Математика. Часть 1

Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле

							b						β					′
							∫ f (x)dx = ∫ f (φ(t))φ (t)dt ,
							a						α									a =φ(α) , b =φ(β) .
	где x =φ(t) имеет непрерывную производную,
		Интегрирование по частям в определенном интеграле
	выполняется по формуле										b							b
											∫udv = uv							ba − ∫vdu .
											a							a
										π
	Пример 6.1. Вычислить ∫2 cos xdx .
							0
	Решение. Так как ∫cos xdx = sin x + C ,
						π							π
				то ∫2 cos xdx = sin x														π − sin 0 =1 − 0 =1.
													02 = sin
				0													2
							1
	Пример 6.2. Вычислить ∫										3x +1dx .
	Решение.						0
				Преобразуем							выражение							под знаком						дифференциала
	1			1			1										3						3			3
																	(3x +1)
	∫	3x +1dx = ∫(3x +1)							1	d(3x +1) =				1					2 |			10 =	2	(4		−1		) =
							2																		2		2
																	3 2						9
	0			0			3				3
	=	2	(23 −1)	=	14	.
		9
				9

е

Пример 6.3. Вычислить ∫ln xdx .

1

Решение. Применим формулу интегрирования по частям, положив

	u = ln x du =					dx	,	dv = dx v = x .
						x
	Тогда
	e	e	e	dx					e
	∫ln xdx = x ln x		− ∫x		= e ln e − ln1 − x					= e − 0	− e +1 =1 .
		1		x					1
	1		1

§ 3. Приложения определенного интеграла к задачам геометрии и механики

1.Площадь плоской фигуры

1)Площадь криволинейной трапеции (см. рис. 6.3),

ограниченной сверху графиком непрерывной функции y = f (x), слева и справа соответственно прямыми x = a, x = b, снизу осью Оx, вычисляется по формуле

	b	b
	S = ∫ f (x) dx = ∫ y dx		(6.1)
	a	a
y
		y=f(x)
o	a	b	x

Рис. 6. 3

2) Площадь фигуры (см. рис. 6.4), ограниченной сверху и снизу соответственно кривыми y = f1(x), y = f2(x), слева и справа прямыми x= a, x =b, определяется формулой

b	(6.2)
S = ∫( f1 (x) − f 2 (x)) dx

a

y

y=f1(x)

o a

b x

y=f2(x)

Рис. 6.4

101

102

3) Площадь криволинейной трапеции, в случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), a ≤ x ≤ b , a = x(t1), b = x(t2 ) , будет вычисляться по формуле

t
S = ∫1	y(t)x′(t)dt	(6.3)
t2

4) Площадь криволинейного сектора (см. рис. 6.5), ограниченного непрерывной кривой, заданной в полярной системе координат уравнением r = r(ϕ ) и лучами ϕ =α и ϕ = β , вычисляется по формуле

		1	β
	S =		∫r 2 (ϕ) dϕ	(6.4)
		2
			α

r=r( ϕ)

α	β
0	r

Рис. 6.5

Пример 6.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 и x – y +2 = 0.

Решение. Данная фигура ограничена сверху прямой y = x + 2, а снизу – параболой y = x2 (см. рис. 6.6).

	y
y=x2		y=x+2
-1 0		2 x

Рис. 6.6

Точки пересечения этих кривых найдем из системы уравнений

y = x 2	x 2 = x + 2 x 2 − x − 2 = 0 x1 = −1, x2 = 2
y = x + 2

Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (6.2)

2						2			2	2	x	2	|−21	+ 2x |−21		x	3	|−21 =
S = ∫((x + 2) − x2 )dx = ∫xdx + 2 ∫dx − ∫x2 dx =															−
											2
−1						−1			−1	−1					3
= 2 −	1	+ 4 + 2 −	8	−	1	=	9	.
			3		3		2
2

Пример 6.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = a cost, y = bsin t.

Решение. Так как эллипс (см. рис. 6.7) симметричен относительно координатных осей, достаточно найти площадь 14 части фигуры,

лежащей в первой четверти. Для вычисления площади воспользуемся формулой (6.3).

