Sopromat_spec_kurs_2003

21

	d 2		1	rds rdS	(3.5)
			2
	S	S		S
	При повороте радиуса вектора АМ0		по часовой стрелке секториальная координата
	считается положительной. Откладывая для каждой точки поперечного сечения				i в

виде отрезков, перпендикулярных контуру поперечного сечения, получаем эпюру секториальных координат (рис. 3.5 в).

Величина секториальной координаты зависит от выбора начальной точки М0 и полюса А.

3.5. Зависимость между секториальными координатами при переносе нулевой

точки М0

Секториальную координату точки М при

начале отсчета М0 обозначим через (рис. 3.6).

Секториальную координату этой точки М, но при

начале отсчета М1 - 1 .

В свою очередь секториальные координаты

точки М0 при начале отсчета М1 - 0 .

Следовательно, как видно из рисунка 3.6.

1 0

(3.6)

3.6. Зависимость между секториальными координатами при переносе полюса А
Вычислим		элементарную	секториальную
координату	в	декартовой системе координат
(рис. 3.7).
d rds
ds d
cos
тогда
d r d 2d x2 y2 d xxd yyd
cos
Из рис. 3.7. следует:
x sin		dx cos d yd
y cos		dy sin d xd
Следовательно,
d ydx xdy		(3.7)
На основании формулы (3.7) дифференциал секториальной координаты точки М
при положение полюса в точке А можно записать (рис. 3.8).
d A y yA dx x xA dy d yAdx xAdy

22

Секториальная координата этой точки М при

		полюсе В:
		d B y yB dx x xB dy d yBdx xBdy
		Согласно формуле (3.5), интегрируя по дуге S
		получим:
		A yA x xA y C1
		B yB x xB y C2
		Вычитая из первого выражения второе
		получим:
		A B xA xB y yA yB x C	(3.8)
		Постоянная интегрирования С зависит от
		выбора начальной точки М0.
	3.7. Секториальные характеристики поперечных сечений
	Секториальный статический момент:
	S dF		(3.9)
		F
	Секториально-линейные статические моменты:
	S x	xdF
		F	(3.10)
	S y	ydF
		F
	Секториальный момент инерции:
	I 2dF		(3.11)
		F

3.8. Главные секториальные характеристики

Расчет тонкостенных стержней значительно упрощается, если пользоваться главными секториальными координатами.

В этом случае находят положение главного полюса и главной нулевой точки. Главным полюсом или центром изгиба называется точка, относительно которой

секториально-статические моменты равны нулю:

S	S	y	(3.12)
	x

Для вычисления координат главного полюса А в системе главных центральных осей х и у из произвольного полюса В строим эпюру секториальных координат B .

Вычисляем S x и S y . Затем на основании условия (3.12) и формулы (3.8) находим

координаты главного полюса А. Положим, что S x 0, тогда:

A

xdF

B

xdF x

A

x

yxdF y

A

y

B

x2dF c

xdF 0

B

F

F

F

F

F

Учитывая,

что

в

системе

главных

центральных

осей yxdF Ixy

0

xdF Sy

F

0, получим:

F

					23
y		y			S B x
	A		B			(3.13)
					Iy

Аналогично при S y 0 найдем:

			S	B	y
xA	xB					(3.14)
			Ix

Если поперечное сечение имеет ось симметрии, то главный полюс лежит на этой оси. При наличии двух осей симметрии главный полюс лежит на пересечении этих осей (т.е. совпадает с центром тяжести).

Главной нулевой точкой называется точка, расположенная на срединной линии поперечного сечения, для который секториальный статический момент, вычисленный из главного полюса, равен нулю.

S A	AdF 0	(3.15)
	F

Вычисляем сначала секториальный статический момент поперечного сечения при

произвольной нулевой точке S 1 . Далее с помощью формулы (3.6) и условия (3.15)

вычисляем секториальную координату главной нулевой точки

1dF 0dF 0 или 1dF 0 dF 0

F F F F

0 - const, так как для всех точек поперечного сечения это секториальная координата

главной точки М0 относительно произвольной точки М1. Следовательно,

	0		1dF	(3.16)
			F
			F

Если поперечное сечение имеет ось симметрии, то главная нулевая точка лежит на пересечении срединной линии с осью симметрии.

3.9.Алгоритм определения геометрических характеристик

1.Определить положение центра тяжести сечения;

2.Определить положение главных осей инерции;

3.Определить величины главных моментов инерции;

4.Определить положение главного полюса и главной нулевой точки;

5.Определить величину секториального момента инерции.

