8)

Б)

*)

В случае Е>Е_ЭК активный двухполюсник будет работать в ре­жиме активного приемника.

Метод эквивалентного активного двухполюсника имеет огромные преимущества по сравнению с другими методами анализа сложных электрических цепей в случае, когда необходимо провести не общий, а частичный анализ электрической цепи, связанный с определением значений тока в одной ветви при различных значениях ее сопротив­ления и э.д.с.

Пример 1.6. В мостовой цепи (рис. 1.26, а), предназначенной для контроля тем­пературы с помощью измерительного прибора с сопротивлением /?_и, необходимо про­анализировать зависимость тока ветви с датчиком от сопротивления датчика /?_д,

о

а

Рис. 1.26. Схема мостовой цепи (а), схемы для определения э. д. с«

(б) и внутреннего сопротивления (в) эквивалентного генератора

зависящего от контролируемого параметра, т. е. от температуры. В этом случае це­лесообразно воспользоваться методом эквивалентного активного двухполюсника (эквивалентного генератора). С этой целью активный двухполюсник, содержащий вею мостовую цепь, кроме ветви с датчиком (рис. 1.26, б), следует заменить источником _% э. д. с. Е_9К= U_{ab х} и резистивным элементом с сопротивлением R_af, _вх. Напряжение U_af) х можно найти, разомкнув (отключив) ветвь с датчиком (рис* 1.26, б): С/_а&_х= “fll/ix-f ^И^И. X

Необходимые токи в ветвях цепи в режиме холостого хода соответственно равны*

, Е , ' у Яг

^1Х ^1 + ^2 (^3 + ^и)/(^2 + ^3 + ^и) ^И*^{Х 1Х}/?2 + ^?3 + Яи

Входное сопротивление относительно точек а и Ь можно найти, исключив источник э.д.с. Е% и соединив точки бис (рис. 1.26, в);

В — [^1^2(#1-Ь#2)-|"#и1 #3

*^{аЪ вх} R1R2KR1 + Я 2) + Яг+ R*‘

Определив U_аь _х и R_at, _вх, легко проанализировать зависимость /_д.(/?д)3

Iд ^ Uab xftRab вхЧ"^д)«

§ 1.14. Режимы работы активных двухполюсников

Любую сложную электрическую цепь с несколькими активными эле­ментами всегда можно представить в виде активного двухполюсника, соединенного с пассивным двухполюсником (рис. 1.27). Активный двухполюсник обычно характеризует совокупность источников элект­рической энергии, а пассивный — совокупность пассивных прием­ников. В соответствии с теоремой об активном двухполюснике много­элементный двухполюсник можно заменить двухэлементным активным

mm

двухполюсником (эквивалентным генератором). Пассивный двухпо­люсник можно представить одним резистивным элементом.

Работа активного двухполюсника, подключенного к пассивному двухполюснику, характеризуется режимами холостого хода, корот­кого замыкания, согласованным и номи­нальным режимами.

Режйм холостого хода со- ответстувет отсутствию тока в приемнике и осуществляется отключением пассивного двухполюсника от активного. Напряжение холостого хода активного двухполюсника U _х равно э.д.с. Е_9К эквивалентного генера­тора.

короткого замыкания активного двухпо- тогда, когда сопротивление приемника равно

Рис. 1.27. Пассивный двух­полюсник, подключенный к активному двухполюснику

Режим люсника возникает нулю. При этом напряжение на зажимах активного двухполюсника также равно нулю, т. е.U_K=0. Ток в режиме короткого замыкания достигает максимального значения, он ограничен лишь внутренним сопротивлениемR_BTэквивалентного генератора:

I« =E₉JR_bj. (1.47)

Обычно режим короткого замыкания в цепи является аварийным, так как возникающие при этом токи во много раз превышают номи­нальные значения, на которые рассчитаны элементы цепи.

Согласованный режимработы активного и пассивного двухполюсников соответствует максимальной активной мощности пассивного двухполюсника.

В электрических цепях постоянного тока согласованный режим работы активного и пассивного двухполюсников имеет место в слу­чае, когда внутреннее сопротивление эквива- -

лентного генератора равно входному сопротив- >

-эк{

i>

R0t\

лению пассивного двухполюсника, т. е. при условии R_BT=R_п(рис. 1Г28). В этом можно убедиться, записав выражения для тока и мо­щности эквивалентного приемника с сопротив­лениемR_u:

I=E₉J(R_BT+R_n), (1.48)

Рис. 1.28. Схема заме­щения цепи, состоя­щей из активного и пассивного двухполюс­ников

В режиме холостого хода эта мощность рав­на нулю, поскольку 1=0, а в режиме корот­кого замыкания мощностьР_птакже равна ну­лю, так какR_п=0. Таким образом, ясно, что при измененииR_nот,0 дооо функцияР_п (R_n) имеет экстремум (максимум). Для определения условия, при котором мощностьР_пдостигает максимального значения, необходимо взять первую производную функцииP_n (R_n)поR_nи приравнять ее нулю:

dPПЕж[(^ВТ“ЬЯп)²2/?п (Явт”Ь^п)]

dRn(Явт“Ь^п)⁴

36

1 + Rh/Rbt

(1.51)

'hlhr

Рис. 1.29. Графики зависи­мостей мощностей источника Р_и, приемника Р_п и к. п. д. г) от отношения Rn/Rвт

Рп

Яп/Я

ВТ

ВТ

Из графика функции г) (RJR_BT), при­веденного на рис. 1.29, видно, что к.п.д. возрастает с увеличением сопротивления приемника. В согласованном режиме (RJRbt⁼1) к.п.д. достигает только 50%.

