16_07_15_Konspekt_Lektsiy_dlya_PGS

Алгоритм решения:

1.х12 А2А1.

2.П2 П4, П4 П1; П4 АВС; П4 h x14 h1.

3.Расстояние х14А4 = х12А2, х14В4 = х12В2, х14С4 = х12С2.

Четвертая основная задача преобразования комплексного чертежа

Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала бы плоскостью уровня.

Четвертая задача решается после решения третьей задачи (рис. 2.18).

		Â2
				Натуральная величина АВС			À5
	À2	h
		2
		Ñ2		Ñ5
õ1 2	Ï
	Ï2
	1	Ñ1		C4
	À1
		h					Â5
		1
		ã)		À4
		Â1
		Ï	Ï
		1			Ï
			4
		õ1 4		Â		5
					4
				4	Ï	5
						õ4

Рисунок 2.18. Четвертая основная задача преобразования проекций

Алгоритм решения:

1.х12 А2А1.

2.П2 П4, П4 П1; П4 АВС; П4 h x14 h1.

3.Расстояние х14А4 = х12А2, х14В4 = х12В2, х14С4 = х12С2.

4.П1 П5, П5 П4; П5 || АВС x45 || A4B4C4.

5.Расстояние х45А5 = х14А1, х45В5 = х14В1, х45С5 = х14С1.

6.А5В5С5 = | АВС|.

30

Вращение вокруг проецирующих осей

Рассмотрим сначала вращение точки вокруг оси, перпендикулярной П1.

Задача: Точку А (рис. 2.19) повернуть в пространстве вокруг оси i ^ П1 на некоторый угол j по ходу часовой стрелки.

ι2			A2		ι
						A

ι1 A1

Рисунок 2.19. Вращение вокруг проецирующей оси

Построение пространственной модели (рис. 2.20).

2

A2

ι2

A2

O2

S	ι
2

Îf

A

ι1=Î1

j

A1

A

A1

1

Рисунок 2.20. Вращение вокруг проецирующей оси в пространстве При выполнении операции вращения должны присутствовать пять основных геомет-

рических элементов:

1.i - ось вращения;

2.А - вращаемая точка;

3.S - плоскость вращения точки А (А Î S, S ^ i);

4.O - центр вращения точки А (O = i Ç S );

5.АO - радиус вращения точки.

Как показывает практика, часто задается угол вращения j.

31

Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа способом вращения вокруг проецирующей оси

Первая основная задача преобразования комплексного чертежа

Перевести прямую общего положения - в частное, т.е. чтобы прямая общего поло-

жения после поворота оказалась параллельной одной из плоскостей проекций.

Прямую АВ (рис. 2.21) поставить в положение фронтали.

			ι						ι2
Â	Â		2	1		Â				1
			Â						Â
2	2		2			2			2

À2

À2

1

α

À2

α

À2

Â

1

À

À1 =ι1

À1 =ι1

Â

1

1

1

À1

Â1

Â1

Â1

а)

AB– прямая

б) i П1

в) прямая AB за-

г) AB (AB1) -

общего положния

няла положение

фронталь

фронтали Рисунок 2.21. Первая основная задача преобразования проекций

Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа

Прямую общего положения СD поставить в положение проецирующей прямой.

Построения выполняем в два этапа (рис. 2.22, 2.23).

			D2
Ñ2			ι2= Ñ2
Ñ1			Ñ1
			ι1
			D1

а) CD – прямая общего положения

D2		D2
	ι2= Ñ2		D2	1	Ñ		D	1
					2		2
	Ñ1	β			Ñ1		β
	ι1
D1				1				1
		D1	D1				D1
б) i П2	в)	прямая	CD			г)	CD(CD’)	-
	заняла положение					горизонталь
	горизонтали

Рисунок 2.22. Вторая основная задача преобразования проекций, первый этап

32

								D2	ι	2
									2
ι	2
2						ι = Ñ
Ñ2	(D	1	) =Ñ2		2				(D2		1	2
		2				2	2				)	=Ñ2
Ñ1							Ñ1	β
	D 11 = ι1			2				ι1
								D	D1	1= ι1		2
								1

Ñ 2	Ñ 2
1	1

(D2 1 ) =Ñ2 2

D1 1

Ñ1 2

Рисунок 2.23. Вторая основная задача преобразования проекций, второй этап

Третья основная задача преобразования комплексного чертежа

Плоскость общего положения поставить в положение проецирующей плоскости,

Г(АВС) П2 (рис. 2.24).

