УМК ТОЭ-3

ке, если через эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, что все точки этой поверхности будут в одинаковых (симметричных) условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности. При этом в силу симметричного расположения всех точек поверхности относительно заряда число¬ вое значение напряженности поля в различных точках этой поверх¬ ности будет одинаковым.

8.8. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда

В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем на­ пряженность поля, создаваемую точечным зарядом д в точке, уда­ ленной на расстоянии К от заряда. С этой целью проведем через заданную точку сферическую поверхность радиусом К, полагая, что заряд находится в центре сферы (см. рисунок 8.6), и применим к этой сфере теорему Гаусса:

Е (И = 4

8

а

В данном примере в каждой точке сферы векторы Е и с($ совпадают по направлению. Угол между ними равен нулю. В силу симметрии числовое значение Е во всех точках сферы одно и то же, поэтому Е можно вынести из-под интеграла:

ф Е(8 = ф Е(8 со8°° = Е ф (8 = Е 4ГГК2 = -д-

5

где 4 ГГК — площадь сферической поверхности 5*. Следовательно, напряженность, создаваемая точечным зарядом

д на расстоянии К от него,

181

Е	(8.11)
4 ГГК 2	8 ,

Напряженность Е изменяется только в радиальном направле¬ нии, поэтому градиент потенциала

(К

Отсюда

ф	4 П 8 К	+ А.	(8.12)

где А — постоянная интегрирования, с точностью до которой определяется потенциал.

Примем, что точка с нулевым потенциалом находится в беско¬ нечности, то есть при К = да потенциал ф = 0, тогда А = 0.

Из выражений (8.11) и (8.12) видно, что наибольшая напряжен¬ ность и наибольший потенциал поля находятся на поверхности то¬ чечного заряда.

Пример 8.1. До какой величины можно уменьшить радиус К проводящего шара, находящегося в воздухе, если его потенциал ф поддерживать постоянным и равным 1000 В (по отношению к бес¬ конечно далеким точкам). Пробивная напряженность воздуха Епр = 3х1°6 В/м.

Решение. Напряженность электрического поля на поверхности

шара п о уравнению (8.11): 3 х ю 6 - ч 4 ГГК 18 °

Потенциал по уравнению (8.12): 1°°° :

4 ГГ8° К

182

Откуда следует:	1°°°	3 х 1°6		К2
			К
Следовательно, К	3 х 1°6 = °,33 х 1°-3 м =°,33 мм.
		6	'	'

8.9.Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Спомощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя опре¬

делить, как связан исток линий индукции О в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, разделим обе части уравнения (8.9) на объем V, нахо­ дящийся внутри замкнутой поверхности 5:

Во!
1	± своб.	(8.13)
V	V

Выражение (8.13) остается справедливым для объема V любой величины. Устремим объем к нулю:

	Нт		= 1пп	своб.
		V		V

Предел отношения потока вектора В сквозь замкнутую поверх¬ ность, ограничивающую некоторый объем, к объему V называют дивергенцией вектора В (СНУВ ). Часто вместо термина «диверген­ ция» употребляют термин «расхождение» или «исток» вектора В .

В правой части выражения находится объемная плотность сво¬ бодного заряда, ее обозначают р.

183

Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме за¬ писывают следующим образом,

с Ц у В = р .

(8.14)

Если объемная плотность зарядов в данной точке поля положи­

тельна (р > °), то из бесконечно малого объема, окружающего дан¬

ную точку поля, линии вектора

исходят (рисунок 8.7, а).

а)

б)

в)

Рисунок 8.7 — Дивергенция вектора В положительная (а), отрицательная (б), и равна нулю (в)

Если в данной точке поля р < °, то в бесконечно малый объем,

внутри которого находится данная точка, линии вектора В входят (рисунок 8.7, б). И, наконец, если в какой-либо точке поля р = °, то

в данной точке поля нет ни истока, ни стока линий вектора В , то

есть в данной точке линии вектора В не начинаются и не заканчи¬ ваются (рисунок 8.7, в).

Если среда однородна и изотропна, ее 8 а = с о п и . Вместо (8.14)

запишем выражение

ё1У8аЕ = р .

Вынесем 8 за знак дивергенции:

8 а С1УЕ = р.

