Математика. Часть 1

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке

M0 (x0 , y0 ) , то ее частные производные в этой точке равны нулю,

т. е.

∂z

=

0 ,

∂z

= 0 .

∂y

∂x M 0

M 0

Функция

z = f (x, y)

может иметь экстремум и в точках, где

функция непрерывна, но частные производные не существуют.

Точки, в которых

∂z

= 0 и

∂z

= 0 , называются стационарными

∂x

∂y

точками функции z = f (x, y) .

Теорема

2 (достаточные

условия

экстремума). Пусть

M0 (x0 , y0 ) является стационарной точкой функции z = f (x, y) и в ее окрестности существуют непрерывные частные производные

2-го порядка.

Обозначим

∂2 z

=

A ,

∂2 z

= B ,

∂2 z

= C и составим

∂x2

∂y2

M 0

∂x∂y M 0

M 0

определитель

=

A

B

= AC − B2 . Тогда:

B

C

1)если < 0 , то в точке M 0 нет экстремума;

2)если > 0 , то в точке M0 есть экстремум, причем максимум при A < 0 и минимум при A > 0 ;

3)если = 0 , то требуется дополнительное исследование.

Пример 7.6. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 −3xy .

Решение. Находим частные производные 1-го порядка

	∂z	= 3x2 −3y ;	∂z	= 3y2 −3x.
	∂x		∂y

Стационарные точки найдем из системы уравнений

2

−3y = 0,

2

− y = 0,

2

,

3x

x

y = x

2

2

4

−3x = 0,

− x = 0,

− x = 0,

3y

y

x

x(x3 −1) = 0

x = 0, x

2

=1,

y

= 0,

y

2

=1.

1

1

Получили две стационарные точки: M1(0; 0)

и M 2 (1;1) .

Находим частные производные 2-го порядка:

∂

2 z

= 6x ,

∂

2 z

= −3

,

∂2 z

= 6y .

∂x2

∂x∂y

∂y2

Исследуем каждую стационарную точку.

1)В точке M1(0; 0) имеем: A = 0 , B = −3 , C = 0 .

Тогда = AC − B2 = −9 < 0 .

Так как < 0 , то в этой точке нет экстремума.

2)В точке M 2 (1;1) имеем: A = 6 , B = −3 , C = 6 .

Вэтом случае = 36 −9 = 27 > 0 .

Так как > 0 и A > 0 , то в этой точке функция имеет минимум zmin = z (1; 1) =1+1−3 = −1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

1.

Найти частные производные

а) z = x2 sin y + xy 2 + x3 + 3 ;

б) u = 2xy 2

− x2 yz + yz 2 4xy .

2.

Найти

дифференциалы

1-го

и

2-го

порядков

функции

z = x ln y + x2 y + y 2 .

3.

Составить уравнения касательной

и нормали к

поверхности

y

2 z − 2x2 y + 2xz + x +1 = 0

в

точке

M

0

(x , y

0

, z

0

) ,

где

x0 = −1, y0

0

= 2.

4.

Найти экстремум заданной функции z = x2

+ y 2

+ 3xy − x − 4y +1.

121

122

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №7

10 Графику какой функции принадлежит точка М(-1, 2, 0)?

а) 4xy − 2z + x2 = 0 ;	б) z + x − 3y = 5 ;
в) z = x2 − 2yx − 5 ;	г) z = x2 − 3yx − 7 .
20 Для функции z = 4xy + 5y 2	+1	найти	∂z	.
			∂x
30. Если для функции z = f (x, y)		в некоторой точке M 0 (x0 , y0 ) вы-
полняются условия f x′ = f y′ = 0 , то точка M 0 (x0 , y0 ) является:
а) точкой экстремума;		б) точкой перегиба;
в) стационарной точкой;		г) точкой разрыва.

4. Полный дифференциал функции z = xy + y 2 x +1 равен:

а) dz = (y + 2y)dx + (x + xy)dy ; б) dz = (y + y 2 +1)dx + (x + 2xy +1)dy ;

в) dz = (y + y 2 )dx ×(x + 2xy)dy ; г) dz = (y + y 2 )dx + (x + 2xy)dy .

