строймех часть2

	31
Эскиз балки	Эпюры и реакции
Z=1	3EI
EI		2

3EI

EI	3EI	3EI
Z=1
	2	3

Z=1	EI				6EI		2EI
						2
			4EI
EI					12EI
		Z=1	6EI		3		6EI
				2			2
q			q 2

			8
			5 q		3q
			8		8
	P	3	P	5	P
		16		32
/2	/2	11			5
		16	P		P
					16

	M	M		M
		2	15, M
q		q 2	q 2	q 2
		12	24	12
		q		q
		2		2
	P	P	P	P
		8	8	8
/2	/2	P		P
		2		2

32

Порядок определения коэффициентов рассмотрим на конкретном примере:

	q	q
1)	Z1	Z2
h
2
EIC	EIC
h		О.С.
2
.	l	=1+1=2.

r11Z1 r12Z2 R1P 0

r21Z1 r22Z2 R2P 0

1е – уравнение называется моментным;

2е – уравнение - уравнением сдвига.

4) Для определения коэффициентов канонических уравнений необходимо построить единичные и грузовую эпюры. Эпюры строят в основной системе метода перемещений, последовательно задавая единичные смещения всем дополнительным наложенным связям и от действия внешней нагрузки, используя ранее составленную таблицу.

		Z1=1
	4EIC
	h
		3EIP
	2EIC	M1
	h
		q 2
		8
	Ph	P
	8	2
		MP

	6EIС	Z2=1
	h2
12EIС	3EIС
h3	h3
6EIС	M2	3EIC
h2		h2

Коэффициенты моментных уравнений, представляющие собой реактивные моменты в дополнительных связях определяют путем вырезания этих дополнительных связей из соответствующих эпюр. К вырезаемой связи прикладывают реактивные моменты, взятые с

33

эпюр и искомую реакцию связи. Искомую реакцию прикладывают так, как задавалось единичное перемещение рассматриваемой связи и затем, записывая равенство моментов в рассматриваемой связи нулю, определяют искомую реакцию.

r11 – реактивный момент в первой связи от ее единичного смещения.

r11			M1=0;
3EIP	r		3EIP 4EIC		0;
	11			h
4EIC	r		3EIP	4EIC ;
h	11			h
r12

					M1=0;
	6EIС
			r		6EIC	0; r		r		6EIC	;
	h		12		h		12	21		h

R1P

				q 2		q	2		Ph
					M1=0; R1P					;
	8					8			8
	Ph

8

Коэффициенты уравнений сдвига, представляющие собой реактивные усилия в связях второго рода, определяют, отсекая от рамы элемент, через который передаются реакции на рассматриваемую связь, вдоль которого расположен дополнительный опорный стержень. К отсеченному элементу прикладывают искомую опорную реакцию (по направлению, как задавали единичное перемещение) и реакции стержней, которые проецируются на ось дополнительного стержня.

Из уравнения, в виде суммы проекций всех сил на направление единичного перемещения, определяем величину искомой реакции.

r22

R2P

12EIС

3EIС

P

h3

2

h3

X=0; r

3EIC

12EIC

15EIC

;

X=0; R

P

;

h3

11

h3

h3

1P

2

5) Проверки коэффициентов системы канонических уравнений (выполняют довольно редко):

а) универсальная: сумма всех единичных коэффициентов равна результату умножения суммарной единичной эпюры самой на себя:

rii 2 rik MS MS

34

Суммарную единичную эпюру получают путем сложения всех единичных эпюр:

				3EIP
4EIC
		–
	h
–	6EIС
	h2
2EIC – 6EIС				M	S	3EIC
	h		h2			h2

б) построчная проверка: сумма всех единичные коэффициентов i-го уравнения равна

результату умножения суммарной единичной эпюры на Mi .

rik MS Mi

в) проверка грузовых коэффициентов: сумма всех грузовых коэффициентов равна, взятому с обратным знаком, результату умножения суммарной единичной эпюры на грузовую, построенную для основной системы метода сил:

RiP MS MP .

6)Коэффициенты подставляют в систему канонических уравнений и решают ее, определяя неизвестные Z1, Z2, ...... Zn .

