0,09 |
0,01 |
0,95 |
|
0,90 |
27 |
981 |
31 |
0,95 |
1,38 |
0,12 |
0,90 |
|
0,95 |
28 |
28 |
2 |
0,90 |
0,80 |
0,02 |
0,95 |
|
0,95 |
29 |
99 |
2 |
0,95 |
0,70 |
0,01 |
0,90 |
|
0,90 |
30 |
120 |
4 |
0,90 |
0,50 |
0,03 |
0,95 |
|
0,90 |
Продовження таблиці 7.4
Похибки непрямих вимірювань
Варіант | ||||||||
31 |
122 |
8 |
0,95 |
1,23 |
0,11 |
0,90 |
0,95 | |
32 |
218 |
12 |
0,90 |
0,86 |
0,06 |
0,95 |
0,95 | |
33 |
148 |
13 |
0,95 |
2,15 |
0,13 |
0,90 |
|
0,90 |
34 |
50 |
4 |
0,90 |
7,49 |
0,12 |
0,95 |
|
0,90 |
35 |
22 |
2 |
0,95 |
3,82 |
0,32 |
0,90 |
|
0,95 |
36 |
18 |
2 |
0,90 |
2,15 |
0,15 |
0,95 |
|
0,95 |
37 |
308 |
25 |
0,95 |
1,11 |
0,10 |
0,90 |
|
0,90 |
38 |
43 |
5 |
0,90 |
0,52 |
0,04 |
0,95 |
|
0,90 |
39 |
250 |
15 |
0,95 |
0,72 |
0,03 |
0,90 |
|
0,95 |
40 |
187 |
14 |
0,90 |
0,58 |
0,08 |
0,95 |
|
0,95 |
41 |
66 |
7 |
0,95 |
2,18 |
0,23 |
0,90 |
|
0,90 |
42 |
42 |
3 |
0,90 |
2,14 |
0,09 |
0,95 |
|
0,90 |
43 |
14 |
2 |
0,95 |
2,87 |
0,08 |
0,90 |
|
0,95 |
44 |
90 |
5 |
0,90 |
4,13 |
0,12 |
0,95 |
|
0,95 |
45 |
45 |
4 |
0,95 |
5,58 |
0,17 |
0,90 |
|
0,90 |
46 |
220 |
17 |
0,90 |
2,14 |
0,14 |
0,95 |
|
0,90 |
47 |
169 |
15 |
0,95 |
0,38 |
0,06 |
0,90 |
|
0,95 |
48 |
14 |
2 |
0,90 |
0,54 |
0,08 |
0,95 |
|
0,95 |
49 |
40 |
4 |
0,95 |
1,12 |
0,09 |
0,90 |
|
0,90 |
50 |
271 |
17 |
0,90 |
9,99 |
0,92 |
0,95 |
|
0,90 |
51 |
336 |
31 |
0,95 |
2,14 |
0,14 |
0,90 |
|
0,95 |
52 |
52 |
6 |
0,90 |
0,60 |
0,04 |
0,95 |
|
0,95 |
53 |
189 |
8 |
0,95 |
0,44 |
0,05 |
0,90 |
|
0,90 |
54 |
82 |
7 |
0,90 |
0,31 |
0,03 |
0,95 |
|
0,90 |
55 |
22 |
2 |
0,95 |
0,27 |
0,02 |
0,90 |
|
0,95 |
56 |
11 |
1 |
0,90 |
0,09 |
0,01 |
0,95 |
|
0,95 |
57 |
981 |
31 |
0,95 |
1,38 |
0,12 |
0,90 |
|
0,90 |
58 |
8 |
0 |
0,90 |
1,22 |
0,03 |
0,95 |
|
0,90 |
59 |
12 |
1 |
0,95 |
0,35 |
0,02 |
0,90 |
|
0,95 |
60 |
0,2 |
0,02 |
0,90 |
0,23 |
0,05 |
0,95 |
|
0,95 |
Продовження таблиці 7.4
Похибки непрямих вимірювань
Варіант | ||||||||
61 |
122 |
8 |
0,95 |
1,23 |
0,11 |
0,90 |
0,90 | |
62 |
218 |
12 |
0,90 |
0,86 |
0,06 |
0,95 |
0,90 | |