		Â2	ι	1		Â2	ι	1				Â2	ι	1
													2
			2				2
	1	h2		Ñ	12	h	Ñ = Ñ		1		12	h2			1
À2	2								= h				Ñ2 = Ñ2
				2	À2	2	2	2		2
											À2
				1
			Ñ1 =ι1											1	1
							Ñ =ι		1= Ñ	1			Ñ1 =ι1 = Ñ1
							1	1	1		À1
À1		h1				h1						h1
					À1						11			1
	1	Â1					h	1					h1
	1				11							Â1
							1
						Â1									Â1
												À	1
												1

Рисунок 2.24. Третья основная задача преобразования проекций Полное решение показано на рисунке 2.25.

33

		Â2	ι				Â2	1		Γ2		1	Â	1
				1									2
			2					Γ	1	Ñ2	1
	12	h						2		1
									À2
À2		2		Ñ2		1
					= Ñ2
			À2	1							Ñ1	1
				Ñ =ι		1= Ñ	1	Γ	1
				1	1	1			1
À1		h1
	11			h	1
				1										Â	1
		Â1					1							1
						Â1								1
									À	1				Γ1
				1
				À1					1

Рисунок 2.25. Третья основная задача преобразования проекций

Четвертая основная задача преобразования комплексного чертежа

Плоскость общего положения поставить в положение плоскости уровня, Г(АВС) ||

П1.

Построения выполняем,

(рис.2.26)

				Γ		1			1=ι
					2			Â
								2		2
					Ñ	1
					2
	À		1
	2						Ñ	1
Γ1	1						1			ι
										1
									Â	1
									1
					1
			À
			1

последовательно решая две задачи: третью и четвертую

										Γ		2
											2
		ι	1
		2		ι1
2					2		1		2
					=Â2			=Â2
										À		2
								Ñ	2	2
					1			2
		Ñ = Ñ
		2		2
À2	1	Ñ1 =ι1		1= Ñ1		1			Ñ	2
									1
2			ι	2
			1
		h	1					h	2			2
		1						1			Γ1
			Â1		1=Â1		2			À1	2
À1	1

Рисунок 2.26. Четвертая основная задача преобразования проекций

34

Полное решение показано на рисунке 2.27.

													Γ		2
															2
				ι	1
				2
		Â			ι1		2=Â2		1 =Â2	2
		2										À		2
	12	h							Ñ	2			2
									2
À		2		Ñ = Ñ			1
2				2		2
		À2	1	Ñ1 =ι1		1= Ñ1		1			Ñ	2
											1
À		h1				ι1	2
1	1			h	1				h		2
	1			1						1
		Â1					1=Â1		2
						Â1						À	2
		À	1									1
		1

Рисунок 2.27. Четвертая основная задача преобразования проекций

Вращение вокруг линий уровня (совмещение)

При решении метрических задач способом вращения вокруг линии уровня отрезок прямой, плоскость, плоскую фигуру и т. д. совмещают с плоскостью уровня. Заданный объект проецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения. На этом способе основано построение разверток цилиндрических и призматических поверхностей способом раскатки.

Рассмотрим способ вращения точки B вокруг горизонтали (рис. 2.28).

Рисунок 2.28. Вращение точки B вокруг горизонтали

35

Рис. 2.28 иллюстрирует общий принцип построения при решении задач методом вра-

щения вокруг линии уровня.
Определим	угол	между	двумя
пересекающимися прямыми m и n (рис. 2.29).
Для решения задачи строим фронталь 12, во-
круг которой будем вращать прямые m и n до поло-
жения, при котором угол между m и n будет иметь
натуральную величину, т.е. вся плоскость mхn
спроецируется в н.в. на π2. Согласно теореме о
проецировании прямого угла из проекции точки
пересечения прямых А2 строим перпендикуляр к
проекции прямой 1222 и на их пересечении получим
О2. При вращении плоскости mхn вокруг 12
проекция точки А2 будет описывать дугу, радиус
которой r = ОА, после вращения, должен
спроецироваться в н.в. Определим значение радиу-				Рисунок 2.29. Угол между двумя
са вращения r (н.в. ОА) методом прямоугольного				прямыми