Найдем пределы интегрирования по t :

если x = 0 , то cos t = 0			t = π		– нижний предел,
если x = a , то cost =1			2
			t = 0 – верхний предел.
Значит,
1		0	′	0		2	0	1 − cos 2t
		S = ∫b sin t(a cos t) dt = −ab		∫sin			tdt = − ab∫		dt =
4								2
		π		π			π
		2		2			2

= − ab2 (t − 12 sin 2t)|0π2 = − ab2 (− π2 + 0) = π4ab .

Отсюда находим S =πab.

y

0

a x

Рис. 6.7

103

104

Пример 6.6. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью

r = a cos ϕ и лучами ϕ = 0 и ϕ = π .

4

r = a cos ϕ

Решение. В полярной системе координат уравнение

задает окружность радиусом

a

со смещенным центром (рис. 6.8).

2

π

ϕ =

4

r = a cos ϕ

O

ϕ = 0

a

r

a

2

Рис. 6.8

Криволинейный сектор, площадь которого мы вычисляем,

ограничен кривой r = a cos ϕ и лучами ϕ = 0 и

ϕ =

π

. Поэтому

4

π

π

π

4

2

2

4

2

2

4

1 + cos 2ϕ

S = ∫

(a cos ϕ)

dϕ =a

∫cos

ϕdϕ =a

∫

dϕ =

2

0

0

0

=

a2

(ϕ +

1

sin 2ϕ)|0π 4 =

a2

( π

+

1

) =

a2 (π + 2)

.

2

2

2

8

2

4

2.Длина дуги кривой

1)Длина дуги кривой y = f(x), a ≤ x ≤ b, вычисляется по

формуле

b		2
l = ∫	′		dx .	(6.5)
	1 + ( y )

a

2) Если кривая задана параметрическими уравнениями x =x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 , то

t2
l = ∫	( xt′) 2 + ( yt′) 2 dt .	(6.6)
t1

3) Если кривая задана уравнением в полярных координатах r = r(ϕ), α ≤ϕ ≤ β , то

β
l = ∫ r 2 + ( r ′) 2 d ϕ .	(6.7)

α

Пример 6.7. Вычислить длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от начала координат до точки А (4, 8) (см. рис. 6.9).

y

A (4,8)

0 4 x

Рис. 6.9

											3		y′ =	3		1
Решение. Имеем										y = x 2 ,					x 2
														2
4			3		1					4			9 x					4	4		9		9
l = ∫	1	+ (			x	2		) 2 dx = ∫ 1 +						dx =					∫	(1 +		x) d(1 +		x) =
																		9			4		4
0		2								0			4						0
= 4 2 (1 + 9					3				4	= 8
					x)			2				(10	10 −1).
9	3	4							0	27
Пример 6.8. Найти длину кардиоиды (см. рис. 6.10)																						r = a(1+cosϕ) .
												a				ϕ = 0
										O				2a						r

Рис. 6.10

105

106

Решение. Имеем

	π	+ a2 sin 2 ϕdϕ=
1 l = ∫ a2 (1 + cos ϕ)2
2	0
π			π
= a∫	1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ + sin 2 ϕdϕ = a∫			2 + 2 cos ϕdϕ =
0			0
π		π		π						0π = 4a,
= a∫	2 2 cos2 ϕdϕ = 2a∫cos		ϕ dϕ =2a2∫cos		ϕ d	ϕ	= 4a sin	ϕ	|
0	2	0	2	0	2	2		2

откуда l =8a .

3.Объем и площадь поверхности тел вращения

1)Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b.

y

y=f(x)

a

O

b

x

z

Рис. 6.11 (см. рис. 6.11), вычисляется по формуле

b
Vx = π∫y2dx .	(6.8)
a	x =ϕ( y),
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
c ≤ y ≤ d , вращается вокруг оси Оy, то
d
Vy = π∫x2dy.	(6.9)

c

2) Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой, заданной уравнением y = f(x), a ≤ x ≤ b , вычисляется по формуле

b
Qx = 2π∫y 1+(y′х )2 dx .	(6.10)

a

Если дуга x = ϕ(y), c≤y≤d, вращается вокруг оси Oy, то

b
Qy = 2π∫x 1+(x′y )2 dy .	(6.11)

a

Пример 6.9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной кривыми y = x2 и x = y2 (см. рис. 6.12).

