Начертательная геометрия

Рисунок 13 – Пример выполнения графической работы 2

40

3 Графическая работа 3 (эпюр №3) «Пересечение поверхностей, построение разверток и аксонометрий»

3.1 Содержание эпюра №3

Эпюр №3 лист 1. Гранная поверхность (призма или пирамида). Эпюр №3 лист 2. Поверхность вращения (конус или цилиндр).

1)Начертить задание по указанным размерам (размеры на чертежах не проставлять). Варианты задания даны на странице 56-63.

2)Построить горизонтальную проекцию призмы (пирамиды) и конуса (цилиндра) с заданными срезами и вырезами.

3)Построить профильные проекции этих же поверхностей.

4)Для гранных поверхностей (призма или пирамида) построить аксонометрию (изометрию или диметрию) с заданными срезами и вырезами.

5)Для поверхности вращения построить развертку с нанесением линий срезов и вырезов.

7)Высоту поверхностей принять 90-100мм, диаметр основания – 80 мм.

8)Примеры выполнения работы представлены на рисунках 22-25.

При выполнении первого листа для нахождения точек, принадлежащих вырезу или срезу заданного многогранника, обычно применяют способ секущих плоскостей. Покажем это на примере шестиугольной пирамиды, см. рисунок 14а. Для нахождения точек 22 и 32 проводят вспомогательную секущую плоскость α, параллельную основанию. В сечении получают шестиугольник подобный основанию, который строят на горизонтальной проекции. Затем с фронтальной проекции точек ( 22 и 32 ) проводят линии связи до пересечения с контуром построенного шестиугольника и отмечают точки (21 и 31). Точки, находящиеся на ребрах, переносим по линиям связи на соответствующие ребра на горизонтальной проекции, например, точка 1 (проекции 12 и 11). Перенесение точек на профильную проекцию должно быть понятно из рисунка 14, так как такие построения выполнялись в первой графической работе.

При построении горизонтальных проекций точек на боковой поверхности призмы, достаточно провести линии связи из точек, выбранных для построения выреза (среза) на контур горизонтальной проекции призмы, так как в сечениях призмы, параллельных основанию, всегда будет фигура соответствующая контуру основания (в данном случае шестиугольник, см. рисунок 14б).

Секущие плоскости следует проводить через точки, соответствующие изменению формы выреза (среза), см. точки 12 , 32, 52 на рисунке 20 и точки пересечения контуром выреза (среза) ребер призмы, см. точки 22, 42 там же.

41

Рисунок 14 – Нахождение точек на боковой поверхности гранных тел: а) на пирамиде, б) на призме

При выполнении аксонометрии (наглядного изображения) следует выбрать вид аксонометрии: прямоугольную изометрию или прямоугольную диметрию (в дальнейшем изометрия или диметрия). Чаще применяется изометрия. Диметрия применяется тогда, когда в основании фигуры лежит квадрат. Построение аксонометрии начинают с построения основания.

42

Рассмотрим несколько примеров построения плоских фигур (оснований) для изометрии и диметрии, см. рисунок 15.

Рисунок 15Построение плоских фигур (оснований) в аксонометрии

Для призмы аксонометрию удобнее начинать с построения вершин полностью видимого основания. На рисунке 16а показана шестиугольная призма, высота которой совпадает с осью Z, а верхнее основание расположено в плоскости осей X и Y. Строим верхнее основание в аксонометрических проекциях, как показано на рисунке 15. Для построения нижнего основания из вершин верхнего основания проведены прямые, параллельные оси Z, и на них отложены отрезки, равные h, так как длина всех боковых ребер призмы равна высоте призмы h, Концы отрезков соединены прямыми линиями, см. рисунок 16а. Точки на аксонометрию призмы переносят так, как показано на рисунке. Например, для нахождения точки М с ортогонального чертежа берут координату х и переносят ее на аксонометрическую ось Х, проводят линию, параллельную оси У до пересечения с контуром основания, затем проводят линию параллельную оси Z и откладывают на ней координату Z точки М (рассматриваем видимую точку).

43

Рисунок 16 – Построение точек в аксонометрии: а) для призмы, б) для пирамиды

Построение аксонометрической проекции пирамиды, изображенной на рисунке 16б, следует начать с построения основания. В основании пирамиды лежит квадрат, поэтому строим прямоугольную диметрию (по оси y в диметрии размеры уменьшаем в два раза, см. рисунок 15). Затем из точки O откладываем на оси Z высоту пирамиды и полученную вершину пирамиды S соединяем с вершинами основания.

Построение точек на поверхности пирамиды в ортогональной и аксонометрической проекциях показано на рисунке 17. Если на фронтальной проекции пирамиды задана точка М2, то недостающие проекции этой точки можно построить несколькими способами. Рассмотрим один из них.

44

Рисунок 17 – Построение точек на поверхности пирамиды

Дано: фронтальная проекция точки М – точка М2, расположенная в пределах видимой части пирамиды. Через вершину пирамиды и заданную точку М2 проводим прямую линию до ее основания и получаем точку К2.

Далее строим горизонтальную проекцию этой прямой. Опускаем линию связи из точки К2 до основания пирамиды и получаем точку К1. Далее соединяем полученную точку К1 с горизонтальной проекцией вершины пирамиды S1. Так как искомая точка М принадлежит прямой SК, то ее горизонтальная проекция должна лежать на линии S1К1, опускаем линию связи с М2 и получаем горизонтальную проекцию М1.