На рис. 1.29 приведены также графики зависимостей мощностей приемника Р_п и источника э.д.с. Р_и от отношения RJR_Bт«

Номинальный режим активных и пассивных двух­полюсников соответствует режиму работы источников и приемников электрической энергии при тех значениях токов и напряжений, на которые они рассчитаны заводами-изготовителями. Номинальные зна­чения токов, напряжений и мощностей указываются в каталогах и паспортах для всех источников и приемников электрической энергии. Соблюдение номинальных режимов обеспечивает эффективное и эко­номичное производство и потребление электрической энергии и га­рантирует срок службы электротехнических устройств, указываемый заводом-изготовителем. Чаще всего номинальный режим работы активного и пассивного двухполюсников соответствует случаю, когда сопротивление эквивалентного приемника много больше внутреннего сопротивления эквивалентного генератора. При этом к.п.д. элект­рической цепи близок к единице, что очень важно для силовых (мощ­ных) электротехнических устройств и установок. Для некоторых маломощных электротехнических устройств, используемых в радио­технике, электронике и автоматикё, важным является достижение максимально возможной мощности приемника. В этих случаях стре­мятся обеспечить согласованный режим работы источников и прием­ников электрической энергии, который является для них номиналь­ным режимом. Иногда встречаются случаи, например в контрольно­измерительной технике, когда в приемнике стремятся получить мак­симально возможный ток, значение которого практически не зависит от сопротивления приемника. При этом номинальный режим близок к'режиму короткого замыкания, который обеспечивается при выпол-

Нетрудно видеть, что решением уравнения (1.50) является равен- ство R_BT=Rп* При этом мощность эквивалентного приемника Р_п= =ElJ\R_n равна половине мощности источника э.д.с.: Рц=Е_эк1= =£|_к/(/?_вх+7?п)=£^,эк/2/?_вт. Это означает, что половина энергии источника э.д.с. Е преобразуется в теплоту внутри активного двух- полюсника за счет внутреннего сопротивления R_BT.

Эффективность передачи энергии, как известно, оценивается ко- эффициентом полезного действия (к.п.д.). Для схемы замещения,

изображенной на рис. 1.28, к.п.д. опре- деляется отношением мощностей приемни- ка и источника э.д.с-.:

¹¹ P_U~R

Rn

нении условия R_B^>R_n-Очень часто приемниками электрической энергии являются активные элементы, например электрические дви­гатели и аккумуляторы при зарядке, схемы замещения которых помимо пассивных элементов содержат источники э.д.с. или тока. При этом электрическую цепь можно представить в виде двух актив­ных двухполюсников, соединенных между собой (рис. 1.30). Каждый

/

л

<ь ■

©

Е

т

Уав

\^R6rz

	а					Т
. %	\	Рад	h
	ь					1

Рис. 1.30. Активный двухпо­люсник А{_гподключенный к другому активному двухпо­люсникуА2

Рис. 1.31. Схема замеще­ния двух активных двух­полюсников

из двух многоэлементных активных двухполюсников может быть представлен схемой замещения, состоящей из последовательно сое­диненных источников э.д.с. и резистивных элементов с сопротивле­ниями R_BTt иR_BT2(рис. 1.31). Очевидно, один из активных двухпо­люсников в данном случае является источником, а другой — прием­ником электрической энергии.

Вольт-амперная характе­ристика активного двух­полюсника

Если ток I в этой цепи направлен от источника э. д. с.Е_эк$ к источнику э. д. с. £эк2>то напряжениеи_аъна зажимах каждого из активных двухполюсников опре­деляется одним из двух уравнений:

U_ab = Eэк1(1.52)

Uab — £ЭК2 + #вт2^* (1.52 а)

Первое уравнение представляет собой аналитичес­кое выражение линейной внешней характеристики ис­точника электрической энергии (участок IIна рис. 1.32) с характерными точкамиU_x—E_3Kiв режиме холо­стого хода (при отключении второго активного двухпо­люсника) и /k^^ski/^btiв режиме короткого замы­кания (при соединении точекаиЬ).Второе уравнение описывает вольт-амперную характеристику активного приемника, в режиме которого работает второй актив­ный двухполюсник. Из'уравнений (1.52) и (1.52а) видно, что напряжениеU_аъактивного двухполюсника, рабо­тающего в режиме источника электрической энергии, меньше э. д. с. £_Эк1» но в то же время больше э. д. с.Е_ък^активного двухполюсни­ка, работающего в режиме приемника. На основании уравнений (1.52) и (1.52а) мож­но составить баланс мощностей двух активных двухполюсников. Для этого умножим эти уравнения на ток / и приравняем их друг другу. В результате получим