7)После того, как найдены действительные перемещения дополнительных связей Zi, строят окончательные эпюры усилий в заданной системе.

Эпюру изгибающих моментов Mрез получают суммированием ординат грузовой

эпюры MP с ординатами исправленных эпюр MiZi ,то есть:

MРЕЗ MP M1Z1 M2Z2

...... MnZn

Правильность построения окончательной эпюры изгибающих моментов проверяют теми же способами, что и в методе сил:

а) проверяется равновесие узлов рамы – в методе перемещений эта проверка является существенной, так как в основной системе равенства моментов в узле нет, а в заданной системе оно должно выполнятся;

б) выполняется деформационная проверка. Для этого выбирается основная система метода сил, строится одна из возможных единичных эпюр и :

MРЕЗ Mi 0 3%

По эпюре моментов строят эпюру Q, а по эпюре Q – эпюру продольных сил N.

Лекция №25. Особенности расчета рам с непараллельными стойками

В рамах с параллельными стойками, независимо от того горизонтальный ригель или наклонный, линейные смещения узлов равны между собой.

	2		2'
		1'
1			1-2 = 1'-2'
			1-1' 2-2'
			1-2-2'-1' — параллелограмм
			1-1' = 2-2'
А			В

35

Более сложно определить зависимость между линейными смещениями узлов рам с непараллельными стойками.

А1	В2
	2'
2
			12
1
1'

А В

Определяют зависимость между линейными смещениями узлов с помощью диаграммы Виллио:

- выбираем точку О – полюс диаграммы, из полюса откладываем независимое смещениеВ2 по направлению перпендикулярно стойке В2 и прямые перпендикулярно А1 и перпендикулярно ригелю 1-2

В-2	2
О	12

А-1 1

- измеряя полученные отрезки, находим отношения

					1 2
k1 A	A 1	;	k1 2			.
	B 2				B 2

И затем строим эпюры. От поворота моментной связи, никаких особенностей в построении эпюр нет

4EI12

12

2EI12

12

4EI2B

2B

2EI2B

2B

M2

36

А от линейного смещения учитывают изменение величин узловых моментов коэффициентами k12 и k1A:

6EIA1	k1A
2
A1

2В=1 r33

6EI12		k12
	2
	12

12EIB2

3B2

M3

6EI2B

22B

Весь остальной расчет, как в обычном методе перемещений.

Лекция №26. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений

При расчете симметричных систем методом перемещений, так же как и при расчете методом сил, можно применять группировку неизвестных.

В этом случае все эпюры от единичных неизвестных будут симметричными или обратносимметричными. Ряд побочных коэффициентов обращается в нуль. Расчет значительно упрощается:

Z2 Z2 Z1 Z1

Z3 EIP

h	P	P
	2

EIC EIC

h

2

О.С.

l

;

				37
				6EIP		6EIP
	4EIC		4EIC	4EIC		4EIC
	h	2EIP	h	h		h
	2EIC	M1	2EIC	2EIC	M2	2EIC
	h		h	h		h

	6EIС		P
	h2		8
		6EIС		P
		h2		P
				8
6EIС	M3	6EIС	P	MP
h2		h2	8

При определении коэффициентов системы канонических уравнений необходимо помнить, что реакции, как и перемещения, являются групповыми и представляют собой алгебраическую сумму реакций в связях данной группы. Например, для определения реакции r r11 необходимо на первой эпюре вырезать две связи и тогда r11 r11 r11

r’11	r’’11
2EIP	2EIP

4EIC	4EIC
h	h
r’12	r’’12
6EIС	6EIС
h2	h2
4EIC	4EIC
h	h

		4EI	C		2EI	P
r 2
11		h

r12=0

т.е. симметричная групповая реакция от кососимметричного группового перемещения равна нулю r13 r31 0.

Система из трех уравнений распадается на одно уравнение и систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

При частных видах нагрузки расчет еще более упрощается. Так, при действии на симметричную раму симметричной нагрузки в задаче останутся только симметричные неизвестные перемещения, кососимметричные будут равны нулю. При действии кососимметричной нагрузки остаются неизвестными только кососимметричные перемещения.

