16_07_15_Konspekt_Lektsiy_dlya_PGS

Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей l по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим а и b, причем во всех своих положениях обра-

зующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ (рис. 4.3, в).

Линейчатые поверхности с тремя направляющими. Однополостный гиперболоид

образуется вращением прямолинейной образующей l по трем криволинейным направляющим а, b и c (рис. 4.4).

Винтовой поверхностью называется поверхность, которую образует некоторая линия, совершающая винтовое движение.

Винтовым движением называют такое сложное движение, которое является результатом двух одновременных движений: вращательного и поступательного. При этом вращение происходит вокруг оси винта i, а поступательное – вдоль оси i.

Если отношение скоростей этих движений есть величина постоянная, то образуется поверхность с постоянным шагом; в противном случае - с переменным шагом.

Ходом винтовой поверхности называется линейное перемещение Р образующей l за один оборот (рис. 4.4). Каждая точка образующей l описывает при ее движении винтовые линии m – направляющие поверхности.

Рисунок 4.4. Винтовые поверхности

60

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или нет (рис. 4.3, 4.4).

Циклические поверхности. Циклической поверхностью называется поверхность,

которая образовывается при произвольном движении окружности постоянного или переменного радиуса.

Различают два основных вида циклических поверхностей:

Каналовая поверхность образуется движением окружности m переменного радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой l (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой (рис. 4.5, а).

Трубчатая поверхность отличается от каналовой только тем, что образующая ее окружность m имеет постоянный радиус (рис. 4.5, б).

Рисунок 4.5. Циклические поверхности

Поверхности вращения. Поверхности вращения образуются при вращении некоторой произвольной линии вокруг оси. В этом случае образующей является указанная линия, а направляющей – замкнутая кривая 2-го порядка: эллипс или, чаще всего, окружность.

Пусть произвольная линия AGEB вращается вокруг оси i. Тогда она образует поверхность вращения (рис. 4.6).

61

Рисунок 4.6. Образование поверхности вращения

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось i, называется меридианом (например A*G*E*B*). Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной П2, называется главным. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси i, называется параллелью. Таковыми являются направляющие, проходящие через точки АА*, ВВ*, ЕЕ*, GG*. Параллель, проходящая через наиболее удаленную от оси точку Е образующей, называется экватором, а через самую близкую точку G – горлом. Очевидно, что все параллели представляют собой окружности.

Форма поверхности вращения определяется формой образующей.

Поверхности вращения делятся на линейчатые, когда образующая – прямая и не линейчатые, когда образующая – кривая.

Линейчатые поверхности вращения. В зависимости от положения прямой образующей по отношению к оси вращения, линейчатые поверхности делятся на цилиндрическую, коническую и однополостный гиперболоид вращения.

Цилиндрическая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, параллельной оси вращения (рис. 4.7).

Коническая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, которая пересекает ось (рис. 4.8).

62

Рисунок 4.7. Цилиндрическая поверхность

Рисунок 4.8. Коническая поверхность

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой – образую-

щей, скрещивающейся с осью вращения.

На рис. 4.9 построен однополостный гиперболоид вращения. Для построения этой поверхности изображено двенадцать положений образующей. Главным меридианом гиперболоида вращения будет гипербола.

Поэтому если гиперболу вращать вокруг оси, также получим гиперболоид вращения.

Рисунок 4.9. Однополостный гиперболоид вращения

63

Нелинейчатые поверхности вращения (криволинейные). В зависимости от формы образующей и положения оси вращения получается тот или иной вид поверхности вращения:

сфера (рис. 4.10, а), тор (рис. 4.10, б), эллипсоид (рис. 4.10, в) и др.

Рисунок 4.10. Сфера, тор, эллипсоид

Гранные поверхности. Если образующей является прямая линия, а направляющей ломаная, получаем гранную поверхность. Когда образующая закреплена в одной точке, при движении по направляющей она вычерчивает пирамидальную поверхность (рис. 4.11, а). Если образующая перемещается параллельно какому-либо направлению, получаем призматическую поверхность (рис. 4.11, б).

а)

б)

Рисунок 4.11. Образование гранных поверхностей

64

Ограничив призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, пересекающими образующие, получаем призму. Ограничив пирамидальную поверхность одной плоскостью, будем иметь пирамиду. Тогда эти секущие плоскости называются основаниями многогранника, а образующие поверхности – боковыми поверхностями.

Принадлежность точки и линии поверхности

Построение любых проекций точек на поверхности многогранника либо кривой поверхности осуществляется наиболее эффективно при помощи образующих и направляющих, хотя можно использовать и другие приемы. Как правило, задача формулируется следующим образом: на двух проекциях заданной поверхности начертить недостающие проекции точки или линии.

