строймех часть2

З.с.

О.с.

Л.вл. X1

Л.вл. NP,5

Л.вл. N5

	51
	= 1
	5
	11X1 + 1P = 0;
	X 1P
	1	11
	5
	X1
	1
	+
	+
	1
-	-

Т.е. линия влияния усилия в произвольном стержне фермы получается путем суммирования линии влияния усилия в статически определимой основной системе фермы

и линии влияния лишних неизвестных Xk, все значения которых умножаем на NK,i

Лекция №32. Статически неопределимые комбинированные системы

В строительной механике под комбинированными понимают системы состоящие из комбинации рамных элементов, работающих в основном на изгиб и шарнирно-стержневых элементов, работающих на растяжение или сжатие.

Элементы фермы, работают на растяжение или сжатие

Элементы рамы, работают на изгиб

52

Рассчитывают комбинированные системы, как правило, методом сил (если речь идет о ручном счете).

Особенностью расчета является определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил:

ik	MM dx			NN dx
	i k			i k
	EI			EF
	I			II

I слагаемое относится к рамным элементам, II – к шарнирно-стержневым элементам. Первое слагаемое обычно определяют путем перемножения эпюр (используя для

этого правило Верещагина или формулу Симпсона).

Второе слагаемое, как для статически неопределимых ферм:

NNiEFk dx NNEFi k

Пример:

P

h1

h

L

= СОП + 2ШО - 3Д = 6 + 2 ·15 - 3 · 11 = 3

Основную систему метода сил выбираем, разрезая 3 элемента фермы:

X1

X2

		11	X	1		12	X	2		13		X	3		1P		0;
X3
	21X1 22X2 23X3 2P 0;
			X				X					X					0;
		31		1		32		2			33		3			3P
О.С.

53

Для определения коэффициентов рассмотрим единичные и грузовое состояния основной системы :

	X1 = 1
			X2=1
		h3		h4
	M1		M1
h	h	h3		h4
	Ni1		Ni1
				P
	X3 = 1
	M3		M
			P
(h - h1 )		(h - h1 )		Ph
	N		NiP	0
	i3

Определяем коэффициенты, решаем систему и находим X1, X2 ,X3. После чего:

M MЗ MX1 1 M2X2 M3X3

Ni NiP Ni1X1 Ni2X2 Ni3X3 .

Лекция №33. Статически неопределимые арки

В строительстве применяют в основном два вида статически неопределимых арок:: двухшарнирные (рис. а) и бесшарнирные (рис. б).

	а)		= 1	б)		= 3
f					f

l

l

54

Обе показанные на рисунках арки являются распорными системами.

Расчет арок ведут методом сил, поскольку арка представляет собой кривой брус, часто переменного сечения по длине.

Двухшарнирные арки

Двухшарнирные арки выполняют как постоянного, так и переменного сечения по

длине.

I0, F0

f

I = I0 cos

F F0 cos

l

Двухшарнирные арки один раз статически неопределимы. Основную систему для их расчета выбирают, отбрасывая одну из горизонтальных опорных связей

y

				X
			EI
		P1	P2
			EF F X
f			X1		x

l

Система канонических уравнений записывается:

11X1 1P 0

Коэффициенты системы канонических уравнений определяют с помощью интеграла Мора (поскольку ось арки криволинейна, жесткость по длине пролета переменна), причем учитывается влияние на перемещения системы как изгибающих моментов, так и продольных сил:

2

2

11

M1dS

N1dS

;

EI

EF

S

1P

1MPdS

1NPdS

.

M

N

EI

EF

S

S

Для пологих арок

f

1

с высотой сечения

h

1

, можно при определении

5

10

коэффициентов системы канонических уравнений 11

и

1p пренебречь влиянием

продольных сил:

2

M1MPdS

11

M1dS

;

1P

.

EI

EI

S

S

В нашем случае, учитывая что

1 y.

M

				55
S	2				yMPdS
11	y dS	;	1P
	EI				EI
0				S

Если подинтегральные выражения сложные и не удается определить коэффициенты11 и 1p непосредственным интегрированием, применяют численное интегрирование. Для этого арку разбивают на достаточное число участков и считая все компоненты подинтегральных выражений в пределах участков постоянными:

	n	2	S		n	yiMPi	S
	11	yi		;	1P			,
						EIi
	i 1	EIi			i 1

где n - число участков, на которое разбита арка.

		Арка с затяжкой
y	P1	P2

x

l

= 1

Арка с затяжкой один раз статически неопределима. Основную систему выбирают, разрезая затяжку.

	Y		P1	P2
f				11X1 1P	0

x

X1

l

Особенностью расчета таких арок является необходимость учитывать податливость затяжки при определении коэффициентов 11 и 1P.

Для пологих арок	f		1		с высотой сечения	h		1		:
			5					10

			2dS	З 1 dX
11		M
		1				,
		EI			EF
s				0	З

учитывая, что площадь сечения затяжки постоянна по длине:

11		M	12dS		З
		EI			EF
S					З

56

1P S M1MEIPdS

После определения X1 1P :

11

MX M0X X1 y;

QX Q0X cos X1 sin ;

NX Q0X sin X1 cos .

Особенности расчета бесшарнирных арок

Бесшарнирные арки могут выполнятся как постоянного, так и переменного сечения по длине:

P I0 ; F0

I I0 ; cos

F F0 . cos

Такая арка три раза статически неопределима. Арка симметрична, поэтому здесь основную систему рационально выбирать также симметричной, что позволит в дальнейшем упростить расчет

P

X2

X1

X3

X2

X3

X1

Основная система

Канонические уравнения имеют вид:

X

X

X

0;

11

1

12

2

13

3

1P

21X1 22X2 23X3 2P 0;

X

X

0;

X

32

2

33

3

3P

31

1

f

1

h

1

Для пологих

, гибких

арок

коэффициенты канонических уравнений

5

10

можно определять учитывая влияние только изгибающих моментов, т.е. :

ik s MiMEIkdS.