Решение. Найдем точки пересечения кривых из системы

	2
y = x		x = x4 x − x4	= 0, x(1 − x3 ) = 0, x = 0, x2 =1.
	2
			1
x = y
		y
		y=x2
				2
				x=y
		0	1 x

Рис. 6.12
Искомый объем есть разность двух объемов: объема	V1,

полученного вращением криволинейной трапеции,			ограниченной
параболой	y = x (0 ≤ x ≤1) и	объема V2,	полученного
вращением криволинейной трапеции,		ограниченной параболой y =
x2 (0 ≤ x ≤1).

Используя формулу (6.8), получаем

1	1	2	1	1
Vx =V1 −V2 = π∫(	x )2 dx − π∫(x2 )		dx = π∫xdx − π∫x4 dx =
0	0		0	0

107

108

= π	x2			1	− π	x5			1	= π(	1	−	1	) =		3	π.
	2			0		5			0		2		5		10

4. Координаты центра тяжести плоской пластинки

Рассмотрим плоскую пластинку, имеющую форму криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), a ≤ x ≤ b. Будем предполагать, что пластинка является однородной с плотностью

ρ = const.

Масса такой пластинки вычисляется по формуле

		b
	m = ρ ∫ f (x) dx = ρ S,
		a
где S – площадь пластинки.
Координаты центра тяжести			С ( xc, yc)				однородной пластинки
могут быть вычислены по формулам
	1 b				1	b	2
xc =		∫ xy dx,	yc	=		∫ y		dx,
	S a				2S a

где S – площадь пластинки.

ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

1. Вычислить интегралы

π

	1	б) ∫4
а)	∫(3x2 + 4x −1)dx ;		xcos2xdx .
	0	0
2.	Вычислить площадь фигуры,	ограниченной параболой y = x2				и
прямыми x = 0, y = 4 (x ≥ 0).
			3
3.	Вычислить длину дуги полукубической параболы y = (x +1)			2		от
x	= −1 до x = 4 .

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболой y = 2 − x2 и прямыми y = x и x = 0 .

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №6

10.	Если F(x) -	одна из	первообразных функции f (x), то
справедливо равенство
d			b
а) ∫ f (x)dx = F(a) − F(b) ;			б) ∫ f (x)dx = F(x) b − F(x) a ;
с			a
b			b
в) ∫ f (x)dx = F(a) + F(b) + C ;			г) ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .
a			a
			b
20.Значение определенного интеграла ∫ f (x)dx , если
f (x) ≤ 0 равно:			a
a)	длине дуги y = f (x), a ≤ x ≤ b ;
б) длине отрезка [a,b].
в)	площади криволинейной		трапеции, ограниченной кривой
y = f (x), x = a, x = b, y = 0 ;
г) площади криволинейной трапеции, взятой со знаком минус.
	1	+ cos 4x − 4)dx .
30. Вычислить ∫(x5
	1

4. На рисунке изображена криволинейная трапеция. Объем тела вращения вокруг оси Ox можно найти по формуле

					d	c
y			y=g(x)		а) ∫g 2 (x)dx ;	б) π∫g 2 (x)dx ;
					c	d
					d	c
			d	x	в) π∫g 2 (x)dx ;	г) ∫g(x)dx .
o c					c	d

5. Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t),

t2

y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 , то интеграл ∫ ( xt′) 2 + ( yt′) 2 dt позволяет найти:

	t1
а) площадь плоской фигуры;	б) объем тела вращения;
в) длину дуги кривой;	г) площадь поверхности вращения.

109

110

1dx

6.Интеграл ∫ 2x + 5 равен:

						0
	а) ln				2x + 5			+ C ;			б) ln				2x + 5			;
	в)	1	ln 7 −			1			ln 5	;	г)	1	ln 5 −			1			ln 7 .
		2				2						2				2

15

7. Вычислить ∫dx .