В том случае, когда профиль состоит из узких полос прямоугольного сечения длиной S и толщиной , элементарную площадь dF и известные геометрические характеристики можно представить так:

dF dS			F dF S			(3.17)
				F
Sy	xdF xdS		Sx	ydF ydS		(3.18)
	F	S		F	S
Iy	x2dF x2dS		Ix	y2dF y2dS		(3.19)
	F	S		S	S
Ixy	xydF xydS					(3.20)
	F	S
Аналогично секториальные геометрические характеристики.
Sx	dF dS					(3.21)

F S

			24
S y	xdF xdS		(3.22)
	F	S
S x	ydF ydS		(3.23)
	F	S
I 2dF 2dS			(3.24)

FS

3.10.Пример определения геометрических характеристик тонкостенного профиля

Для изображенного на рис.3.9 тонкостенного швеллера вычислить главные секториальные характеристики.

Площадь поперечного сечения

F 2 b h 2b h 38см2

Положение центра тяжести

x0		2 1b 0,5b								2,375см
				F
Главные моменты инерции:
		h3				h						2					4
Ix				2 b								2286см
		12
						2
			2		b3							b						2	4
Iy	hz		0		2						b			z	0			357см
					12							2

Определим положение главного полюса А. Поместим сначала полюс в произвольную точку В (рис. 3.10).

Приняв эту же точку за начало отсчета, построим эпюру секториальных координат B (рис. 3.10 а). Эпюры линейных координат в системе главных центральных осей показаны на рис. 3.10 б, 3.10 в.

При помощи этих эпюр по правилу Верещагина вычислим секториальнолинейные статические моменты:

S B y	B ydF i B ydS		b2h		h		b2h2	8145см5
			2
	F	S		2		4

25

S

x

b

bh

b2

2

bh

b2h

2b 3z

0

3393см5

Bx

0

2

2

3

6

По формуле (3.14) получим:

b2h2

xA

xB

1

2,3 5 3,56 5,94см

По формуле (3.13):

4Ix

S Bx

y

A

y

B

9,5

3393

9,5 9,5 0

Iy

357

Следовательно, главный полюс расположен на оси симметрии. Теперь найдем положение главной нулевой точки. Сначала примем за начало отсчета произвольную точку I.

Из главного плюса А и начала отсчета в точке I строим эпюру секториальных координат (рис. 3.10 г).

На этой эпюре на основании формулы (3.16) находим:

S 1

1dF i

1dS 1hab

hah

,

F

S

2

ha ha b 0,5h

abh 0,5 ah2

ha

0

2 b h

2 2b h

2

Точка с такой секториальной координатой находится на пересечении оси х с осью стенки швеллера.

Зная положение главного плюса А и главной нулевой точки О, строим эпюру главных секториальных

координат (рис. 3.11).

По формуле (3.11) найдем секториальный момент

инерции:

I 2dF i 2dS,

F S

										ah h 2 ah													ah a 2 ah																h			b a 2 h
	I		2																																			1			b a						b a
									2				4		3			2				2				4					3		2						2			2		3	2
				a	2	h		3				a		3	h		2					3				h		2						h		2
2																					b a																ha2 2 a3 b a 3
																						12
			24										12																				12
	h2			ha2						2 a3					b a 3										192						1	19 3,572								23,573		5,933 22567см
12
																										12
где a xA x0						3,57см

26

3.11. Продольные деформации при стесненном кручении

Теория расчета прямых тонкостенных стержней построена на следующих гипотезах:

1.Гипотеза жесткого контура. Контуры поперечных сечений не деформируются в своей плоскости, а только поворачиваются как жесткие диски. Следовательно, расстояние между двумя произвольными точками поперечного сечения остается постоянным.

2.Гипотеза отсутствия сдвигов на срединной поверхности. Переменный элемент не перекашивается, а лишь смещается, оставаясь прямоугольным.

При кручении

тонкостенного стержня (рис.
3.12) его поперечное сечение,
взятое на расстоянии z от начала
координат,	поворачивается на
угол z . Наряду с этим
появляются		депланации
поперечных сечений, связанные
с перемещением точек контура
вдоль оси z.
В	гауссовой	системе
координат	S z	рассмотрим

деформацию бесконечно малого элемента с размерами ds,dz (рис. 3.13).