Строим пирамиду в изометрии. Построение начинаем с треугольного основания пирамиды, откладываем на вертикальной оси высоту пирамиды и проводим три боковых ребра см. рисунок 17.

Строим образующую SK: на оси X откладываем координату соответствующую точке K на горизонтальной проекции (9) и проводим через нее линию параллельную оси Y. Пересечение этой линии с основанием пирамиды дает положение точки K. Соединим точку K с вершиной пирамиды S и с центром основания точкой 0. Рассмотрим полученный треугольник S0K: сторона 0S – вертикальная ось пирамиды, совпадающая с осью Z. Сторона SK

– прямая, на которой находится точка М. Высоту точки М (//) берем на фронтальной проекции по перпендикуляру от основания пирамиды до точки М2 и откладываем ее в аксонометрии на оси Z, то есть на стороне 0S. Через полученную засечку проводим прямую в плоскости треугольника параллельно основанию треугольника до пересечения с прямой SК. Таким образом, переносим высоту положения т. М на поверхность пирамиды.

45

Подобным образом следует построить все выбранные точки вырезов (срезов) призмы или пирамиды (см. примеры 14-17) и соединить их прямыми линиями последовательно в соответствии с ортогональным чертежом.

При выполнении второго листа графической работы №3 также применяется способ плоскостей - посредников. Для тел вращения (цилиндр, конус) точек следует брать больше (зависит от формы выреза и точности построения кривой, см. пример 24, 25), так как линия пересечения представляет собой кривую линию с точками излома в местах изменения формы выреза (среза). При соединении точек линии пересечения следует применять лекала. Примеры выполнения работы даны на рисунках 24, 25.

В данной работе следует построить развертку тела вращения с нанесением на нее линии выреза (среза). Рассмотрим построение развертки с нанесением на нее точки, выбранной на вырезе из ортогонального чертежа.

Рисунок 18 - Построение точки М на развертке цилиндра

На рисунке 18 приведен пример построения развертки прямого кругового цилиндра с нанесением на развертку точки М. Высота развертки на фронтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину, а нижнее и верхнее основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируются также в натуральную величину. Развертку цилиндрической поверхности строим методом триангуляции, для чего окружность (вид сверху) делим на 12 частей, заменяя отрезки дуг хордами.

46

Развертка цилиндра представляет собой прямоугольник высотой заданного цилиндра и длиной равной сумме двенадцати отрезков хорд, взятых с окружности цилиндра. Положение точки М на развертке цилиндрической поверхности определяется обычным способом, смотри рисунок 18. Точка М1 на горизонтальной проекции цилиндра находится между точками 3 и 4. Переносим горизонтальную проекцию точки М (М1) на развертку между точками 3 и 4, сохраняя расположение точки в этом отрезке. Проводим вертикальную линию, на которой откладываем высоту точки М с фронтальной проекции (//). Таким же образом находим остальные точки, выбранные для построения выреза (среза), и соединяем их с помощью лекал.

Рассмотрим построение развертки прямого кругового конуса, см. рисунок 19. Развертку конической поверхности строим методом триангуляции, для чего окружность конуса (вид сверху) делим на 12 частей,

заменяя отрезки дуг хордами. Очерковая образующая конуса 12S2	на
фронтальной плоскости изображается в натуральную величину.	На

свободном поле чертежа выбираем положение вершины развертки – точку S0, радиусом натуральной величины образующей 12S2 проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей (хорд) в натуральную величину.

Рисунок 19 - Построение точки М на развертке конуса

Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию, которая пересечет основание конуса между точками 4 и 5. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 4 и 5 и соединим с вершиной конуса развертки точкой S0. Из точки М2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей и получим расстояние от основания

47

конуса до точки М2 по образующей (обозначена //), которую откладываем на развертке от точки К на линии КS. Полученная точка определит истинное положение точки М на развертке (М0). Таким же образом перенесем на развертку другие точки, соответствующие заданным линиям выреза на поверхности конуса и соединим их плавной линией с помощью лекал. Полностью решенная задача представлена на рисунке 24.

4 Графическая работа 4 (эпюр №4) «Построение линии пересечения поверхностей»

4.1 Содержание эпюра №4

Задача 1. Построить линию пересечения двух поверхностей методом секущих плоскостей.

Задача 2. Построить линию пересечения двух поверхностей методом вспомогательных сфер.

Варианты заданий даны на страницах 66-75.

Пример выполнения работы представлен на рисунке 26.

4.2 Метод вспомогательных секущих плоскостей посредников

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей (задача 1) и метод секущих сфер (задача 2).

Для определения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, часто пользуются вспомогательными секущими плоскостями. Плоскости-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии пересечения данных поверхностей.

Секущие плоскости-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые или окружности. На рисунке 20 приведен пример построения линии пересечения цилиндра и конуса.

Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. Строят от каждой секущей плоскости эти окружности на горизонтальной проекции. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения и возвращают их на фронтальную проекцию. Затем переходят к следующей секущей плоскости и т. д. Соединив полученные точки с учетом видимости, получаем линию пересечения поверхностей.

48

Рисунок 20 - Пример построения точки пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью вспомогательных секущих плоскостей

4.3 Метод вспомогательных секущих сфер

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения. Центр вспомогательных сфер лежит в точке пересечения осей двух поверхностей (02 ).

Рисунок 21 - Пример построения точки пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью концентрических сфер

49