14

8*. Площадь фигуры, изображенной на рисунке находится по

формуле		y				2				4
				y=x2		а) S = ∫x2 dx ;				б) S = ∫ ydy ;
-2				2	y=4	0				0
						2				4
						в) S = ∫	(4 − x2 )dx ; г) S = ∫x2 dx .
					x	0				0
		o
9*. Длина			линии y =			x между	точками		O(0; 0) и A(1;1)
вычисляется с помощью интеграла
а) l = ∫1	1 +		1	dx ;		б) l = ∫1		1 +	3 x2 dx ;
0			4x				0		2
1							0		1
в) l = ∫ 1 + x2 dx ;						г) l = ∫ 1 +				dx .
0							1		4x

10*. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид

b	b		b	b
а) ∫udv = uv − ∫vdu ;		б)	∫udv = uv + ∫vdu ;
a	a		a	a
b	b		b	b
в) ∫udv = uv	ba − ∫vdu ;	г)	∫udv = uv	ba + ∫vdu .
a	a		a	a

Модуль 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Пусть D – некоторое множество точек M (x, y) плоскости (дву-

мерного арифметического пространства R2 ).

Определение. Если каждой точке M (x, y) из области D по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определенное

действительное число z , то говорят, что z есть функция двух переменных x и y и пишут

z = f (x, y) или z = f (M ) , где M (x, y) – точка плоскости.

Множество D называется областью определения функции. Геометрическим изображением функции двух переменных

является некоторая поверхность в трехмерном пространстве. Например, графиком функции z = x2 + y2 является эллиптический параболоид (см. справочник).

Аналогично дается определение функции нескольких
переменных для произвольного n .
Всякая упорядоченная	совокупность действительных чисел
(x1, x2 ,K, xn ) называется	точкой n –мерного арифметического

пространства Rn . Пусть D – некоторое множество точек

пространства Rn .

Определение. Если каждой точке M (x1, x2 ,K, xn ) из области

D Rn по некотрому закону				f	ставиться в сответствие вполне
определенное	число	u ,	то	говорят, что u есть функция n
переменных и пишут
u = f (x1, x2 , K, xn )		или	u = f (M ) , где			M (x1, x2 ,K, xn ) –	точка
n –мерного арифметического пространства.
Например,	объем	V прямоугольного				параллелепипеда	равен
произведению длин его ребер				x,	y, z , т. е.	V = xyz . Следовательно,

V есть функция трех переменных x, y, z .

Функцию трех и большего числа переменных нельзя изобразить графически в трехмерном пространстве.

111

112

Определение.

Число

A

называется

пределом

функции

z = f (x, y)

в точке

M0 (x0 , y0 ) , если для каждого числа ε > 0 най-

дется такое число δ =δ(ε) , что при 0 <| x − x0 |<δ

и 0 <| y − y0 |<δ

выполняется неравенство |

f (x, y) − A |<ε . При этом пишут

A = lim

f (x, y) =

lim f (M ) .

x → x0

M →M 0

y → y0

Определение.

Функция

z = f (x, y)

называется

непрерывной

в

точке M0 (x0 , y0 ) , если функция

f (x, y)

определена в этой точке и

существует

lim

f (x, y) = f (x0 , y0 ).

x → x0

y → y0

Аналогичные

определения

имеют

место и

для

функции

u = f (x1, x2 , K, xn ) произвольного числа n переменных.

§ 2. Частные производные функции нескольких переменных

Пусть

z = f (x, y)

–

функция

двух

переменных.

Дадим

независимой

переменной

x

приращение

x , оставляя при этом

переменную y неизменной. Тогда z получит приращение

x z = f (x + x, y) − f (x, y) ,

которое называется частным приращением z

по x .

Аналогично,

если

независимой

переменной y

дадим

приращение

y ,

оставляя при этом неизменной переменную x ,

то

z получит приращение

y z = f (x, y + y) − f (x, y),

называемое частным приращением z

по y .

Определение.

Частной

производной по x от функции z

называется

предел

отношения

частного

приращения

x z

к

приращению

x при стремлении

x к нулю.

Эта производная обозначается одним из символов

∂z

,

z′ ,

∂f ,

f ′

(x, y).

∂x

x

∂x

x

Таким образом, по определению,
	∂z	= lim		x z		= lim		f (x +	x, y) − f (x, y)	.
	∂x			x					x
		x→0					x→0
Аналогично определяется							частная		производная от функции
z = f (x, y) по переменной y :
	∂z	= lim		y z		= lim		f (x, y + y) − f (x, y)			.
	∂y			y					y
		y→0					y→0

Она обозначается одним из символов

∂∂yz , z′y , ∂∂fy , f y′(x, y) .

