Sopromat_spec_kurs_2003

11

b – ширина балки.

Знак (-) в формуле (2.1) указывает на то, что положительная реакция будет при отрицательном прогибе vz .

Величина k' определяется в зависимости от типа грунта по справочным данным и

находится в пределах 5-200 МН/м2.
Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса имеет вид:
	d2v	z		M	x		(2.3)
	dz2			EIx

Для решения задачи является целесообразным повысить порядок дифференциального уравнения (2.3).

Для это дважды продифференцируем уравнение (2.3):

d			d2v				dMx
									Qy ,
	2			2
dz		EI	dz				dz
d2			d2v				dQy
									p,
	2			2
dz		EI	dz				dz

или

d4v

z

p

(2.4)

dz

4

EIx

Суммарная интенсивность распределенной нагрузки

p r q

(2.5)

Подставляя уравнение (2.5) в (2.4) получим:

d4v

z

r q

kv

z

q

EIx

EIx

dz4

или

d4v

z

k

q

(2.6)

vz

EIx

dz4

EI

Для участка балки, на котором отсутствует распределенная нагрузка q, уравнение

(2.6) примет вид:

d4v

z

k

v

z

0

(2.7)

dz4

EI

Для решения уравнения (2.7) введем безразмерную координату z .

L

Здесь L - параметр, имеющий размерность равный единице длины.

Тогда дифференциал d 1 dz .

L

В уравнении (2.7) перейдем от переменной z к переменной . Для этого найдем:

dv

dv

d

1

dv

dz

d dz

L dz

d2vz

d dv

d

1 dv

1 d2vz

2

2

2

dz

d

L d

dz dz

L d

аналогично

d4v

1

d4v

.

z

z

dz

4

4

d

4

L

Уравнение (2.7) после преобразования имеет вид:

d4vz

kL4

vz

0

(2.8)

d 4

EI

12

d

4v

z

4vz 0

(2.9)

d 4

В уравнении (2.8) обозначено

kL4

4EIx

4 откуда L

4

EI

R

L – характеристика балки на упругом основании.

Решение уравнения (2.9) представим в виде:

Характеристическое уравнение:

vz

Cen

n4 4 0, n2 2i

n1,2

,

n3,4

2

i

2

i

Извлекая квадратный корень из комплексного числа, получим корни

характеристического уравнения:

n1,2 1 i ,

n3,4 1 i

Решение уравнения (2.9) запишем в виде:

v

z

C e e i C

2

e e i C

3

e e i

C

4

e e i

(2.10)

1

После преобразований, перейдя к новым постоянным, получим: vz C1*e cos C2*e sin C3*e cos C4*e sin

здесь C1 ,C2 ,C3 ,C4 произвольные постоянные, которые находятся из условий закрепления балки.

2.3. Расчет бесконечно длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании при действии сосредоточенной силы Р

На балку бесконечной длины действует сосредоточенная сила Р (рис. 2.2). Упругое основание оказывает одинаковое сопротивление растяжению и сжатию. Упругая линия балки симметрична относительно точки приложения нагрузки, поэтому будем рассматривать только ее половину. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2.8). Интеграл этого уравнения записываем в виде:

v

z

C e

cos C

2

e sin C

3

e

cos C

4

e sin

(2.11)

1

Определяем произвольные постоянные из условия:

v 0

' 0

Два первых слагаемых выражения (2.11) после подстановки , обращается в

ноль, так как

e 0.

Два вторых слагаемых могут быть равны нулю при условии

C3 C4 0.

Уравнение прогибов балки примет вид:

v

z

C e cos C

2

e sin

(2.12)

1

Из условия симметрии, угол наклона касательной к оси бруса в начале координат

(под грузом) будет равен нулю.

0

0

0

z

dvz

C e

cos e sin C

e sin e cos 0

dz

1

2

Тогда:

C1 C2 0:

C1 C2 C

e C sin cos

vz

(2.13)

13

y

P

P

P

Для определения произвольной постоянной С вырежем участок балки длиной dz у места приложения силы Р (рис. 2.3) и рассмотрим его в равновесии.

При 0,

Qy

P

d2v

M

2

d2v

z

x

:

Mx

EIx

(2.14)

dz2

EIx

dz

2

dM

x

1

d3v

z

P

Qy

EI

-

dz

L3

d 3

2

После преобразований, перейдя к переменной , получим:

	C	PL3	(2.15)
		8EIx

Уравнение упругой линии рассматриваемой балки запишется в виде:

	vz		PL3	e sin cos	(2.16)
			8EIx

14

Продифференцировав уравнение (2.1.6), получим выражения, по котором построим эпюры Mx , Qy и vz (рис. 2.2. b, c, d).

2.4. Расчет коротких балок, лежащих на упругом основании методом начальных параметров

Балка рассчитывается как короткая и гибкая при l 0.8h5E/E0 и 3/2 .

