строймех часть2

11

О.С.

iiX1 12X2 1p 0;

21X1 22X2 2p 0;

l

12

l

X1 = 1

X2 = 1 Pl /2

P

l /2

MP

M1

h

M2

1

1

2

1

M1

11

l l

l

l h l;

M1

EI 2

3

2EI

y

12

21

M2

1

1

l h l;

M1

2EI 2

22

1

1

l h

2

h;

M2

M2

2EI 2

3

1 1 Pl l

l

2 l

1 Pl

M1

1P

M2

h l;

2EI 2

EI 2 2 2 2

3 2

2P

MP

1

Pl

h

1

h.

M2

2EI 2

2

Проверка правильности вычисления коэффициентов

Для выполнения проверок строится суммарная единичная эпюра MS M1 M2 ... Mn , полученная путем суммирования всех единичных эпюр, в примере:

l

MS

l+h

1. Универсальная проверка единичных коэффициентов заключается в том, что сумма всех единичных коэффициентов равна результату умножения суммарной единичной эпюры самой на себя:

ii 2 ik MS MS

сумма главных	сумма второстепенных
коэффициентов	коэффициентов (сомножитель 2 т.к. ik = ki)

в примере:

11 22 2 12 MS MS

2. Построчная проверка единичных коэффициентов заключается в том, что сумма единичных коэффициентов одного уравнения i равна результату перемножения суммарной единичной эпюры на Mi :

i1 i2 ... in MS MS

13

в примере:

11 12 MS M1

3. Проверка грузовых коэффициентов заключается в том, что сумма всех грузовых коэффициентов равна результату перемножения суммарной единичной эпюры на грузовую:

1P 2P ... nP MS MP

в примере:

1P 2P MS MP

После подстановки коэффициентов в систему канонических уравнений, решают систему и определяют неизвестные Х1, Х2, ... , Хn.

Систему решают любым из известных способов: выражением одних неизвестных через другие, либо с помощью определителей, либо способом Гаусса. Если система содержит много неизвестных ее лучше всего решать по стандартным программам на ПЭВМ.

Лекция №21. Построение результирующих эпюр M, Q, N

После того, как определены неизвестные X1, X2,......,Xn результирующую эпюру M можно построить двумя способами:

1)найденные в результате решения системы уравнений неизвестные X1,X2 ,...., Xn прикладывают к основной системе вместе с заданной нагрузкой и строят эпюру M , как для статически определимой рамы;

2) можно воспользоваться уже имеющимися единичными эпюрами М i и грузовой MP. Алгебраически складывая ординаты грузовой эпюры MP с ординатами исправленных

эпюр М i Xi , получают результирующую эпюру M :

M = MP + MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Проверка правильности построения окончательной эпюры M :

1. Т.к. узлы рамы находятся в равновесии, то алгебраическая сумма изгибающих моментов и внешних, приложенных к данному узлу, должна равняться нулю.

Например :

M1-4

M3-4

M1-4

M3-4

1

3

M4-2

4

M4-2

2

M3-4 - M4-2 - M1-4 = 0

2. Деформационная проверка заключается в том, что окончательной эпюры M на любую возможную единичную основной системы метода сил, должен равняться нулю, перемещение по направлению отброшенной связи для которой равно нулю, т.е.

( Мрез х М i ) = 0 .

результат перемножения эпюру, построенную для т.к. в заданной системе строится единичная эпюра

Эпюру поперечных сил будем строить используя результирующую эпюру моментов. Построение эпюры Q основано на равновесии вырезанного из системы стержня или части

14

его. Раму расчленяют на отдельные элементы (балки) и, рассматривая каждый такой элемент как статически определимую однопролетную балку, поэлементно строят эпюры Q. Загружают такие однопролетные балки внешней заданной нагрузкой и опорными моментами. Опорные моменты берут из окончательной эпюры M.

15

Например :

q

M1

M2

1 2 1 2

A

B

A

B

эп.M

	M1		q
	M1		M2
RA	R1	R1	R2
	эп. Q		эп. Q.

В пределах участков где эпюра MРЕЗ прямолинейна, поперечная сила может определяться по формуле Журавского:

Q = dM tg , dX

где - угол наклона эпюры MРЕЗ к оси элемента.

На эпюре поперечных сил обязательно ставить знаки.

Эпюру продольных сил строят по эпюре Q способом вырезания узлов. Начинать надо с того узла, в котором неизвестны продольные усилия не более чем в двух элементах. К вырезанному узлу прикладывают внешние сосредоточенные силы (если таковые имеются), а к разрезанным элементам поперечные силы. Положительные поперечные силы прикладывают к элементу так, чтобы они вращали узел по часовой стрелке, отрицательные - против. Неизвестные продольные усилия направляют от узла, известные - в зависимости от знака усилия.

Например :
Q1C		Q1A	Q1C
A	C	N1A	N1C = 0
Q1B		Q1B
Q1A
		N1B	X = 0 N1A;
			Y = 0 N1B .

16

Ординаты эпюры продольных сил можно откладывать в любую сторону, но обязательно ставить знаки.

17

Особенности расчет статически неопределимых систем на изменение температуры

При расчете статически неопределимых рам или других систем на изменение температуры канонические уравнения метода сил имеют вид:

11X1 12X2 ... 1nXn 1t

0;

X

X

...

X

0;

21 1

22

2

2n

n

2t

......................................

X

X

...

X

0.

n2

2

nn

n

nt

n1 1

Здесь свободные члены 1t ,

2t

,...., nt представляют собой перемещения основной

системы по направлению отброшенных связей X1 ,X2 ,...., Xn от действия температуры.

