2. Метод Симпсона

Геометрически формула Симпсона получается в результате замены подынтегральной функции y = f (x) параболой y = L2 (x), проходящей через три

точки M0 (x0 , y0 ), M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) (рис. 2.1).

M2 (x2 , y2 )

L2 (x)

M1 (x1 , y1 )

f (x)

M0 (x0 , y0 )

Рис. 2.1 Геометрические построения для метода Симпсона

Формула Симпсона

Из вида остаточного члена (1.15) следует, что результат, полученный по формуле трапеций, можно уточнять методом Рунге. Проводя такое уточнение для отрезка, содержащего узлы x0 , x1 , x2 , получим формулу Симпсона.

F ≈ 13 4 Fтрап (h)− Fтрап (2 h) =

		1				1				1						1			1
	=			4	h		f0	+	f1 +		f	2		− 2	h		f0	+		f	2		=	(2.1)
		3				2				2						2			2

= 13 h ( f0 + 4 f1 + f2 )

где h = xi − xi−1 .

Остаточный член формулы Симпсона

Таким образом, остаточный член формулы Симпсона равен:

x

R = ∫2 ydx − h (y0 + 4 y1 + y2 ), где y = f (x ) (2.2)

x0 3

10

Предполагаем, что функция y C(4)[a,b], получим более простое выражение и для формулы Симпсона. Фиксируем среднюю точку x1 и рассматривая R = R(h), будем иметь:

x1 +h

h

R = ∫ ydx −

(2.3)

3

y(x1 − h)+ 4 y(x1 )+ y (x1

+ h)

x1 −h

R = R(h)

Отсюда,

дифференцируя функцию

по

h последовательно три

раза, получим:

1

′

(h)=

−

(x1 )+ y

R

y(x1 + h)+ y (x1 − h)

3

y (x1 − h)+ 4 y

(x1 + h) −

h

2

4

−

′

(x1 − h)+ y

′

(x1

=

y(x1 )−

(2.4)

3

−y

+ h)

3

y(x1 + h)+ y (x1 − h) −

3

−

h

′

(x1 − h)+ y

′

(x1

3

−y

+ h)

2

1

R′′(h)=

−y′(x1 − h)+ y′(x1 + h)

−

−y′

(x1 − h)+ y′

(x1 + h) −

3

3

−

h

′′

(x1

− h)+

y

′′

(x1

+ h)

=

1

′

(x1 − h)+

′

(x1 + h)

−

(2.5)

3

y

3

−y

y

−

h

′′

(x1

− h)+ y

′′

(x1

+ h)

3

y

1

1

′′′

′′

(x1 − h)+ y

′′

(x1

′′

(x1

− h)+ y

′′

(x1

(h)=

−

−

R

3

y

+ h)

3

y

+ h)

−

h

′′′

(x1

− h)+ y

′′′

(x1

+ h)

= −

h

−y

′′′

(x1 − h)

+ y

′′′

(x1

=

(2.6)

3

−y

3

+ h)

2

= −

h2 yIV (ξ3 )

3

где ξ3 (x1 − h, x1 + h).

R(0)= 0 ;

R′(0)= 0 ;

R′′(0)= 0 . Последовательно ин-

Кроме того,

имеем

тегрируя R′′′(h) и используя теорему о среднем, находим:

R′′(h)= R′′(0)+ ∫h R′′′(t )dt = −

2

∫h t 2 yIV (ξ3 )dt = −

2

yIV

(ξ2 )∫h t 2dt = −

2

h2 yIV

(ξ2 )

(2.7)

3

3

9

0

0

0

где ξ2 (x1 − h, x1 + h).

R′(h)= R′(0)+ ∫h R′′(t )dt = −

2

∫h t 3 yIV (ξ2 )dt = −

2

yIV (ξ1 )∫h t 3dt = −

1

h4 yIV

(ξ1 )

(2.8)

9

9

18

0

0

0

где ξ1 (x1 − h, x1 + h).

R(h)= R(0)+ ∫h R′(t )dt = −

1

∫h t4 yIV (ξ1 )dt = −

1

yIV

(ξ )∫h t4dt = −

1

h5 yIV

(ξ)

(2.9)

18

18

90

0

0

0

11

где ξ (x1 − h, x1 + h).

Таким образом, остаточный член формулы Симпсона равен:

R = −	h5	yIV (ξ ), где ξ (x0 , x2 )	(2.10)
90

Т.о. формула Симпсона более точная, чем формула трапеций.