треугольника. Для этого перпендикулярно О2А2 из

А2 строим отрезок А2А* равный разнице YА – Y О, измеренной на π1 (отмечен засечкой). Соединив О2 с концом отложенного отрезка А*, получим r = н.в. ОА – радиуса вращения. В π2 перпендикулярно 1222 из О2 строим отрезок О2А2' длиной r (вокруг прямой 1222 осуществили вращение до положения параллельного π2) и получаем н. в. угла между m и n, а также плоскости, которую эти прямые определяют.

Построение разверток: способ раскатки, способ триангуляции

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

36

Основные свойства развертки:

∙Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой;

∙Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;

∙Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке;

∙Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;

∙Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхно-

сти, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. Построение разверток поверхностей представляет собой важную техническую задачу

и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала, так как в промышленности применяется много конструкций в виде сосудов и трубопроводов, выполненных из листового материала способом изгибания. Одним из важных этапов в проектировании таких конструкций является построение разверток.

При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии соответствует линия на развертке и наоборот.

Рассмотрим два способа построения развертки многогранных поверхностей:

1.Способ раскатки;

2.Способ треугольника.

Способ раскатки. При построении разверток данным способом поверхность цилиндра или призмы разрезается по одной из образующих или по одному ребру и совмещается вращением вокруг образующей или вокруг ребра с некоторой плоскостью.

Данный способ обычно применяется в случае, когда образующие цилиндра или ребра призмы являются линиями уровня. Если образующие цилиндра или ребра призмы не являются линиями уровня, то предварительно одним из способов преобразования комплексного чертежа их надо привести в положение линий уровня.

37

Рассмотрим построение чертежа развертки поверхности призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня, а нижнее основание является горизонтальной плоскостью уровня, представленное на рис. 2.30.

Рисунок 2.30. Построение чертежа развертки поверхности призмы

За плоскость развертки примем плоскость β, проходящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекций. Совместим грань ADEB с плоскостью β. Для этого мысленно разрежем призму по ребру AD, и выполним поворот грани ADEB вокруг ребра AD. Из точки B" опускаем луч, перпендикулярный к A"D" и засекаем на нем дугой радиуса A`B`, проведенной из центра A", точку B0. Из точки B0 проводим прямую B0E0, параллельную A"D". Совмещенное положение ребра B0E0 принимаем за новую ось и вращаем вокруг нее грань BEFC до совмещения с плоскостью β. Из точки C" опускаем луч, перпендикуляр-

38

ный к B"E", а из точки B0 – дугой окружности радиусом B`C` засекаем на нем положение точки C0. Из C0 проводим C0F0 параллельно B0E0. Аналогично определяется положение ребра A0D0. Соединив точки A"B0C0A0 и D"E0F0D0 прямыми, получим фигуру A"B0C0A0D0E0F0D" – развертку боковой поверхности призмы. Полная развертка призмы будет получена, если к каким-либо из звеньев ломаных линий A"B0C0A0 и D"E0F0D0 пристроить треугольники основания A0B0C0 и D0E0F0. Способ раскатки применяется также для получения развертки цилиндрической поверхности.

Способ триангуляции. Развертки конических, пирамидальных и других линейчатых поверхностей, за исключением цилиндрических, поверхностей строятся способом триангуляции (способом треугольников). Способ заключается в следующем: данная поверхность

заменяется вписанной или описанной многогранной поверхностью с треугольными гранями и строится развертка этой многогранной поверхности.

Другими словами, построение разверток указанных поверхностей сводится к мно-

гократному построению натурального вида треугольников.

Рассмотрим применение этого способа для построения разверток пирамидальных поверхностей на примере наклонной треугольной пирамиды (рис. 2.31). Развертка боковой поверхности пирамиды - плоская фигура, состоящая из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки сводится к определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем известным сторонам треугольников - граней пирамиды.

Рисунок 2.31. Построение чертежа развертки поверхности пирамиды

39