£эк з/ ^ВТ 1^²= ^ЭК2^ "Ь^?ВТ2^²

или

Еж if = £эк 2^ + Явт s/²

(1.53)

(1,53а)

Из уравнения (1.53a) следует, что мощность первого источникаэ.д.с,i=*=Е_9к11равна сумме мощностей пассивных элементов обоих двухполюсников и мощности источника э. д. с. второго двухполюсника, работающего в режиме прием­ника. Это означает, что первый источник вырабатывает электрическую энергию, ко­торая частично превращается в тепловую энергию в пассивных элементах, а частич­но — в другой вид энергии, например в механиче­скую энергию в электрических двигателях, хи­мическую — в аккумуляторах и т. п.

I

a

Рис. 1.33. Схема замещения двух активных двухполюсников с одинаковым направлением э. д. с. источников

Значение тока Iв схеме замещения рис,

1. 31 определяется выражением

/ = (£эк 1—Е_9Кг)/(^втi+ ^вт г)*

(1.54)

Из этого выражения видно, что при условии Е_эк2>Е_9к1^токIстановится отрицательным, т. е. его направление оказывается противополож­ным: он будет направлен от источника э. д. с.

£_9К2к источнику э. д. с.E_9Ki(пунктирная стрел­ка на рис. 1.31). При этом второй активный двух­полюсник работает в режиме источника элект­рической энергии, а первый — в режиме прием­ника. Таким образом, увеличивая э. д. с. £_Эк2» можно перевести работу первого двухполюсника в режим активного приемника. Вольт-амперная характеристика первого активного двухполюсника в этом случае будет определять­ся выражением

^ab^z=E_dKi-\-R_BTiI₉ (1.526)

что соответствует участку Iобобщенной вольт-амперной характеристики активного двухполюсника (рис. 1.32). Если изменить направление э. д. с. второго источника, то э. д. с. источников£_ЭК1и £_Эк2эквивалентных двухэлементных активных двухпо­люсников будут иметь одинаковые направления (рис, 1.33) и выражение для напряже­нияU_аъпримет вид

Uab ⁼ E_9Kj—1/ = -£эк2“Ь^вт2^• (1.55)

Если Е_ък1>Яъц1, а следовательно, £_Эк1^>#вт1/², то первый активный двух­полюсник работает в режиме источника электрической энергии, так как мощность

и

6)

В)

Рис. 1.34. Схемы замещения активного двухполюсника, со­ответствующие участкам 1(а),II (б)иIII(в) обобщенной в, а. х, (см. рис, 1.32)

его источника э. д. с. Р^г=Е_ък\1больше мощности пассивного элемента, а второй активный двухполюсник — в режиме приемника, поскольку /^вхг^^^экг^* При £эк1<Явт1/ напряжениеи_аъстановится отрицательным, мощность пассивного эле­мента первого эквивалентного активного двухполюсника становится больше мощностиPiti—E_9UiIи первый двухполюсник начинает работать в режиме приемника. Этот режим работы активного двухполюсника характеризуется участкомIIIобобщенной вольт-амперной характеристики (рис. 1.32). Данному режиму соответствует большой ток, определяемый выражением

/ ~ (^эк 14” ^эк г)/(^вт 1“Ь^?вт а)« (1*56)

Такой режим иногда используют а цепях с фотопреобразователями для получения наибольшего тока индикатора. Для силовых электротехнических устройств он недо­пустим, так как соответствует режиму «двойного» короткого замыкания двух актив­ных двухполюсников, причем для одного из них ток может быть больше тока корот­кого замыкания этого двухполюсника.

Таким образом, возможны следующие режимы работы активных двухполюсни­ков, соответствующие трем участкам обобщенной вольт-амперной характеристики (см. рис. 1.32): участку / обобщенной в. а. х. активного двухполюсника соответ­ствует его работа в режиме приемника (рис. 1.34, а), когда направление тока совпа­дает с направлением напряжения и противоположно направлению э. д. с.; участку II— его работа в режиме источника электрической энергии (рис. 1.34, 6), когда направление тока совпадает с направлением э. д. с. и противоположно направлению напряжения; участкуIII— также работа в режиме приемника (рис. 1.34,в).В этом случае направления тока, э. д. с. и напряжения совпадают. Таким образом, как видно из рис. 1.34, в цепях постоянного тока режим приемника характеризуется совпадением направлений тока и напряжения активного двухполюсника,_;а режим источника электрической энергии — противоположным направлением напряжения и тока.