В общем случае частной производной первого порядка функции u = f (x1, x2 , K, xn ) по переменной xk называется предел

∂

x u

f (x

,K, x

k

+ x

k

,K, x

n

) − f (x

,K, x

k

,K, x

n

)

u

= lim

k

= lim

1

1

.

∂xk

xk

xk

xk →0

xk →0

Так как при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными, то для частных производных сохранаяются все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

Пример 7.1. Найти частные производные функции z = x2 y + xy .

Решение. Полагая

y = const , находим

∂z

= 2xy +

1

.

∂x

y

Полагая x = const , находим

∂z

= x2 1 + x(−

1

) = x2

−

x

.

∂y

y 2

y 2

Пример 7.2. Найти

значения

частных

производных

функции

u = ln(x2 + y2 ) + xyz в точке M (1, −1, 0) .

Решение. Полагая

y = const , z = const , (в

дальнейшем

условимся

писать c вместо const ) находим

113

114

∂u

=

1

(2x + 0) +1 yz =

2x

+ yz

=

2

+ 0 =1 .

∂x

x2 + y 2

1 +1

y,z=c x2 + y 2

М

Аналогично находим

∂u

1

2y

− 2

=

(0 + 2y) +1 xz =

+ xz

=

+ 0 = −1 .

∂y

x2 + y 2

1 +1

x,z=c x2 + y 2

M

∂u

= 0 +1 xy = xy

M = −1 .

∂z

x, y=c

z = f (x, y) имеет непрерывные

Предположим, что функция

частные производные

∂z

= f x′(x, y) ,

∂z

= f y′(x, y) .

∂x

∂y

Эти производные в свою очередь являются функциями

независимых

переменных x и

y .

Будем называть

fx′(x, y) и

f y′(x, y) частными производными 1-го порядка.

Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка.

Для функции z = f (x, y) двух переменных можно найти

четыре частные производные 2-го порядка, которые обозначаются следующим образом:

∂ ∂z

∂2 z

′′

=

=

∂x2

fxx (x, y);

∂x

∂x

∂ ∂z

∂2 z

′′

=

=

∂x∂y

f xy (x, y);

∂y

∂x

∂

∂z

∂

2

z

′′

=

=

∂y∂x

f yx (x, y);

∂x

∂y

∂

∂z

∂

2

z

′′

=

=

2

∂y

f yy (x, y).

∂y

∂y

смешанные

частные

производные

В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема:

Теорема.

Если

′′

′′

смешанные частные производные fxy

и f yx

непрерывны в некоторой точке М(x, y) , то они равны, т. е.

′′

′′

f xy (x, y) = f yx (x, y) .

Аналогично,

частными

производными

n − го

порядка

называются

частные

производные

от

частных производных

(n −1) − го порядка.

Их обозначают

∂n z

,

∂n z

,

∂n z

и т. д.

∂x

n

∂x

n−1

∂x

n−2

∂y

2

∂y

Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.

Пример 7.3. Найти частные производные 2-го порядка функции z = x3 y2 +sin(xy +1) .

Решение. Последовательно находим

∂z

= 3x2 y 2

+ y cos(xy +1);

∂z

= 2x3 y + x cos(xy +1);

∂x y=c

∂y x=c

∂2 z

=

∂

(3x2 y 2

+ y cos(xy +1)) = 6xy 2 − y 2 sin(xy +1);

∂x2

∂x

y

=c

∂2 z

=

∂

(3x2 y 2 + y cos(xy +1)) = 6x2 y + cos(xy +1) − yx sin(xy +1);

∂x∂y

∂y

x=c

∂2 z

=

∂

(2x3 y + x cos(xy +1) = 6x2 y + cos(xy +1) − yx sin(xy +1) ;

∂y∂x

∂x

y=c

∂2 z

=

∂

(2x3 y + x cos(xy +1)) = 2x3 − x2 sin(xy +1) .

∂y 2

∂y

x=c

§ 3. Дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим

функцию

z = f (x, y) . Дадим аргументу x

приращение

x , а аргументу

y

приращение

y . Тогда

z получит

приращение

z = f (x + x, y +

y) − f (x, y) ,

которое

называется

полным приращением функции z .

Предположим, что f (x, y) в точке M (x, y)

имеет непрерывные

частные производные.