Основная система метода

сил

выбирается

также как и при расчете рамы на

действие внешней нагрузки. Строят как обычно единичные эпюры М 1 , М 2 , ... , М n и

определяют единичные коэффициенты i k .

Перемещения от действия температуры :

t

t

l

t

t

l

kt

В

MKdS

Н

В

NKdS,

Н

h

2

СЕ

0

0

где - коэффициент линейного расширения материала из которого выполнена система; MK,NK - усилия в стержнях основной системы от действия Xk = 1;

tН , tD - температура снаружи рамы и внутри.

Знак перемещения kt определяется так: если деформации элемента dS от температуры и единичной силы аналогичны, то знак соответствующего слагаемого будет положительным и наоборот. (Т.е. знак слагаемых, входящих в kt берется “плюс”, если деформация элемента от действия X k=1 и изменения температуры совпадают и “минус” — если не совпадает) .

После определения неизвестных X1 ,X2 ,...., Xn , окончательную эпюру изгибающих моментов от действия температуры получают как алгебраическую сумму исправленных эпюр :

M = MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Особенности расчет статически неопределимых систем на смещение опор

Осадка опор сооружений может происходить из-за податливости грунта под фундаментом, при горных выработках, карстовых явлениях и т.д.

Система канонических уравнений при расчете сооружений на смещение опор записывается:

11X1 12X2					... 1nXn 1C						0;
	X		X				X				0;
		22		2		2n		n		2C
	21 1
......................................
	X		X				X				0.
		n2		2		nn		n		nC
	n1 1

здесь KC - это перемещение по направлению XK вызванное смещением опор.

Перемещения опор определяют наблюдая за сооружением в процессе его эксплуатации, задаются маркшейдерами при шахтных подработках застраиваемых территорий и т.д.

18

Например, при неравномерной осадке опор, как это показано на рисунке

A	B			ВЕРТ
		B
				В
			ГОР
			В

						1C	= + Dверт;
						2C	= + Dгор;
					X1	3C	= - В.
			X3			X2
		X2			X3

или :

KC RiK Ci ,

где Ci - заданная осадка опоры по направлению iОЙ опорной связи. RiK - реакция iОЙ опорной связи от действия XK = 1.

Единичные коэффициенты i k определяют как обычно, путем перемножения эпюр

М 1 , М 2 , ... , М n , построенных для основной системы метода сил. После определения неизвестных X1 ,X2 ,...., Xn , окончательную эпюру изгибающих моментов от осадки опор получают как алгебраическую сумму исправленных эпюр :

M = MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Лекция №22. Упрощения канонических уравнений метода сил при расчете симметричных рам

Основная трудность применения метода сил при расчете рам, имеющих большую степень статической неопределимости, связана с определением коэффициентов и решением системы канонических уравнений. При расчете симметричных рам, имеется ряд приемов, позволяющих часть побочных коэффициентов ik(i k) обратить в нуль.

Одним из таких приемов является использование симметрии рамы при выборе основной системы метода сил. Т.е. основную систему необходимо выбрать симметричной, причем постараться, чтобы как можно большее число неизвестных было в виде прямо- и обратносимметричных усилий.

Прямосимметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратносимметричные неизвестные — кососимметричные эпюры. Результат перемножения таких эпюр:

ik Mi Mk = 0 .

19

X1

X3

X2

X3

I2

X1

h

I1

I1

q

= 3

О.С.

l

Единичные и грузовая эпюры имеют вид :

l/2

X1=1

l/2 1

X2=1

X1=1

qh2/2

M1

M2

1

X3=1

M3

h

Рис. 1

X3=1

Mp

h

Тогда в нашем случае 12 = 21 = 0 ;	13 = 31 = 0 , и система из трех уравнений с
тремя неизвестными :

11Х1 + 12Х2 + 13Х3 + 1Р =021Х1 + 22Х2 + 23Х3 + 2Р =0

31Х1 + 32Х2 + 33Х3 + 3Р =0 ,

после подстановки коэффициентов превращается в одно независимое уравнение :

11Х1 + 1Р =0 ;

исистему из двух уравнений с двумя неизвестными :

22Х2 + 23Х3 + 2Р =0

32Х2 + 33Х3 + 3Р =0 .

20

Группировка неизвестных

Часто, при расчете симметричных рам, не удается выбрать основную систему так, чтобы все неизвестные разместились на оси симметрии. Поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится в качестве неизвестных применять не отдельные силы, а группы прямо- и кососимметричных сил.

	P		P
I2	I2	y1	y2
h	I1
l	l	= 2

X2=1				P
X1				X1
X2				X2

			2l
X1=1	X1=1	X2=1	l
	l
	M1		M2
Рис. 2

У1 = Х1 + Х2

У2 = Х1 - Х2 ,			12 + 21 = 0.
таким образом система уравнений:
	X				X			0;
	11	1		12	2		1P	(2)
	X			22	X		2P	0;
	21	1			2

преобразуется:

11 X1+ 1P = 0;

и

22 X2+ 2P = 0

Преобразование нагрузки

Любую нагрузку, приложенную к симметричной раме, можно разложить на

составляющие симметричного и кососимметричного вида.

q

q/2

q/2

Х2

=0

X2

X1

=0

X1

= 4

P

P/2

I

P/2

q/2

X4

X3

X

X

0;

11

1

12

2

1P

X

22

X

2P

0;

21

1

2

q/2

X

X

0;

X3 P/2

X4

P/2

33

3

34

4

3P

0;

34

X

44

X

4

4P

3

II

Сумма двух загружений I + II

дает исходное загружение