Полное перемещение точки a aa1		разложим на три проекции u,v, .
- нормаль к поверхности.
Согласно гипотезе 2 угол сдвига
zs	1		2 0	(3.25)
1 - угол, обусловленный депланацией.			Зависит от разности смещений точек а и с
элемента.

du

1 ds

2 - угол, вызванный поворотом контура поперечника. Зависит от разности смещений

точек а и b.

a1b1 d

							27
Проекция этого перемещения на касательную к контуру:
						a1b' a1b1 cos d cos r d dv
Здесь принято cos r/ .
Тогда учитывая, что
			dv	r	d	, формула (3.25)	примем вид:	du	r	d	0. Отсюда
	1		dz		dz			ds		dz

du r d dS' z 'zdS'. dz

Полное перемещение по дуге контура S'

u ' rds ' d ' 0

SS

0 - секториальная координата точки поперечного сечения, от которой ведется

интегрирование. Относительная деформация

	z		du	'			(3.26)
					0
			dz

3.12. Секториальные нормальные напряжения

Будем полагать, что волокна не давят друг на друга. На основании закона Гука:

E z E '' 0

Проведем сечение и рассмотрим часть стержня в равновесии (рис. 3.14).

Fz 0

dF E '' 0 dF 0

F F

E '' 0 0 dF 0

F

Следовательно:

dF

0 F

F

28

В случае, когда отсчет ведется от главной нулевой точки dF 0. Поэтому

0	0.	F
	Тогда секториальное нормальное напряжение
	E ''	(3.27)
	Запишем два другие уравнения равновесия:

mx	0	dFy E '' ydF 0			S y	0
my		F	F
	0		dFx E '' xdF 0		S x	0
		F	F

Значит, в формуле (3.27) является главной секториальной координатой. Записав по аналогии

dF B

(3.28)

F

получим силовой фактор, который называется изгибно-крутящим бимоментом. Подставив в формулу (3.28) значение из (3.27)

B E '' 2dF E ''I

F

Отсюда '' B EI

Формула (3.27) примет вид:

				B	(3.29)
				I

Можно показать, что бимомент при кручении двутаврового сечения представляет произведение моментов внутренних сил в полках на расстоянии между ними (рис. 3.15).

29

3.13. Касательные напряжения при стесненном кручении

При стесненном кручении помимо обычных касательных напряжений (3.1) возникают секториальные касательные напряжения .

Момент чистого кручения

MK GIk ' z

(3.30)

Момент секториальных касательных напряжений относительно главного полюса А (рис. 3.16) называется изгибно-крутящим моментом и равен

MK ds r d	(3.31)
F

Для вычисления рассмотрим равновесие элемента, выделенного двумя

поперечными сечениями на расстоянии dz и продольным сечением на расстоянии S от кромки стержня.

В продольном сечении возникают касательные напряжения, равномерно распределенные по толщине сечения элемента.

Fz 0	dF dz d dF 0						(3.32)
	F					F0
После подстановки получим
dz		dB				dF
		I
					F0
Здесь dF S0 -	секториальный статический момент						части площади
F0

поперечного сечения, расположенный по одну сторону от той точки, где вычисляются

.
Следовательно,
			dB		S0
						(3.33)
			dz
					I
Подставляем	в формулу (3.31)

				30
	M	dB 1		S0d			(3.34)
		dz I F
	Интегрируя по частям, найдем:
	S0d S0		S dS0
	F			F
S0	0 - главная секториальная координата.
	dS0 dF 2dF I
	F	F		F
	Тогда формула (3.34) запишется в виде:
	M	dB EI 'Z''					(3.35)
		dz
	Подставляя полученную дифференциальную зависимость в формулу (3.33),
получим:
		M S0					(3.36)
		I
	3.14. Дифференциальное уравнение стесненного кручения
				При стесненном кручении
				возникает два вида касательных
				напряжения K		и . То есть
				внешний		момент		М
				уравновешивается				двумя
				внутренними			силовыми
				факторами:	моментом чистого
				кручения	МК	и	изгибно-
				крутящим моментом			M	(рис.
				3.17).
				M MK		M
				Подставим сюда равенства
				(3.30)	и	(3.35)		и
координате z.				продифференцируем				по

GIK ''z EI IVz dM dz

Интенсивность распределенного внешнего момента

m				dM
z					dz
Дифференциальное уравнение углов закручивания
IV		k			2	''		m z		(3.36)
z						z
								EI
Здесь обозначено k2	GIK				- изгибно-крутильная характеристика стержня.

EI

По аналогии с изгибом балки, при отсутствии внешней нагрузки m z 0 ,

дифференциальное уравнение (3.36) становится однородным и его интеграл можно записать в виде:

z C1 C2 z C3shkz C4chkz

(3.37)