184

следовательно,

сНуЕ = р / 8 с

(8.15)

Формула (8.15) представляет собой вторую форму записи тео¬ ремы Гаусса в дифференциальной форме. Она справедлива только для однородной и изотропной среды.

В декартовой системе координат

		сНуЕ	3Е^	дЕу	дЕ„			(8.16)
			дх	ду	дг
Используем для записи			С\уЕ	в декартовой системе координат
оператор набла	V:
VЕ = (г — + у — + к—)(гЕх + ]Еу + кЕг) =					дЕ	дЕУ	зЕ	(8.17)
дх	ду	дг			дх	ду	дг

Так как и — у = кк = 1 х 1 х сов00 = 1,

а у = ук = кг = 1 х 1 х сов900 = 0.

Сравнивая выражение (8.16) и (8.17), получаем

сНуЕ^ Е .

Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме можно записать в виде

(8.18)

а

8.10. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными диффе¬ ренциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из тео¬ ремы Гаусса в дифференциальной форме.

Известно, что — Е = §гас1ф. В то же время согласно теореме Гаусса по уравнению (8.15)

сНуЕ	р
	8
	а
Подставим в формулу теоремы Гаусса Е , выраженное через
, получим

	сНу дга!ф = ——
	8 а '
Вместо	дгаёф запишем его эквивалент	V ф; вместо сНу на­
пишем V.
Тогда	V(Vф) = — — .
	8„
Или
	р	(8.19)
	V2ф = —
	Ь
	а
Уравнение (8.19) называют уравнением Пуассона.
В тех точках поля, в которых нет свободных зарядов, то есть р = 0,
	V2ф = 0.	(8.20)

Уравнение (8.20) называют уравнением Лапласа.

185

186

Раскроем V2ф в декартовой системе координат:

ДХ

ДУ

ДГ ДХ

ДУ

ДГ

Произведем почленное умножение и получим

„	2	д2ф 32ф 32ф
V	2ф = —т + —т +

3Х2 дУ2 дГ2

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе ко¬ ординат записывают следующим образом:

3

2ф + 3

2ф + 3

2ф

(8.21)

дХ2 дУ2 дГ2

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат:

дф дф дф	-	(8.22)
—*- + —2- + —2- =	0.

3Х2 3У2 дГ2

Уравнения Пуассона и Лапласа являются уравнениями в част¬ ных производных, они допускают существование множества ли¬ нейно независимых друг от друга решений, из которых следует в каждом случае расчета выбрать одно, единственно удовлетворяю¬ щее так называемым граничным условиям. Граничные условия описывают поведение поля на границах между различными диэлек¬ триками и проводниками.

Отыскание решения обычно является трудной задачей, лишь в

187

отдельных случаях, при простой форме границ поля удается полу¬ чить аналитическое решение. В очень многих практических случа¬ ях необходимо прибегать к приближенным расчетам.

Основной задачей расчета электрического поля является опре¬ деление напряженности Е поля во всех его точках по заданным за¬ рядам или потенциалам тел.

По значениям напряженности Е выбирают необходимую изоля¬ цию. В точках поля, имеющих большую напряженность, существу¬ ет опасность пробоя изоляции.

Второй важной задачей электростатики является определение емкости С двух проводящих тел, окруженных диэлектриком и имеющих равные и противоположные по знаку электрические за¬ ряды. Емкость С является важным параметром электрических це¬ пей при расчете переменных токов. Устройства, созданные специ¬ ально для использования их электрической емкости, называются конденсаторами.

Для расчета электрических полей электродов простой геомет¬ рической формы используют, как правило, теорему Гаусса в инте¬ гральной форме.

8.11. Проводник в электростатическом поле. Электростатическое экранирование

Проводящие вещества имеют в своем составе большое количество свободных элементарных частиц, обладающих зарядом (электроны или положительные и отрицательные ионы). Под действием электри¬ ческого поля эти частицы приходят в упорядоченное движение.

Если внести металлический проводник во внешнее электриче¬ ское поле, то под действием сил поля свободные электроны начнут перемещаться по проводнику против поля. На одной части поверх¬ ности проводника сосредоточатся отрицательные заряды, на проти¬ воположной — положительные (рисунок 8.8).