63 |
148 |
13 |
0,95 |
2,15 |
0,13 |
0,90 |
|
0,95 |
64 |
14 |
1 |
0,90 |
7,49 |
0,12 |
0,95 |
|
0,95 |
65 |
12 |
1 |
0,95 |
3,82 |
0,32 |
0,90 |
|
0,90 |
66 |
18 |
2 |
0,90 |
2,15 |
0,15 |
0,95 |
|
0,90 |
67 |
308 |
25 |
0,95 |
1,11 |
0,10 |
0,90 |
|
0,95 |
68 |
431 |
19 |
0,90 |
0,52 |
0,04 |
0,95 |
|
0,95 |
69 |
250 |
15 |
0,95 |
0,72 |
0,03 |
0,90 |
|
0,90 |
70 |
187 |
14 |
0,90 |
0,58 |
0,08 |
0,95 |
|
0,90 |
71 |
66 |
7 |
0,95 |
2,18 |
0,23 |
0,90 |
|
0,95 |
72 |
542 |
38 |
0,90 |
2,14 |
0,09 |
0,95 |
|
0,95 |
73 |
814 |
42 |
0,95 |
2,87 |
0,08 |
0,90 |
|
0,90 |
74 |
90 |
5 |
0,90 |
4,13 |
0,12 |
0,95 |
|
0,90 |
75 |
545 |
49 |
0,95 |
5,58 |
0,17 |
0,90 |
|
0,95 |
76 |
220 |
17 |
0,90 |
2,14 |
0,14 |
0,95 |
|
0,95 |
77 |
169 |
15 |
0,95 |
0,38 |
0,06 |
0,90 |
|
0,90 |
78 |
414 |
28 |
0,90 |
0,54 |
0,08 |
0,95 |
|
0,90 |
79 |
340 |
24 |
0,95 |
1,12 |
0,09 |
0,90 |
|
0,95 |
80 |
271 |
17 |
0,90 |
9,99 |
0,92 |
0,95 |
|
0,95 |
81 |
336 |
31 |
0,95 |
2,14 |
0,14 |
0,90 |
|
0,90 |
82 |
52 |
6 |
0,90 |
0,60 |
0,04 |
0,95 |
|
0,90 |
83 |
189 |
8 |
0,95 |
0,44 |
0,05 |
0,90 |
|
0,95 |
84 |
82 |
7 |
0,90 |
0,31 |
0,03 |
0,95 |
|
0,95 |
85 |
22 |
2 |
0,95 |
0,27 |
0,02 |
0,90 |
|
0,90 |
86 |
11 |
1 |
0,90 |
0,09 |
0,01 |
0,95 |
|
0,90 |
87 |
981 |
31 |
0,95 |
1,38 |
0,12 |
0,90 |
|
0,95 |
88 |
12 |
1 |
0,90 |
1,2 |
0,05 |
0,95 |
|
0,95 |
89 |
5 |
0,2 |
0,95 |
0,8 |
0,02 |
0,90 |
|
0,90 |
90 |
16 |
0,5 |
0,90 |
1,1 |
0.03 |
0,95 |
|
0,90 |
Продовження таблиці 7.4
Похибки непрямих вимірювань
Варіант | ||||||||
91 |
22 |
2 |
0,95 |
1,23 |
0,11 |
0,90 |
0,95 | |
92 |
18 |
1 |
0,90 |
0,86 |
0,06 |
0,95 |
0,95 | |
93 |
12 |
1 |
0,95 |
2,15 |
0,13 |
0,90 |
|
0,90 |
94 |
45 |
4 |
0,90 |
7,49 |
0,12 |
0,95 |
|
0,90 |
95 |
22 |
2 |
0,95 |
3,82 |
0,32 |
0,90 |
|
0,95 |
96 |
8 |
1 |
0,90 |
2,15 |
0,15 |
0,95 |
|
0,95 |
97 |
30 |
5 |
0,95 |
1,11 |
0,10 |
0,90 |
|
0,90 |
98 |
13 |
1 |
0,90 |
0,52 |
0,04 |
0,95 |
|
0,90 |
99 |
25 |
4 |
0,95 |
0,72 |
0,03 |
0,90 |
|
0,95 |
00 |
18 |
1 |
0,90 |
0,58 |
0,08 |
0,95 |
|
0,95 |