Учитывая, что X1, X2 - прямосимметричные, а X3 – обратносимметричное неизвестные:

57

13 31 0;

23 32

0.

И система из трех уравнений распадается на систему из двух уравнений и одно независимое уравнение:

11X1 12X2 1P 0;

21X1 22X2 2P 0;

33X3 3P 0.

Расчет можно еще более упростить, если в месте разреза арки ввести абсолютно жесткие консоли EIK = :

		y
							y
X2		X1	X1			X2	x
X3					X3

Длину жестких консолей определяют из условия :

12 21 0;

S S

12 0 M1MEI2dS 0 ydSEI 0.

т.е. из условия:

S ydS

0. 0 EI

Тогда, система канонических уравнений превратится в три независимых уравнения, каждое из которых содержит только одно неизвестное:

11X 1P 0;

22X2 2P 0;

33X3 3P 0;

Лекция №34. Смешанный метод расчета рам

Рассмотренные ранее метод сил и метод перемещений могут быть использованы при расчете самых произвольных статически неопределимых систем. Однако каждый из них имеет свою рациональную область применения. Например, для рам с прямолинейными стержнями, имеющими в основном жесткие узлы, рациональнее применять метод перемещений. В шарнирно-стержневых системах, в системах со стержнями ломаного очертания, неизвестных метода сил обычно меньше, чем метода перемещений.

М.п. =2	М.п. =3
М.с. =6	М.п. =1

58

Встречаются системы, в которых можно выделить одну часть более удобную для расчета методом перемещений, а другая более удобна для расчета методом сил.

P

2 эт.

q

h1

1 эт.

h2

l1

l2

l3

Этаж	Степень статической	Степень кинематической
	неопределимости	неопределимости
1 этаж	9	2
2 этаж	2	4
Итого	11	6

Как видно из таблицы, здесь первый этаж более рационально решать методом перемещений, а второй – методом сил.

Метод, в котором принимают часть неизвестных метода сил, а часть – метода перемещений, называется смешанным. Предложен метод Ф. Блейхом (конец XIX в) и развит в канонической форме А.А. Гвоздевым (1927 год).

X1	X2	P
X2	X1

	q
Z3	Z4

Условиями эквивалентности заданной и основной систем в этом случае будут равенство нулю перемещений по направлению неизвестных X1 и X2 и равенство нулю реактивных усилий в связях 3 и 4.

В канонической форме эти условия запишутся:

X					12		X		2			Z		3				Z	4		1P	0
	11	1									13					14
				22X2 23Z3 24Z4 2P																			0
211X1
r X		1	r			X		2	r		Z	3	r			Z	4	R			0		;	(1)
	31			32						33					34					3P
r X r						X		2	r Z			3	r Z				4	R			0
	41	1		42						43					44					4P

Уравнения (1) – канонические уравнения смешанного метода.

59

Коэффициенты ik определяют как в методе сил, путем перемножения эпюр с помощью интеграла Мора:

MI Mk dx

ik R EI ;

для вычисления, которого можно использовать правило Верещагина или формулу

Симпсона, ik = ki.

Коэффициенты rik- определяют как в обычном методе перемещений. Это реактивное усилие в связи i от единичного смещения связи k. rik = rki

Между коэффициентами со штрихами существует связь: rik ki

И проще определить rik который представляет собой реактивное усилие в связи i от

действия силы Xk = 1 , а затем приравнять ki rik . Либо

ki определяют из эпюры

перемещений.

Смешанный метод обладает преимуществом над другими в тех случаях, когда одна

часть рамы обладает повышенной подвижностью, а другая – повышенной жесткостью.

Пример:

P = 6 кН

2EI

EI

4м

q = 2 кН / м

4м

EI

2EI

6м

Комбинированное решение задачи

Комбинированное решение может быть использовано при расчете только симметричных статически неопределимых рам.

Сущность комбинированного приема расчета рассмотрим на примере:

с

EIP

а)

б)

P

P/2

P/2

P/2

P/2

h

EIC

EIC

l

Преобразуем нагрузку в прямосимметричную и обратносимметричную группы так, чтобы сумма этих двух загружений а) и б) давала нам исходное.

Для каждого из этих загружений легко установить число неизвестных при расчете рамы методом сил и методом перемещений.

60

а) При симметричном загружении:

	Z1	Z2 = - Z1				X1
				Z3 = 0		X2		X2
P/2				P/2	P/2				P/2

о.с. м.п. о.с. м.с.

Z2 = - Z1 ; Z3 = 0	X3 = 0
одно неизвестное	два неизвестных.

Вывод: симметричную раму на действие прямосимметричной нагрузки проще решать методом перемещений.

б) При обратно симметричном загружении:

Z1

Z2 = Z1

X1

Z3

P/2

P/2

P/2

X1

P/2

о.с. м.п.	о.с. м.с.
Z1 = Z2	X2 = 0 ; X3 = 0
два неизвестных	одно неизвестное.

Вывод: симметричную раму на действие кососимметричной нагрузки проще решать методом сил.

Порядок расчета симметричных рам комбинированным способом:

1.Произвольно действующую нагрузку преобразуют в прямо- и обратносимметричное загружение.

2.Независимо рассчитывают две рамы: а) на прямосимметричное загружение методом перемещений; б) на обратносимметричное загружение – методом сил.

3.Сумма двух полученных результирующих эпюр и даст нам эпюру M для заданного загружения:

M MПРЕЗ.С. MКРЕЗ.С.