188

Рисунок 8.8 — Проводник в электростатическом поле

Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему по¬ лю. Перераспределение носителей зарядов происходит до тех пор,

пока напряженность Е поля внутри проводника не станет равной нулю, а потенциал ф всех точек тела не станет одинаковым. Если допустить, что потенциалы точек тела различны, то под действием разности потенциалов начнется перемещение зарядов и пойдет ток, т. е. будет выделяться энергия в виде теплоты, что на практике не наблюдается.

Поверхность проводника будет эквипотенциальной поверхно¬ стью и линии напряженности вне проводника перпендикулярны к его поверхности.

Если проводнику сообщить электрический заряд, то под дейст¬ вием сил отталкивания элементы этого заряда будут перемещаться по проводнику и сосредотачиваться на его поверхности в слое, ко¬ торый можно считать бесконечно тонким. Внутри заряженного проводника поле отсутствует.

Описанное свойство проводников используют в технике при электрическом экранировании электрической аппаратуры. Экра¬ нируемый аппарат помещают в металлическую сетку-экран. В области, ограниченной этим экраном, электрического поля прак¬ тически не будет.

189

8.12. Поле и емкость плоского конденсатора

Плоский конденсатор имеет две металлические пластины, раз¬ деленные диэлектриком (рисунок 8.9).

Рисунок 8.9 — Плоский конденсатор

Расстояние между пластинами обычно мало по сравнению с их длиной и шириной, т.е. й << а и й << Ъ. Если на пластины подать напряжение, то почти все свободные заряды пластин практически равномерно распределятся по внутренним, обращенным друг к дру¬ гу поверхностям пластин. Искажением поля по краям пластин можно пренебречь. В пространстве между пластинами поле можно

считать равномерным, т.е. вектор электрического смещения В постоянен по величине и направлен по нормали к поверхности пла¬ стин (рисунок 8.10).

Полем с внешней стороны пластин в связи с малой плотностью электрических зарядов пренебрегаем.

Охватим заряд д одной из пластин замкнутой поверхностью. След этой поверхности показан на рисунке 8.10 пунктиром. Одна сторона этой поверхности идет внутри конденсатора параллельно пластинам.

190

п

1 0

1

1

1

1

К ; —

—-

^

Рисунок 8.1° — Поле плоского конденсатора

Всоответствии с теоремой Гаусса

§В 08

Поле практически имеется только в пространстве между пла¬ стинами, причем векторы В и 08 совпадают по направлению и

величина электрического смещения В во всех точках поля одина¬ кова, поэтому

г
| В08 соз а = В8 =	д,
где 8 = аЪ — площадь поверхности пластины.
Следовательно, В =1, а напряженность	электрического поля
8

при однородном и изотропном диэлектрике Е = 1

Наибольшее приращение потенциала будет в направлении оси х, перпендикулярной к поверхностям пластин, следовательно, ве-

0 <Р Е

личина градиента потенциала —— = — Е , поэтому

ф = - 1 ЕОх = -1 —— Ох = — + А, г ,8

где А — постоянная интегрирования.

На рисунке 8.11 представлены графики изменения В, Е, ф в функции от х.

Е,ОАФ

Рисунок 8.11 — Графики величин, характеризующих электрическое поле плоского конденсатора

Для нахождения емкости С конденсатора выразим напряжение Ц/ между пластинами через заряд д:

а
Ц = Г ЕОх = ЕО =-д-0.
*	г 8
д	= дга8
Емкость конденсатора С = —

Ц д 0

191

192

В окончательном виде

С = га8.	(8.23)
а 0

Как видно из уравнения (8.23), емкость С зависит от геометри¬ ческих размеров пластин, их взаимного расположения, электриче¬ ских свойств диэлектрика.

Увеличения емкости можно достигать увеличением поверхно¬ сти пластин 8, выбором диэлектрика с высокой относительной ди¬ электрической проницаемостью 8г и уменьшением расстояния ме¬ жду пластинами 0. Но уменьшение расстояния 0 ограничено элек¬ трической прочностью диэлектрика, с уменьшением 0 увеличивает¬ ся напряженность:

Е

0

Любой диэлектрик при определенной напряженности пробивается. Пример 8.2. Между одной из пластин плоского конденсатора и

наполнителем (парафином) образовался слой воздуха (рисунок 8.12)

Рисунок 8.12 — Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектрика

193

Площадь поверхности пластины конденсатора 8 = 2°°см.2, тол¬ щина слоя парафина 01 = °,5 см, толщина воздушного слоя 02 = °,1

см, относительная диэлектрическая проницаемость парафина 8Г1 = 4, для воздуха 8Г 2 = 1.

