2. МЕТОД НЬЮТОНА
Если f (x),	f ' (x) и f '' (x ) непрерывны в окрестности корня, эту допол-
нительную информацию о свойствах функции					f (x)	можно использовать для
построения алгоритмов, которые порождают последовательности, сходящиеся к
корню быстрее, чем при методе деления пополам или методе ложного положе-
ния. Метод Ньютона-Рафсона (или просто Ньютона, также имеет названия
метод касательных и метод линеаризации) является одним из наиболее по-
лезных и самых известных алгоритмов, в котором используется непрерывность
f ' (x) и f '' (x ). Он быстро сходится (имеет квадратичную сходимость) и до-
пускает различные модификации, приспособленные для решения векторных за-
дач и других уравнений. Однако, этот метод эффективен при весьма жестких
ограничениях на характер функции			f (x ):			f (x)
1. существование	второй	производной		функции			на	множестве
G ={a ≤ x ≤ b};					f ' (x)≠ 0 для всех x G ;
2. удовлетворение первой производной условию
3. знакопостоянство f ' (x),		f '' (x )	для всех x G .
Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. За-
дается начальное приближение x(0) . Далее проводится касательная к кривой
y = f (x ) в точке x(0) (рис. 2.1), т.е. кривая заменяется прямой линией. В каче-
стве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной
с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересе-
чения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока разность последующего и
предыдущего значений (приращение) не станет меньше заданной величины ε .
f (x(0) )							В
	a	C		A		α	b
0		x*	x(2)		x(1)		x(0)

Рис. 2.1 Геометрические построения для метода Ньютона

Получим расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой ВС (точка С соответствует x* ) возьмем участок АВ – касательную, проведенную в

11

точке (x(0) , f (x(0) )). Для этого отрезка справедливо конечное соотношение:

f (x(0) )−0

= f ' (x

(0)

)≡ tgα

(2.1)

x

(0)

− x

(1)

где α - угол наклона касательной в точке (x(0) , f (x(0) ))к оси абсцисс.

Разрешая это соотношение относительно x(1), получаем:

x

(1)

= x

(0)

−

f (x(0) )

(2.2)

f ' (x(0) )

Повторяя процесс, находим общую формулу:

x

(k

+1)

= x

(k )

−

f (x(k )

)

, где k = 0 ,1,2,...

(2.3)

f ' (x(k ) )

Отметим, что если отбросить итерационный индекс, то (2.3) записывается

в виде нелинейного уравнения:

f (x)

x = x −

≡ϕ(x)

(2.4)

f ' (x)

которое, однако, на [a ,b] не равносильно исходному, а является таковым только в одной точке при x = x* . Поэтому данный метод не служит разновидностью

метода простых итераций.

Применим теперь для вывода формулы (2.3) метод линеаризации. Поло-

жим, что итерационный процесс имеет вид:
		x(k+1) = x(k ) +δ(k ) , где k = 0 ,1,2,...			(2.5)
где δ(k )	- поправка к k -му приближению, которую необходимо найти. Предпо-
лагая,	что	f (x ) имеет непрерывную	вторую	производную,	разложим
f (x(k ) +δ(k ) )		по формуле Тейлора относительно точки x(k ):
	f (x(k ) +δ(k ) )= f (x(k ) )+δ(k ) f ' (x(k ) )+ (δ(k ) )2 f "(ξ )				(2.6)
где ξ (x(k ) , x(k+1) ). Учитывая, что f (x(k )			2
			+δ(k ) )= 0	(это соответствует нахо-

ждению точки пересечения с осью абсцисс), и оставляя только линейную (относительно δ(k )) часть разложения (отсюда и название – метод линеаризации), записываем линейное относительно δ(k ) уравнение:

f (x(k ) )+δ(k ) f ' (x(k ) )= 0

(2.7)

12

	(k )		f (x(k ) )		δ	(k )
Отсюда выражается поправка δ		= −		. Подставляя			в (2.5),
			f ' (x(k ) )

получаем (2.3).

Замечания:

1)Из графика видно, что если начать строить касательные из точки а, то x(1) найдется вообще вне отрезка [a,b], где функция может быть даже не определена. Из простых рассуждений можно вывести правило выбора начальной

точки x(0) : в качестве исходной точки x(0) выбирается тот конец интервала [a,b], которому отвечает ордината того же знака, что и f "(x).

Или в виде формулы:

	(0)
x		a, если f (a) f "(a)> 0
		=	f (a)	(2.8)
		b, если		f "(a)< 0

2) Из графической аналогии метода ясно требование сохранения знаков f ' (x) и f "(x): функция на отрезке [a ,b] не должна иметь перегибов и изменения

монотонности.

Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона):

Пусть выполняются следующие условия:

1. Функция f (x) определена и дважды дифференцируема на участке [a,b].

2.	Отрезку [a ,b]	принадлежит	только	один	простой	корень	x* ,	так что
	f (a) f (b)< 0 .
3.	Производные f ' (x), f "(x) на [a,b] сохраняют знак, и					f ' (x)≠ 0 .
4.	Начальное	приближение	x(0)		удовлетворяет		неравенству
	f (x(0) ) f "(x(0) )> 0 (знаки функций			f (x )	и f "(x) в точке		x(0)	совпада-

ют).

Тогда с помощью метода Ньютона (2.3) можно вычислить корень уравнения f (x)= 0 с любой точностью ε .

2.1. Методика решения задачи

x(0)

1.

Задать начальное приближение

так, чтобы выполнялось неравенство

f (x(0) ) f "(x(0) )> 0 , а также

малое

положительное

число ε . Положить

k = 0 .

f (x(k ) )

2.

Вычислить x

(k+1)

по формуле x

(k +1)

= x

(k )

−

.

f ' (x(k ) )

x* x(k+1) , иначе по-

3.

Если

x(k +1) − x(k )

≤ ε , процесс завершить и положить

ложить

k = k + 1

и перейти к пункту 2.

13

Пример решения представлен на рис. 2.2.

14

Рис.2.2 Пример расчета по методу Ньютона.