Рассмотрим пример. Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции наклонной призмы. Требуется построить отсутствующие проекции точек на ее поверхности, если на чертеже (рис. 4.12) есть точки 12, (21), (31), 41, (52). Построим последовательно отсутствующие проекции точек.

Рисунок 4.12. Построение точек на поверхности призмы

65

Рассмотрим задачу построения проекций точек, лежащих на поверхности прямой пирамиды (рис. 4.13). Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции пирамиды SABC и проекции точек 12, 22, 32. Надо построить третью проекцию пирамиды и отсутствующие проекции точек 1, 2, 3.

Для построения профильной проекции пирамиды через вершину S проведем фронтальную плоскость уровня. Тогда ее горизонтальная Ф1 и профильная Ф3 проекции будут служить базовыми линиями взамен традиционных осей проекций ОХ и ОY. Точку S3 получаем по линиям связи на базовой линии. Затем определяем положение точек А3=С3 и В3, откладывая от базовой линии Ф3 отрезки, равные расстояниям от А1, С1, В1 до Ф1 соответственно. Соединив точки основания вершиной, получаем профильную проекцию пирамиды. Как видим, грань SAC на профильной плоскости проекций вырождается в линию S3A3 (или S3C3).

Решим вторую часть задачи – построение отсутствующих проекций точек. Последовательность решения ясна из рис. 4.13. Для определения положения недостающих проекций точек 1, 2 используем образующие пирамиды.

Рисунок 4.13. Построение точек на поверхности пирамиды

66

Однако для определения положения горизонтальной проекции 31 использовать образующую не представляется возможным, так как ребро SB, на котором лежит точка 3, в проекциях на П1, П2 дает вертикальную прямую (т.е. является профильной линией уровня). В этом случае используют линию, параллельную основанию.

Линию на поверхности многогранника можно построить по характерным точкам, которыми являются точки ее изгиба и точки перехода через ребра. При этом следует помнить, что ломаная линия на поверхности многогранника будет ломаной, состоящей из отрезков прямой, в любой плоскости проекций, а кривая – кривой (за исключением частных случаев).

Рассмотрим пример. По фронтальной проекции А2В2С2D2 ломаной линии, лежащей на поверхности прямой шестигранной призмы (рис. 4.14), построить горизонтальную и профильную проекции.

Рисунок 4.14. Построение ломаной линии на поверхности призмы

Поскольку призма прямая и ее боковые ребра являются горизонтальнопроецирующими линиями, то на П1 ее боковые грани вырождаются в отрезки прямой, составляющие ломаную линию (шестиугольник). Следовательно, горизонтальная проекция любой точки боковой поверхности призмы лежит на этом шестиугольнике, в том числе и точки линии А1В1С1D1..

67

Для построения профильной проекции А3В3С3D3 требуется найти промежуточные точки ломаной, лежащие на ребрах призмы. Это точки 1, 2, 3, 4, являющиеся также характерными. Аналогично строим точки В3, D3. Они лежат на том же ребре, т.к. грань, являющаяся фронтальной линией уровня, превращается на П3 в прямую. Точки А3, С3 получаем, откладывая от Ф3 вправо по линии связи с А2, С2 расстояние, отмеренное от А1, С1 до Ф1. Соединяя полученные точки, имеем решение в виде замкнутой ломаной А313В323С343D333А3. Заметим, если линия на поверхности многогранника замкнутая, то и все ее проекции замкнутые линии.

Рассмотрим задачу построения проекций точки и линии, лежащих на поверхности ко-

нуса (рис. 4.15).

Рисунок 4.15. Построение проекций точек и линии на поверхности конуса

Построим отсутствующие проекции точек А и В, расположенных на поверхности прямого кругового конуса, если известно положение А2 и В2. Для построения горизонтальной проекции точки А необходимо через ее фронтальную проекцию провести горизонтально линию. Тогда на П1 эта линия 12 представляет собой дугу окружности диаметром 1222=1121.

68

По линии связи на ней находим А1. Аналогично, определяем положение на ней точки В1. По этим проекциям находим проекции А3, В3.

Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей

Графическое решение позиционных задач основывается на определении каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пересечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.

Пересечение прямой и плоскости. Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:

∙быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;

∙проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.

Эта задача является первой основной позиционной задачей курса начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рис. 4.16, 4.17):

1.Прямую l заключаем во вспомогательную плоскость σ;

2.Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданной ά;

3.Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с прямой l;

4.Определяем видимость прямой l.

Рисунок 4.16, 4.17. Пересечение прямой и плоскости

69