- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
Расчет элементов коэффициента
|
|
|
|
|
|
|
17,44 |
22,95 |
3,00 |
15,77 |
304,15 |
248,56 |
274,96 |
17,28 |
24,84 |
1,56 |
16,35 |
298,60 |
267,36 |
282,55 |
17,92 |
29,97 |
2,88 |
20,14 |
321,13 |
405,72 |
360,95 |
18,88 |
28,08 |
2,28 |
18,70 |
356,45 |
349,61 |
353,01 |
17,12 |
24,30 |
1,20 |
15,86 |
293,09 |
251,50 |
271,50 |
21,12 |
32,40 |
2,64 |
21,57 |
446,05 |
465,43 |
455,64 |
20,00 |
29,97 |
3,48 |
20,40 |
400,00 |
415,97 |
407,91 |
20,64 |
33,48 |
2,28 |
22,10 |
426,01 |
488,56 |
456,21 |
19,68 |
29,70 |
2,52 |
19,82 |
387,30 |
392,86 |
390,07 |
18,40 |
26,73 |
2,40 |
17,90 |
338,56 |
320,30 |
329,30 |
188,48 |
282,42 |
24,24 |
188,61 |
3571,35 |
3605,87 |
3582,11 |
В соответствии с формулой (3.4.3) множественный коэффициент корреляции равен
.
В нашем случае . То есть 99,95% дисперсии показателяможно объяснить с помощью построенной модели зависимости оти. Рассчитанный коэффициент указывает на высокую степень соответствия математической модели фактическим данным.
Для нахождения доверительного интервала для множественного коэффициента корреляции найдем по таблицам Стьюдента (приложение Д) находим критическую точку, поэтому
.
Тогда доверительный интервал, найденный по формуле (3.4.4), имеет вид
или.
Поскольку коэффициент множественной корреляции должен находиться в границах от 0 до 1, то доверительным интервалом для него будет ,
что указывает на удачный подбор модели.
Для проверки значимости уравнения регрессиирассчитаемстатистику по формуле (3.4.5).
По таблицам Фишера (приложение Е) найдем критическое значение . Поскольку, то уравнение множественной регрессии (3.4.1) следует считают надежным.
Вычислим прогноз для и. Тогда по формуле (3.4.8) следует ожидать, что значение показателя будет равно
.
3.4.2. Матричный подход
Построение модели линейной регрессии возможно проводить матричным методом. При этом результаты наблюдений , значения объясняющих переменных, параметрыфункции регрессии записываем в виде матриц:
,,.
При этом вводят переменные:
- вектор-столбец наблюдений над результативным показателем;
- матрица данных, причем первый столбец всегда состоит из единиц;
А - вектор-столбец коэффициентов регрессии.
Тогда уравнение регрессии в матричной форме имеет вид:
. (3.4.9)
Используя МНК, получим в качестве решения системы нормальных уравнений вектор-столбец искомых параметров регрессии:
, (3.4.10)
где - транспонированная матрица.
Таким образом, можем установить последовательность выполняемых действий:
составить матрицу ;
выписать вектор ;
получить транспонированную матрицу ;
найти произведение матриц ;
найти произведение матрицы на вектор;
определить обратную матрицу ;
составить произведение , провести вычисления и определить вектор коэффициентов уравнения;
записать моделирующее уравнение.
Переход к матричной форме позволяет, во-первых, представить алгоритм нахождения коэффициентов уравнения в более компактном конкретном виде, а во-вторых, использовать по этому алгоритму любой пакет программ, позволяющий проводить действия с матрицами.
Покажем на конкретном примере, как проводятся вычисления и находятся параметры линейного уравнения множественной регрессии.
Пример 3.9. Построить модель, которая характеризует зависимость между показателем , факторамии. Провести анализ взаимосвязи на основе полученной модели.
|
2,72 |
3,04 |
2,84 |
2,89 |
2,58 |
2,64 |
2,52 |
2,75 |
2,63 |
|
15,6 |
13,5 |
15,3 |
14,9 |
15,1 |
16,1 |
16,7 |
15,4 |
17,1 |
|
106,3 |
128,5 |
118 |
121,2 |
120 |
118,4 |
108,4 |
110 |
105,9 |
Решение. Оценим параметры модели по МНК. Выпишем основные матрицы, входящие в исследование:
,
Замечание. |
В матрице всегда первый столбец состоит из единиц – это связано с присутствием в уравнении свободного члена. |
,
Найдем обратную матрицу:
Определим оценки параметров модели по формуле (3.4.11):
Таким образом, и искомая модель имеет вид:
.
Оценка коэффициентов уравнения
Оценку значимости коэффициентов уравнения также можно проводить на основе матричного подхода. Для этого вначале определяют дисперсии оценок параметров: ,,…,. Эти величины будут диагональными элементами матрицы:. После этого устанавливают-статистики по коэффициентам:
,,…,………………….(3.4.11)
Для рассматриваемого примера 3.9 матрица известна. Если ее диагональные элементы умножить на= 0,011851, найденное по формуле (3.1.21) то получим такие результаты:
= 3,4739,= 1, 86385;
= 0,00397,= 0, 063021;
= 0,000072,= 0, 008485.
t – статистики Стьюдента, устанавливающие значимость коэффициентов регрессионного уравнения, определяются по формулам (3.4.11), и для рассматриваемого примера таковы:
;
;
.
Зададим уровень значимости , тогда
.
Сравнивая значения t-статистик, можно сделать вывод, что коэффициент является незначимыми.
При уровне значимости имеем, поэтому коэффициентыинезначимы в построенном уравнении регресси.
3.4.3. Построение множественной регрессионной модели с использованием EXCEL
Уравнение линейной регрессии можно построить в пакете электронных таблиц Excel .
В состав пакета Excel входит набор способов анализа данных, который называется Пакетом анализа и предназначен для решения различных заданий. Для ознакомления с этим пакетом, следует в меню окна Excel выбрать опцию Сервис и в появившемся меню нужно выбрать опцию Анализ данных. В результате получим окно (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Окно Анализ данных
С помощью клавиш прокрутки можно выбрать любую из приведенных функций анализа.