115

116

Определение. Дифференциалом						1-го порядка	функции
z = f (x, y)	называется главная часть полного приращения						z этой
функции, линейная относительно			x и			y , обозначается символом
dz или df	и вычисляется по формуле
	dz = ∂z	x +		∂z		y .	(7.1)
				∂y
	∂x

Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = x , dy = y , то формулу (7.1) можно

записать в виде:

dz =	∂z dx +	∂z	dy .	(7.2)
	∂x	∂y

Дифференциалом 2-го порядка функции z = f (x, y) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка и обозначается

d2 z = d(dz) .

Если все частные производные 2-го порядка функцииz = f (x, y)

	непрерывны, то имеет место формула:
	d2 z =	∂2 z dx2	+ 2	∂2 z	dxdy +	∂2 z dy2 .	(7.3)
				∂x∂y
		∂x2				∂y2

Аналогично определяется дифференциал n –го порядка:

dn z = d(dn - 1 z) .

Пример 7.4. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции z = x2 y + xy .

Решение.

Найдем

частные

производные 1-го и 2-го порядков:

∂z

= 2xy +

1

,

∂z

= x

2 −

x

;

∂x

y

y 2

∂y

∂

2

z

∂

1

=

2xy +

= 2y + 0

= 2y;

2

∂x

∂x

y y=c

∂

2

z

∂

1

1

=

2xy +

= 2x −

2 ;

∂x∂y

∂y

y

x=c

y

∂2 z

∂

2

x

−3

2x

=

x

−

= 0

− x(−2y

) =

.

2

2

3

∂y

y

y

∂y

y=c

Следовательно, дифференциалы 1-го и 2-го порядков запишутся

	в виде:	1				x
	dz = (2xy +		)dx + (x2 −				)dy ,
						y 2
		y
	d2 z = 2ydx2 + 2(2x −			1	)dxdy +			2x	dy2 .
				y2
								y3

§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0

называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая,

проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.

Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид:

Fx′(M0 )(x − x0 ) + Fy′(M0 )( y − y0 ) + Fz′(M0 )(z − z0 ) = 0 .

Уравнения нормали,

проведенной

к поверхности в точке

M0 (x0 , y0 , z0 ) , запишутся следующим образом:

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

Fx′(M 0 )

Fy′(M 0 )

Fz′(M 0 )

Если поверхность задана уравнением

z = f (x, y) , то уравнение

касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид:

z − z0 = f x′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′( x0 , y0 )( y − y0 ) ,

а уравнения нормали запишутся так:

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

f x′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

117

118

Пример 7.5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали

к поверхности x2 + 2y2 +3xy + xz +3yz +1 = 0			в точке M	0	(x , y	0	, z	0	) ,
					0
если x0 = 2, y0 = −1.
Решение. Подставляя x0	и y0 в уравнение поверхности, находим
значение z0 :
4 + 2(−1)2 + 3 2(−1) + 2z0 + 3(−1)z0 +1 = 0 ,
откуда находим z0 =1 .	Следовательно,		M0 (2, −1, 1)		–	точка
касания.
По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим
F(x, y, z) = x2 + 2y2 +3xy + xz +3yz +1		и	найдем		частные
производные в точке M0 (2, −1,1) :
Fx′ = 2x +3y + z,	Fx′(M0 ) = 2 2 +3(−1) +1 = 2 ,
Fy′ = 4y +3x +3z,	Fy′(M0 ) = 4 (−1) +3 2 +3 1 = 5 ,
Fz′ = x +3y,	Fz′(M0 ) = 2 +3 (−1) = −1.

Подставляя найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости:

Fx′(M0 )(x − x0 ) + Fy′(M0 )( y − y0 ) + Fz′(M0 )(z − z0 ) = 0 ,

получим искомое уравнение касательной плоскости: 2(x −2) +5( y +1) −1(z −1) = 0 2x +5y − z + 2 = 0 ,

ауравнения нормали имеет вид:

x−2 2 = y 5+1 = z−−11 .

§ 5. Экстремум функции двух переменных Определение. Функция z = f (x, y) имеет максимум в точке

M 0 (x0 , y0 ) , если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство

f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y) .

z

	O	у
х		M0(x0, y0)
	Рис.7.1.
Определение. Функция	z = f (x, y) имеет минимум в точке

M0 (x0 , y0 ) , если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) .

z

0

	у
х	M0(x0, y0)
	Рис.7.2.

119

120