§ 1.10. Метод контурных токов

В электротехнике и промышленной электронике часто находят применение сложные электрически^ цепи с несколькими активными и пассивными элементами. Если такая цепь содержит довольно много узлов и контуров, то расчет цепи на основе примене­ния первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением большого количе­ства уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, состав­ленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для незави­симых контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирх­гофа. Благодаря этому удается снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих кон­турах. Рассмотрим схему цепи (см. рис. 1.17, а), имеющую три независимых контура /, //, III.Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток1\, /ц и /цт, Пусть направление этих токов будет одинаково—по часовой стрелке. Со­поставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

^1= ^1» 7₃г=/_ш,/₄= /ц* (1.36)

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:

/₂=/1— 7ц,/₅= /ц — /щ. (1.37)

Таким образом, по известным контурным токам легко можно найти действитель­ные токи всех ветвей. _;V

Для определения кбнтурных токов цепи рис, 1.17, а необходимо составить для трех контуров уравнения: • ¹

(Ri + #a)'^ I — = Ef—Е_ъ

—#2Л + (#2 + #4"Ь/?в) —R^m^Ety (1.38)

—Л* ^ и+(Radr#»)

или в общем случае

(1.38а).

Riih— ^12^ II — Risf III =^1»

—#21^ 1 + ^22^11 ^23^ Щ — ^lif

^-#31^1— #32^ II+ #33^ III =^Ш»

где Ra* R22* R93— контурные сопротивления, аЕ\,Яц,JSni— контурные э. д, с^ Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей:1±,/₂, /3*^4^и^б«

(1.39)

Уравнения (1.38а) для контурных токов можно записать в матричной форме:

Г % .■—я 12 —%		Г к 1
1 —Rii R22 —-^28		hi
L——R 32 Rs3_		Мп.	UmJ

или

ч (1.39а)

тщщщ.

Здесь [R]— квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; [/j— матрица-столбец неизвестных контурных токов;[Е]— матрица-столбец извест­ных контурных э. д. с. £[=£1—£₂»Ец—Е'ъ^и

Диагональные элементы Ra, R₂₂иR₃3матрицы[R]_fназываемые контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны сумме Сопро­тивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные элементы матрицы\R] равны сопротивлениям общих ветвей смежных контуров и имеют знак минус. Если какие-либо контуры не имеют общих1ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Так, для цепи рис* 1.17, а

Rii — Ri~\~^2»R22⁼⁼R2R4“1“Rб» ^зз = ^з + ^б> #i2 = ^2i= ^2»

R23 ⁼ R32 ~ Rb> Rl3 ⁼ ^31

(1.396)

Решением уравнения (1.39а) будет 1ЧЩЩ^ [Е],

где [/?]^-1—матрица, обратная матрице коэффициентов[R],

Матричная форма записи системы уравнений широко распространена при расче­тах на ЭВМ сложных электрических цепей, применяемых на электрическом транспор­те, в системах электроснабжения, в радиоэлектронике и других областях использова­ния электротехнических и электронных устройств, с которыми приходится иметь дело электро- и радиоинженеру. При этом следует иметь в виду, что в матричной форме можно записать и систему уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.