5. Найти стационарную точку функции z = x2 + y2 −9 .
а) A(1,1);			б) A(1, − 9);				в) A(−1, − 9);			г) A(0, 0).
6.	Если точка	M 0 (x0 , y0 ) является						точкой	экстремума		функции
z = f (x, y) и в этой точке						∂2 z > 0 , то M 0 (x0 ,			y0 ) является точкой
						∂x2
а) максимума;			б) минимума;				в) перегиба;			г) выпуклости.
7*.	Вычислить			∂2 z		в	точке	O(1, 0)		для	функции
				∂x∂y
z = x2 sin y + x4		+ y .
а)0;			б)1;				в)14;			г) 2.

8*. Уравнение касательной плоскости в точке М(1,2) к поверхности z = f (x, y) имеет вид:

а) z − f (1, 2)= f ′(1, 2)(x −1) + f ′(1, 2)( y − 2) ; б) z − f (1, 2) = f x′(1, 2)(x −1) + f y′(1, 2)( y − 2) ; в) z − f (1, 2) = f (1, 2)(x −1) + f (1, 2)( y − 2) ; г) z = f x′(1, 2)(x −1) − f y′(1, 2)( y − 2) .

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ №2

1.

Если

z = f (x, y) -

непрерывная функция,

то

предел

lim

f (x +

x, y) − f (x, y)

называется

x

x

→0

а) частным дифференциалом; б) производной функции

z = f (x, y) ;

в) частной производной функции по переменной х;

г) полным дифференциалом функции.

2.

Найти

∂z

функции z = xy + x2 + y 2 .

∂у

3.

Составить полный дифференциал функции z =5xy + exy .

а)

∂z

= 5x + e xy x ;

б) dz = (5y + exy y)dx + (5x + e xy x)dy ;

∂у

в)

∂z

= 5y +exy y ;

г) dz = (5y + e xy y)dy + (5x + e xy x)dx .

∂x

4.

Записать уравнение нормали к поверхности z = xy + x2

− y 2 в

точке A(1;1;1).

5.

Найти стационарные точки функции z = x2 + 2x + y 2

− 2y .

6.

Какая функция является первообразной функции f (x) = x4

+ 5 ?

а) F(x)=

x5

;

б) F(x)=

x5

+ 5x ;

5

5

в) F(x) = 5x5 + 5x ;

г) F(x) = x5 + 5x .

7.

∫

=

Найти ( (cos6 x)dx)′

8.

Найти интеграл ∫

dx

.

x

2

x

+ 4

x

x

а)

1

arctg

+С; б)

1

arctg

+С;

в)

1

arctg

+С;

г)

1

arctg

2

+С.

2

2

4

4

x

4

2

x

9.Интеграл ∫(2x +1)e3x dx можно найти с помощью:

а) замены 2x +1 =t ;

б) замены t = e3x ;

в) формулы интегрирования по частям, где u = 2x +1;

123

124

г) формулы интегрирования по частям, где u = e3x .

10.Найти интеграл ∫sin 3xdx .

11.Интеграл ∫sin 4 xdx можно найти с помощью:

	а) подстановки sin x = t ;					б) универсальной подстановки tg	x	= t ;
							2
				1
	в) формулы sin 2 x =				(1 − cos 2x); г) формулы sin 2 x =1 − cos2 x .
				2
	12.Вычислить	1			1
		∫
			4x3 +			− 2 dx .
		0			x

3dx

13.Интеграл ∫ x + 5 равен:

	2
а) ln 8 − ln 7 ;	б) ln 7 − ln 8 ;	в) 1;	г) -1.

14. Площадь фигуры, изображенной на рис., находится по формуле

				y = x2 −1	1	1
					а) ∫(x2 −1)dx ;	б) ∫(x2 +1)dx ;
					−1	−1
					1	1
	-1		0		в) ∫(1 − x2 )dx ;	г) ∫x2dx .
		1
					−1	−1
		-1

15. Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, изображенной на рис., вокруг оси Ox можно найти с помощью интеграла

y	y=f(x)			a
			а)	∫ f (x)dx ;
				0
				a
o			в)	∫ f 2 (x)dx ;
			a x	0

a

б) π∫ f 2 (x)dx ;

0

г) 1 ∫a f 2 (x)dx . 2 0

16. Если дуга кривой L задана уравнением			y = ln x ,	0 ≤ x ≤ e,	то ее
длину можно найти по формуле
e	e	e	12 dx ;	e	1 dx .
а) ∫ 1+ln 2 xdx ;	б) ∫ 1 + ln xdx ;	в) ∫ 1+		г) ∫ 1 +
1	1	1	x	1	x
	125

			КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК
		Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
			Скалярное произведение
	1.	Определение		Число a b	=	a
							b cos a , b
		Основное геометрическое свой-		Признак ортогональности
	2.			векторов
		ство		a b = 0 a b
		Формула для вычисления через
	3.	координаты сомножителей, где		a b = x1x2 + y1 y2 + z1 z2
		a = (x1, y1, z1),	b = (x2 , y2 , z2 )
				Угол между векторами
							=	a b
				cos a	,b			a b
	4.	Приложение к задачам геомет-
				Проекция вектора на вектор
		рии
				прb a = a b
								b
		Приложения к задачам механи-		Работа силы
	5.			A = F s
		ки
			126

Векторное произведение

Смешанное произведение

Вектор

=

×

c

a

b

1)

c

=

a

b

sin a , b ,

Число

abс = (a ×b) c

2)c a, c b ,

3)a,b,c – правая тройка

Признак коллинеарности векторов

Признак компланарности

векторов

×

= 0

||

,

,

- компла-

a

b

a

b

abс = 0

a

b

с

нарны

i

x1

y1

z1

j

k

×

=

x1

y1

z1

abc =

x2

y2

z2

a

b

x2

y2

z2

x3

y3

z3

Площадь параллелограмма

Объем параллелепипеда

S =

×

V =

a

b

а

a

b

c

Объем пирамиды

b

V =

1

Площадь треугольника

a

b

c

6

S =

1

×

с

a

b

а

2

а

b

b

Момент силы

М = АВ× F

В

F

А

Кривые второго порядка

Окружность

Эллипс

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R2

x2

+

y 2

=1

y

a 2

b2

y

O

R

x

b

F1

F2

− c

O

c

x

C(x0, y0)

a

R - радиус окружности,

a - большая полуось,

b - малая полуось,

C(x0 , y0 )

- центр окружности.

F1 (−c,0), F2 (c,0)

- фокусы,

Рис. 2.10

c2

= a2 − b2 .

Рис. 2.11

Гипербола

Парабола

x2

−

y 2

=1

y 2 = 2 px ( p > 0)

a2

b2

y

y

D

y = −

b

x

y

=

b

x

a

a

F

F1

b

F2

x

−

p

O

p

x

−c

O

c

a

2

2

р – параметр параболы,

a - действительная полуось,

b - мнимая полуось, c2 = a2 +b2 ,

D : x = −

p

- директриса,

F1 (−c, 0), F2 (c, 0) - фокусы,

p

2

F(

y = ±

b

x - асимптоты

Рис. 2.12

,0) - фокус.

Рис. 2.13

2

a

127

128

Поверхности второго порядка

z

Эллипсоид

c

x

2

+

y

2

+ z

2

=1

o

b

a

y

a2

b2

c2

Рис. 2.17

x

z

Однополосный

гиперболоид

x

2

+

y

2

− z

2

=1

o

b

y

a 2

b2

c2

a

x

Рис. 2.18

z

Двуполостный

гиперболоид

x

2

+

y

2

−

z

2

= −1

o с

a 2

b

2

c

2

-с

y

x

Рис. 2.19

129

Эллиптический									z
параболоид
	x2			y 2		= 2z
	a 2		+ b2						o	y
								x
					Рис. 2.20
									z
Конус второго
	порядка
x2			y 2			z 2
a	2	+	b	2	−	c	2 = 0		o	y
								x
					Рис. 2.21
									z	y
Гиперболический
параболоид									o
(седло)										x
x2			y 2
		−			= 2z
a2			b2
					Рис. 2.22
								130

Простейшие формулы аналитической геометрии

z

№

п

Схематический

Эллиптический

/

чертеж

цилиндр

п

y

B

x2 y 2

o

1.

+

=1

a

b

y

А

a

2

b2

x

0

x

Рис. 2.23

y

B

2.

C

Гиперболический

z

0

A

x

цилиндр

y

B

x2

y 2

−

=1

o

3.

C

a2

y

b2

A

x

0

x

y

y1

M

Рис. 2.24

4.