Е и Е0 – соответственно модули упругости бетона и упругого основания.

Балка постоянного поперечного сечения загружена, как показано на рис. 2.4.

	P
P	C
Рис. 2.4

Решение уравнения (2.9) будем искать в виде гиперболо-тригонометрических

функций А.Н.Крылова:
vz А 1 В 2 С 3 D 4	(2.17)

Здесь: A, B, C, D – произвольные постоянные;i - функция академика А.Н.Крылова;

1 ch cos

2 1 ch sin sh cos

2

3 1 sh sin (2.18) 2

4 1 ch sin sh cos

4

Гиперболический sh			и гиперболический ch определяются из выражений:
sh	e e		ch	e e
					(2.19)
				2
2

15

e - основание натурального логарифма.

Результаты дифференцирования и интегрирования названных функций приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Функция	Производная								Интеграл
1				4				4	L			2
				L
2	1				1				L			3
		L
3	1						2		L			4
		L
4		1								L	1
							3
		L							4

Рассмотрим первый участок балки ОА. Начало координат выбираем в крайней левой точке О.

Начальные параметры v0 , 0 ,M0 ,Q0 , переменная координата z.

Запишем уравнение vz , z ,Mz

и Qz

для первого участка, на котором отсутствует

равномерно распределенная нагрузка.

vz

A 1 B 2 C 3 D 4

(2.20)

z

dv

1

B

C

D

4A

(2.21)

dz

L

1

2

3

4

Mx EI

d2vz

EI

C 1 D 2 4A 3 4B 4

(2.22)

dz2

L2

Q

y

dML

EI

D

4A

4B

4C

(2.23)

dz

L3

1

2

3

4

Постоянные интегрирования найдем из условия:

z

z

0 v

z

v

условие (а);

z

условие (b);

0

0

L

Mz

M0 условие (c);

Qz

Q0 условие (d)

Подставляя названные условие a, b, c, d в соответствующие уравнения и

учитывая, что при z 0 1 z 1,

2 z 3 z 4 z 0

получим:

a (2.20) v0

A;

A v0

b (2.21)

1

B;

B

L

0

L

0

M0L2

c (2.22) M

0

EI

C;

C

EI

L2

d (2.23) Q

EI

D;

D

Q L3

0

L3

EI

0

Уравнения vz , z ,M,Q для первого участка балки примут вид:

vz	v0 1 0 L 2		M0	L2 3		Q0	L3	4	(2.24)
			EI
						EI

16

z 0 1							M0		L		2			Q0L2						3					4v0					4			(2.25)
							EI																		L
															EI
M M					Q L								4EI			v									4EI								(2.26)
	0			1	0					2				L2				0			3				L					0	4
Q Q						4EI		v							4EI											4		M					(2.27)
															L2											L
0 1							L3		0		2									0		3								0	4

Второй участок балки АВ.

Начало координат точка А. Начальные параметры va , a ,Ma ,Qa , переменная

координата z1.

Дифференциальное уравнение упругой линии для этого участка будет отличаться

от уравнения (2.9) только переменной 1 z1 .

L

4

dd v14z 4vz1 0

Поэтому интеграл это уравнения можно записать как (2.17), заменив при этом нулевые индексы начальных параметров на индекс «а», а аргумент функций на

	1		z1	.
			L						Ma					Qa L3
				vz	va 1 1	a L 2	1			L2	3	1			4 1	(2.28)
														EI
									EI

Точка А одновременно принадлежит первому и второму участку. Следовательно, начальные параметры va , a ,Ma ,Qa можно вычислить соответственно из уравнений

(2.24)-(2.27), подставляя вместо t a a/L . После преобразований, возвратившись к

прежней переменной z		a z1	, которые были подробно показаны при выводе
		L

обычного уравнения метода начальных параметров, получим следующее уравнение прогиба для II участка.

vz v0 1 0 L 2	M0	2		Q0	3	+	ML2	3 1
		L 3			L 4				(2.29)
	EI			EI			EI

Сравнивая полученное уравнение vz (2.29) для второго участка с аналогичным уравнением vz (2.24) для первого участка видим, что от момента М, приложенного в

точке А,

добавилось

новое

слагаемое

ML2

3

1

, подобное

слагаемому

EI

M0 L2

M

0

3

1

.

EI

PL3

Рассуждая

аналогично для III участка,

получим

новое слагаемое

4 p ,

EI

подобное слагаемому

QL3

4

.

EI

Для IV участка распределенную нагрузку q можно рассмотреть как элементарную

uН

сосредоточенную силу dp qdu,

qdu

4 4 du.