Общая (обобщенная) формула Симпсона

= f (xi )

(i = 0 ,1,2,...,n) значения

Пусть n = 2 m есть четное число и yi

функции

y = f (x )

для равноотстоящих точек

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

с

шагом h = b − a = b − a .

n

2 m

Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку x , x

2

,

0

x

2

, x

... x

2 m−

2

, x

длины 2 h получим:

4

2 m

∫b

ydx ≈ h

(y0 + 4 y1 + y2 )+ h

(y2 + 4 y3 + y4 )+

...+ h

(y2 m−2 + 4 y2 m−1 + y2 m )

a

3

3

3

b

Отсюда получаем общую (обобщенную) формулу Симпсона:

h

+ y2 m )+ 4 (y1 + y3 + ...+ y2 m−1 )+ 2 (y2 + y4 + ...+ y2 m−

∫ ydx ≈

(2.11)

3

(y0

2 )

a

Или:

b

h

+ y2 m )+ 4

2 m−1

2 m−2

∫ ydx ≈

∑ yi нечёт.

3

(y0

+ 2

∑ yi чёт.

(2.12)

a

i=1

i=2

b

≈ h

2 m−1

1,

при i − нечёт.

∫ ydx

, где

C =

(2.13)

(y0

+ y2 m )+ ∑ (3 + Ci ) yi

при i −чёт.

a

3

i=1

−1,

Остаточный член общей формулы Симпсона равен сумме остаточных членов на каждом из m участков. Если ввести среднее значение четвертой производной yc IV (ξ ), то:

R = −	h5	yc IV (ξ )= −(b − a)	h4	yc IV (ξ )	(2.14)
			180
90

Чаще эту формулу не применяют, а выполняют просчет с шагом h и 2 h . Получаем:

R

= −(b − a)

h4

yIV

h

180

R2h

= 16

(2.15)

R

= −(b − a)

(2

h)4

yIV

Rh

2h

180

I

= Ih + Rh

I

+ R

= I

+ 16

R

R

=

I

h

− I

2h

(2.16)

h

2h

I = I2h + R2h

h

h

h

15

Формула (2.16) – проверка погрешности по Рунге.

12

Пример расчета представлен на рис. 2.2

13

14

Рис. 2.2

Пример расчета по методу Симпсона в

Microsoft Excel

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1.Вычислить интеграл по формуле трапеций с числом отрезков разбиения равным 10.

2.Вычислить погрешность расчета по формуле Рунге.

3.Вычислить интеграл по формуле Симпсона с числом отрезков разбиения равным 12.

4.Вычислить погрешность расчета по формуле Рунге.

										Вычислить интегралы
Варианты							методом трапеции											методом Симпсона
1	1,6		dx2								2
	∫					+1					∫lg( x + 2) dx
	0,8	2x									1,2					x
2	2,7		2dx								2,4
	∫	x									∫(x +1) sin xdx
	1,2			+ 3,2							1,6
3	2		dx								1	tg(x 2 )
	∫	2x		2	+1,3						∫	x		2	+1				dx
	1										0,2
4	1,2	dx2									1,4
	∫										∫cos x dx
	0,2	x		+1							0,6	x +1
5	1,4		dx2								1,2
	∫					+ 3					∫			x cos(x 2 )dx
	0,8	2x									0,4
6	1,2			dx							1,2 sin(2x)
	∫	2 +			0,5x					2	∫			x		2				dx
	0,4										0,8
7	2,1		dx2								1,6						2	+ 2) dx
	∫					−1					∫lg(x						x
	1,4	3x									0,8
8	2,4		dx								1,2
	∫								2		∫cos x dx
	1,2	0,5 + x									0,4 x + 2
9	1,2	dx									1,2
	∫						2				∫(2x + 0,5) sin xdx
	0,4	3 + x									0,4
10	1,5		dx								0,8 tg(x 2							+ 0,5)
	∫										∫											dx
		1 + 2x						2						1 +				2x			2
	0,6										0,4
11	3,5	dx2									0,98		sin x dx
	∫										∫
	2	x		−1							0,18 x +1
12	1,3	dx2									1,8
	∫										∫			x +1 cos(x 2 )dx
	0,5	x		+ 2							0,2
13	2,6		2dx								3
	∫	x									∫x 2 lg xdx
	1,2			+ 0,6							1,4