Параболический

z

x1

b

01

цилиндр

0

a

x

x2

= 2 py

o

y

x

Формулы

| AB |= (xB − xA )2 +( yB −y A )2

xC	=	xA + λxB			,
			1 + λ
yC	=		y A +λyB
			1+λ

xC = xA + xB ,

2

yC = yA + yB

2

x = x1 + a y = y1 +b

Комментари

и

Расстояние

между

двумя

точками

А(xA,yA) и В(xВ,yВ)

Деление отрезка в заданном отношении

(λ = AC/CB)

Деление

отрезка

пополам

(λ = 1)

Преобразован ия координат при параллельно м переносе

Рис. 2.25

131

132

Прямая на плоскости

№Схематический

п/п	чертеж
1	2
	y

1

αb

0	x
y
	М0(x0, y0)
2
0	x
y
3	М2(x2, y2)
М1(x1, y1)
0	x
y

4 b

0 x a

у

n = (A, B)

5

0 x

Формулы

3

y = kx +b

(k = tgα)

y − y0 = k(x − x0 )

y − y1			=	x − x1
y	2	− y		x	2	− x
		1				1

ax + by =1

Ax + By +C = 0

(A2 + B2 ≠ 0)

Комментарии

4

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(k)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

М0(x0, y0) в

заданном направлении (k)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Общее

уравнение

прямой

y

l1

l2

ϕ

Угол между

6

tgϕ =

k2

− k1

двумя прямыми

α

β

1

+ k1 k2

l1: y = k1 x + b1 ,

l2: y = k2 x + b2 .

0

x

y

l1

l2

Условие парал-

k1 = k2

7

лельности двух

прямых

0

x

y

l1

l2

Условие

1

8

k1 = −

перпендику-

k2

лярности двух

0

x

прямых

y

l

d

М0

Ax

+ By

+ C

Расстояние от

9

d =

0

2

0

2

точки М0 (x0, y0)

A

+ B

до прямой l:

x

Ax + By + C = 0

0

y

Угловой

коэф-

B

k = tgα

фициент

пря-

мой,

проходя-

10

A

k =

yB − yA

щей

через две

xB − xA

заданные

точки

x

А(xА, yА), В(xВ,

yВ)

133

134

Плоскость и прямая в пространстве

№

Схематический

Формулы и комментарии

п/п

чертеж

1

2

3

z

n = (A, B,C)

Уравнение

плоскости,

проходящей

через заданную точку М0(x0, y0, z0) –

1

перпендикулярно

вектору нормали

М0(x00,y0,z0)

n = (A, B,C) :

у

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

x

z

n = (A, B,C)

Общее уравнение плоскости

2

Ax + By +Cz + D = 0

(A2 + B2 +C 2 ≠ 0)

0

y

х

z

Уравнение

плоскости,

проходящей

M2

через три точки М1(x1, y1, z1), М2(x2,

M1

y2, z2), М3(x3,y3, z3)

3

M3

y

x − x1

y − y1

z − z1

0

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0

x

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

z

Уравнение плоскости в отрезках

x

+

y

+

z

=1,

a

b

4

с

c

где a, b, c – величины направленных

0 b

y

отрезков, отсекаемых плоскостью на

a 0

x

координатных осях

5

6

7

8

9

z

Угол между двумя плоскостями

P1 : A1 x + B1 y +C1 z ++D1 = 0,

P2 : A2 x + B2 y +C2 z ++D2 = 0

y

cosϕ =

A1A2 +B1B2 +C1C2

0

2

2

2

2

2

2

x

A1

+B1

+C1

A2 +B2 +C2

z

Условие параллельности двух

плоскостей

0

y

P || P

A1

=

B1

=

C1

1 2

A2

B2

C2

x

z

Условие перпендикулярности двух

плоскостей

0

y

P1 P2 A1A2 +B1B2 +C1C2 =0

x

z

М0

Расстояние от точки М0(x0,y0, z0) до

плоскости Ax + By + Cz + D = 0

0

y

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

x

z

Канонические уравнения прямой в

s = (m, n, p)

пространстве:

М0(x0, y0, z0)

x − x0

=

y − y0

=

z −z 0

,

m

n

p

0

y

где s = (m,n, p) – направляющий век-

x

тор прямой

135

136

z

Параметрические уравнения прямой

s = (m, n, p)

в пространстве:

10

М0(x0, y0, z0)

y

x

= x0 + mt,

+ nt, где t– параметр

0

y = y0

= z0

+ pt,

x

z

z

Общие уравнения прямой в про-

странстве: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A x +

B y

+ C

2

z +

D = 0,

2

2

2

11

y

r

r

r

0

Sr

i

j

k

x

=

A1

B1

C1

A2

B2

C2

12

z

М2

Уравнения прямой, проходящей че-

рез две данные точки

М1

М1(x1, y1, z1), М2 (x2, y2, z2)