EI

uК

17

Учитывая, что на балке может быть одновременно несколько одноименных

силовых факторов, окончательные уравнения vz , z ,Mx

иQy запишутся в следующем

виде:

vz v0 1 0 L 2

M0

L2 3

Q0

L3

4 +

EI

uН

EI

n

2

n

3

n

3

1

ML

3 т 1

PL

4 p 1

dL

4 4 du

(2.29)

EI

EI

EI

uК

z

0 1

M0

L 2

Q0L2

3

4v0

4 +

EI

EI

uН

L

n

M0L

n

2

n

2

1

2 т 1

PL

3 p 1

dL

3 4

du

(2.30)

EI

EI

EI

uК

M

x

M

Q L

4EI

v

4EI

0

1

0

2

L2

uН

0

3

L

0

4

n

n

n

M 1 т PL 2 p

qL 2 4 du

(2.31)

1

1

1

uК

Q Q

4EI

v

4EI

4

M

L2

0

0

1

L3

0

2

0

3

L

0

4

n

4

n

n

uН

M

4 т P 1

p q 1 4 du

(2.32)

1

L

1

1

uК

Правило пользования полученным уравнениями (2.29) – (2.32) такие же, как и для случая использования метода начальных параметров для обычной балки.

Функции А.Н. Крылова можно определить по специальным таблицам в зависимости от параметра z или вычислить аналитически.

18

РАЗДЕЛ 3. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

3.1. Основные понятие

Тонкостенными называются стержни, у которых толщина составляющих его элементов поперечного сечения в 8-10 раз меньше поперечных размеров стержня. Поперечные размеры b, h, в свою очередь, в 8-10 раз меньше длины стержня l.

К тонкостенным стержням можно отнести элементы оболочек, гнутые профили в металлостроительстве и т.д.

При расчете тонкостенных стержней рассматривается его срединная поверхность, которая проходит через средину образующих его элементов.

След срединной поверхности поперечного сечения образует профиль элемента. По очертанию поперечного сечения тонкостенные стержни бывают закрытого

профиля (рис. 3.1а) и открытого профиля (рис. 3.1. б).

В тонкостенных стержнях не всегда применим принцип Сен-Венана, так глубина проникновения краевых особенностей значительно больше, чем в сплошных стержнях. Сечение тонкостенного стержня при деформации не остается плоским. Сечение в этом случае искривляется, депланируется. При этом происходит перемещение точек из плоскости поперечного сечение вдоль оси стержня z.

3.2. Свободное кручение тонкостенного стержня

При свободном кручении стержня депланация всех поперечных сечений одинакова (рис. 3.2). В этом случае, расстояние между точками m и n, лежащих на образующей стержня до и после деформации не изменится. Продольные волокна элемента не меняют своей длины, относительная деформация z 0.

19

При свободном кручении элемента нормальные напряжения z z E 0. В сечении действуют только касательные напряжения .

Приведем аналитические формулы, полученные при свободном кручении тонкой полосы (рис. 3.3). Поток касательных напряжений направлен по замкнутым кривым (рис. 3.3 а). На рисунке (3.3 б) показаны соответствующие эпюры касательных напряжений.

Максимальные касательные напряжения действуют в точках, расположенных посередине длинной стороны h и определяется по формуле:

		max		M0		(3.1)
				Id

Угол закручивания можно найти как:

' M0

GId

В формулах (3.1) и (3.2) принято: М0 – момент чистого кручения;

G – модуль сдвига;

Id – геометрическая характеристика поперечного сечения

Id		h 3
	3

Для стержней, состоящих из нескольких полос

Id n hi 3i

1 3

hi и i по каждому элементу определяется по срединной линии.

Коэффициент зависит от формы сечения

1 1,2

(3.2)

(3.3)

(3.4)

20

3.3. Стесненное кручение

Стесненным называется такое кручение, при котором депланация поперечных сечений стержня не одинакова (рис. 3.4). В сечении с заделкой

элемент т.с.

цилиндрической формы

имеет депланацию равную нулю. На свободном конце, где приложен

крутящий момент,

депланация наибольшая. В промежуточных сечениях депланация меняется от нуля до наибольшей величины. Перемещения разных точек поперечного сечения не одинаковы - z 0. В этом случае в сечении возникают нормальные и касательные напряжения.

Для расчета тонкостенных профилей необходимы специальные геометрические характеристики поперечных сечений, которые называются секториальными.

3.4. Секториальные характеристики поперечных сечений тонкостенных профилей

Для определения секториальных характеристик используется как декартовая система координат, когда положение точки определяется координатами x, y, z, так и гауссова система координат: одна координата линейная – z, а вторая криволинейная - S . Координата z направлена вдоль оси стержня, координата S расположена в плоскости поперечного сечения профиля.

Рассмотрим поперечное сечение тонкостенного профиля (рис. 3.5). Оси x и y – главные центральные.

Положение точки М на срединной поверхности определяется линейными координатами х и у и так называемой секториальной координатой . Секториальной координатой или секториальной площадью точки М называется удвоенная площадь сектора, образованного поворотом радиуса вектора АМ0 вокруг полюса А и отсчитываемой от начальной точки М0 (рис. 3.5 а).