15

14	2,2		dx2						2,2							2				+ 2) dx
	∫					+1			∫lg(x
	1,4	3x							1,4					x +1
15	1,8	dx2							1,2										2		) dx
	∫								∫cos(x
	0,8	x			+ 4				0,4				x +1
16	2,2		2dx						1,6
	∫	x							∫(x 2						+1)sin(x − 0,5)dx
	1,6				+ 2,5				0,8
17	1,6		2dx						1,4
	∫	x							∫x 2 cos xdx
	0,6				+ 0,8				0,6
18	2		2dx						2							2			+3) dx
	∫	x							∫lg(x
	1,2				+1,2				1,2						2x
19	2				dx2				3,3		lg(x					2			+ 0,8)
	∫								∫																		dx
		2x
	1,4						+ 0,7		2,5						x −1
20	4			dx					1,2 tg( x 2 )
	∫	0,5x					2	+1	∫			x +1									dx
	3,2								0,5
21	1,7				dx2				2,1									2			−1) dx
	∫	2x							∫sin(x
	0,8						+ 0,3		1,3				2							x
22	2,0				dx				1,0
	∫	0,5x					2	+1,5	∫(x +1) cos(x 2 )dx
	1,2								0,2
23	3,6	dx2							1,2									2			− 0,4) dx
	∫								∫sin(x
	2,1	x			− 3				0,8						x + 2
24	2,5			dx					0,63
	∫	0,2x					2	+1	∫				x +1 lg(x + 3)dx
	1,3								0,15
25	1,4				dx2				2,8		lg(1 + x											2	)
	∫								∫															dx
	0,6	12x + 0,5							1,2				2x −1
26	2,1			2dx					0,72
	∫	3x							∫(						x +1)tg2xdx
	1,3					− 0,4			0,6
27	2,6				dx				1,2		cos x
	∫								∫												dx
		1,5x				2		+ 0,7					2		+1
	1,4								0,8 x
28	0,5				dx2				2,8			x													x
	∫								∫(						+1) sin												dx
	0,15	2x						+1,6	1,2	2													2
29	3,5	dx2							1,6							2				+1) dx
	∫								∫lg(x
	2,3	x			− 4				0,8					x +1
30	0,66				2dx				3,2		x						x				2
	∫								∫				lg(									)dx
		x								2
	0,32					+ 2,3			1,6										2
31	1,3			2					π							1 sin2 xdx
	∫	x			2dx				∫			1 −
	−0,5		x				+1		0							4

16

32

3,4

x

2

dx

π 2

∫

∫

3 + cos xdx

x +1

2 ,2

0

33

1,6

x

2

+2

0,5 dx

3

x

∫

∫

dx

0,5

x

+1

2

cos x

34

2,64

(1 +1,2x 2 )dx

3,3

∫

0,8 +

x

2

+1,3

∫

x3 + x +1dx

1,2

2,1

35

2,6

(1 +1,5x 2 )dx

0,8

−

3x2

∫

∫e

dx

2,2x

2

+ 0,5

2

0,8 0,7 +

−0,9

36

2

xdx2

7π

∫

6

sin x

dx

0,8

x

+ 2

∫

x

π

6

37

∫ x2 dx

∫e−x2 dx

3,2

0,9

2,4

x + 2

−0,3

38

2

x +2

0,5 dx

2,4

∫

∫sin(x2 )dx

0,2

x

+1

0

39

1,5

x

2+ 2

5

dx

∫

dx

∫

x

ln x

0,7

+

1

2

40

2,5

x +3

2

π

∫

x

2

+

dx

∫cos

xdx

0,2

1

0

41

∫

xdx2

∫xe−x3 dx

2,6

−0,2

1,4

x

+1,8

−1,4

42

3,4

xdx2

2π

∫

∫esin x dx

2,2

x

+1

0

43

−1,3

xdx

2

π

∫

x

2

+1,8

∫

3 − cos 2xdx

−2,5

0

44

∫

x2 2+ 2 dx

∫e−2 x2 dx

1,8

0,9

−0,4

x

+1

−0,3

45

2

x2 dx

6

π

∫

x

2

+ 2

∫0

dx

0,6

1 − 0,5sin2 x

46

2,8

x

2

dx

π

∫

∫

1 − 0,1sin2 xdx

1,6

x +1,2

0

47

1,8

x

2

dx

2,4

∫

∫cos(x2 )dx

0,6

x +1,7

0

17

48	1,8	2				7π
	∫	x		+1,4 dx
			2		6		cos x		dx
	0,4	x		+ 0,2		∫	x
						π
					6
49	1,5		2xdx		1,2
	∫	x				∫sin			xdx
	0,8			+ 2,4	0
50	1,7	x +2		2,2 dx		π		1 cos2
	∫				∫		1 −			xdx
	0,4	x		+1	0			4

18

ЛИТЕРАТУРА

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИ-

НОМ, 2000. – 630 с.

2.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:

Наука, 1970. – 664 с.

3.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

4.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 376 с.

5.Ларсен Р.У. Инженерные расчеты в Excel: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 544 с.

6.Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы: Использование MATLAB. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 720 с.

7.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –

М., Физматгиз, 1963. – 656 с.

8.Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2002: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 624 с.

9.Інформатика: Комп’ютерна техніка. Комп’ютерні технології. Посіб./ За ред. О.І. Пушкаря – К.: Видавничий центр „Академія”, 2001. – 696 с.

19

Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная академия строительства и архитектуры

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторной работы на тему

«Численное интегрирование» по курсу «Вычислительная техника и программирование»

(для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)

Составители: Грицук Юрий Валериевич

Митраков Владимир Алексеевич Довгань Елена Федоровна