0

y

x − x1

=

y − y1

=

z −z1

x

x

2

− x

y

2

− y

z

2

−z

1

1

1

z

s1

s2

Угол между двумя прямыми

l

:

x − x1

=

y − y1

=

z −z1

,

l

l

2

1

1

m1

n1

p1

13

0

y

l2

:

x − x2

=

y − y2

=

z −z 2

,

m2

n2

p2

x

cos ϕ =

m1m2 + n1n2 + p1 p2

m2

+ n2 + p2

m2

+ n2

+ p2

1

1

1

2

2

2

137

z

l1

l2

Условие перпендикулярности двух

14

прямых

0

y

l1 l2

m1m 2 + n1n2 + p1 p2 = 0

x

z

l1

Условие параллельности двух пря-

мых

15

l2

m1

n1

p1

l1 || l2

=

=

0

y

m2

n2

p2

x

Частные случаи расположения плоскости,

определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 :

1. Плоскость параллельна оси Ох.

2. Плоскость параллельна оси Оy.

Z

Z

	Х	Y	Y
		А=0	Х
			B=0
	Общее уравнение: By +Cz + D =0
			Общее уравнение: Ax + Cz + D = 0
	3. Плоскость параллельна оси Оz.		4. Плоскость перпендикулярна оси
		Z	Оz (параллельна плоскости xOy)
			Z
		Y	Y
		Х
			Х
		C=0	А=В=0
	Общее уравнение: Ax + By + D = 0		Общее уравнение: Cz + D = 0
		138

5. Плоскость перпендикулярна оси	6. Плоскость перпендикулярна оси
Оy (параллельна плоскости xOz).	Оx (параллельна плоскости yOz).
Z	Z

	Y	Х	Y
	Х		С=В=0
	А=С=0
		Общее уравнение будет иметь вид:
	Общее уравнение будет иметь вид:
	By + D = 0		Ax + D = 0
	7. Плоскость проходит через ось Ох	8. Плоскость проходит через ось Оy
	Z		Z

Y

	Y
	Х	Х
		B=D=0
	А=D=0
		Общее уравнение будет иметь вид:
	Общее уравнение будет иметь вид:
	By + Cz = 0	Ax + Cz = 0
	9. Плоскость проходит через ось Оz	10. Плоскость проходит через
	Z	начало координат
		Z

Y	Y
Х	Х
C=D=0	D=0
Общее уравнение будет иметь вид:	Общее уравнение будет иметь вид:
Ax + By = 0	Ax + By + Cz = 0

Таблица производных основных элементарных функций

В приводимой ниже таблице: c = const ; α R ; a > 0 , a ≠1; u = u(x) .

Производные основных

Производные сложных функ-

элементарных функций

ций

c′ = 0 ; x′ =1;

(xα )′ = αxα−1 ;

(u α )′ = αu α−1u′ ;

( x )′ = 1 ;

( u )′ = 1 u′;

2

x

2

u

(a x )′ = a x ln a ;

(au )′ = au ln au′ ;

(e x )′ = e x ;

(eu )′ = eu u′;

(loga x)′ =

1

;

(loga u)′ =

1

u′;

x ln a

u ln a

′

1

′

1

(ln x) =

;

(ln u)

=

u′;

u

x

(sin x)′

= cos x ;

(sin u)′

= cosu u′ ;

(cos x)′

= −sin x ;

(cos u)′

= −sin u u′;

′

1

′

1

(tgx) =

;

(tgu)

=

u′

;

cos2 u

cos2 x

(ctgx)′ = −

1

;

(ctgu)′ = −

1

u′

sin 2

x

sin 2 u

(arcsin x)′ =

1

;

(arcsin u)′

=

1

u′ ;

1 − x 2

1 − u 2

(arccos x)′ = −

1

;

(arccos u)′ = −

1

u′;

1 − x2

1 − u 2

′

1

′

1

(arctgx)

=

;

(arctgu)

=

u′;

1 + x2

1 + u 2

′

1

′

1

(arcctgx)

= −

;

(arcctgu)

= −

u′.

1+ x 2

1+u 2

139

140