Например, на раму действует симметричная равномерно-распределенная нагрузка

38

q

q

Z1 Z1

EIP

h

EIC

EIC

.

В общем случае число неизвестных метода перемещений =3, но учитывая что Z2=Z3=0, остается одно неизвестное

r11Z1 + R1p=0.

Лекция №27. Неразрезные балки

Неразрезной балкой называется сплошной изгибаемый брус, перекрывающий несколько пролетов и неразрывно связанный с опорами. Такие балки довольно широко применяются в строительстве, например в качестве подкрановых балок, неразрезных прогонов покрытий, в железобетонных ребристых покрытиях и т.п.

Они, как правило, экономичнее разрезных, так как пролетные моменты в них меньше, чем в аналогичных разрезных.

Связь балки с опорами

Недостатком неразрезных балок является то, что при неравномерной осадке опор, даже при отсутствии внешних нагрузок, в балке возникают внутренние усилия.

Рассчитывают балки как методом сил, так и методом перемещений.

Расчет неразрезных балок методом перемещений

P1	P2	P3

Степень линейной подвижности неразрезной балки всегда равна нулю.

Степень угловой подвижности равна числу промежуточных опор, т.е. для неразрезных балок число неизвестных метода перемещений определяется = ; т.к. =0.

В нашем случае =2.

P1	P2	P3

И далее как в обычном методе перемещений

39

r11Z1 r12 Z2 R1P 0r21Z1 r22 Z2 R2P 0

	4EI	Z1=1	2EI
	1		2

	2EI		4EI	, и так далее
	1		2
					Расчет неразрезных балок методом сил
		q1		P	q2

Степень статической неопределимости неразрезной балки может быть определена по формуле Чебышева.

=CОП+2Ш0-2D, но учитывая, что Ш0=0, а D=1, частный вид формулы:

=CОП – 3

Исторически первоначально основную систему метода сил выбирали, отбрасывая «лишние» опорные связи:

q1	P			q2
X1		X2		X3

Единичные эпюры при таком выборе основной системы распространяются на всю длину балки и ни один из единичных коэффициентов системы канонических уравнений не равен нулю.

В процессе практических расчетов убедились, что более рационально основную систему выбирать, вводя в промежуточные опорные сечения перерезывающие шарниры. В качестве неизвестных, при таком выборе основной системы, выступают опорные моменты. Единичные эпюры распространяются только на два соседних пролета и канонические уравнения метода сил значительно упрощаются, в каждом из них остается не более трех неизвестных.

40

Уравнение трех моментов, как частный случай метода сил

Запишем каноническое уравнение метода сил для опоры n:

n,n 1Mn 1 n,nMn n,n 1Mn 1 ... nP 0

n,n 1

1

1

1

n

1

n

.

EIn

2

3

6EIn

n,n

1

1

1

n

2

1

1

1

n 1

2

n

EIn

3

EIn 1

3EIn

2

2

3

n,n 1

1

1

1

n 1

1

n 1

;

6EIn 1

EIn 1 2

3

1

an

1

bn 1

nP

EIn

n

n 1 n 1

n

EIn 1

n – 2

n – 1

P1

EIn-2

EIn-1

EIn

ln-1

ln

О.С.

Mn-2

Mn-1

P1

Mn-1=1

M

n 1

1

n

M

1

n 1

M

MP

n 1 ;

3EIn 1

P2
n	n+1	n+2
EIn+1		EIn+2
ln+1		ln+2
P2
Mn	Mn+1	Mn+2

Mn=1

		Mn+1=1
	1
an	bn	an+1 bn+1

ц.т. ц.т.

n n+1

Тогда, подставляя значения найденных коэффициентов в систему канонических уравнений, получим

n

n

n 1

n 1

n an

n 1 bn 1

M

n 1

2M

n

M

n 1

,

6EI

3EI

n

n

3EI

n 1

6EI

n 1

EI

n

EI

n 1

n

n 1

умножим полученное уравнение на 6

n

n

n 1

n 1

6 n an

6 n 1 bn 1

M

n 1

2M

n

M

n 1

,

(2)

EI

n

EI

n

EI

n 1

EI

n 1

EI

n

EI

n 1

n

n 1