Пробивные напряженности для парафина и для воздуха соот¬ ветственно

Е п р 1 = 15° ^ ;	Е п р 2 = 3 ° ^ .
см	см

Определить при каком напряжении этот конденсатор будет пробит, какое напряжение выдержит конденсатор без дефекта (рас¬ стояние между пластинами 0 = °,6 см).

Вычислить емкость конденсатора с воздушным слоем и без него. Решение. Для двухслойного плоского конденсатора напряже¬

ние между пластинами

Ц = 01Е1 + 0 2 Е 2 .

Электрическое смещение В = Д~ не зависит от свойств диэлек-

		8
трика. Напряженности Е1	В		В
			то есть напря-
	8 ° 8 г 1		г ° г г 2
женность будет больше в слое воздуха.
		Е28
Выразим В = 8°8Г2Е2	; Е1	2^	г 2

'т1

Для определения напряжения, при котором конденсатор будет пробит, запишем

"71

194

Ц = 0,53 0—1 + 0,1 х30 = 3,75 + 3 = 6,75 кВ. 4

Конденсатор без дефекта выдержит напряжение

Ц = йЕ1 = 0,6 х 150 = 90 кВ.

Емкость конденсатора без дефекта

С = г0г,-	= 8,85х10—12	х 4 ^ 0 0 х 1 0	^ = 118х10—12	Ф.
0 г1	й	0,6х10—2
Емкость конденсатора со слоем воздуха

	С = 1		=
		ЦйхЕх + й2Е2				+ й2°_
						'а1		'а 2
	В соответствии с теоремой Гаусса
					В	1
	Следовательно, С =					= 8 0 8		г 1 8 г	2 —
					2 +	Л - 4 - й18г 2 + й 2 8 п
				1
				8	а 1 -	8 а 2 -
	Подставив числовые значения величин, получим
	8,85 х	10—12	х	4 х 1 х	200 х	10—4			Ф
	С = ^					= 78,6 х 10—12
	0,5 х	10—2	х	1 + 0 , 1 х	10 2	х 4

Лекция 3 РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

8.13. Поле заряженной оси

Под заряженной осью понимают тонкий, теоретический беско¬ нечно длинный металлический проводник (тонкая проволочка). За­ ряд на единицу длины принято обозначать Т . Диэлектрическая

проницаемость среды, окружающей ось, равна 8а . Для нахождения

напряженности поля в некоторой точке, удаленной на расстояние К от оси (рисунок 8.13), проведем через эту точку цилиндрическую поверхность, ось цилиндрической поверхности совпадает с заря¬ женной осью. Длина цилиндра равна I .

Е 4

Рисунок 8.13 — Поле заряженной оси

Используем теорему Гаусса, которая применима для замкнутой

поверхности. В рассматриваемом случае замкнутая поверхность

образована боковой поверхностью цилиндра и двумя его основа¬

ниями. Поток вектора Е имеется только через боковую поверх¬

ность цилиндра. Через основания поток вектора Е отсутствует, так

как вектор элемента поверхности й- каждого основания перпен¬

дикулярен вектору Е .

195

196

Вектор 08 боковой поверхности и вектор напряженности элек­ трического поля по направлению совпадают. В силу симметрии

напряженность Е будет одной и той же во всех точках боковой поверхности цилиндра.

По теореме Гаусса (8.10)

ф Е08 = Е ф 08 =Е 2 пК1 = —

8

8

где 8 = 2лК/ — площадь боковой поверхности цилиндра. Из последнего выражения следует

	Е	Т	(8.24)
		лК&,
	2

Напряженность в поле заряженной оси изменяется обратно пропорционально расстоянию К точки от оси. Наибольшая на¬ пряженность на поверхности заряженной оси.

Потенциал ф найдем, используя связь между Е и ф по уравне­

нию (8.5): §гасС ф = Е .

Приращение потенциала максимально в радиальном направле¬

нии, поэтому

0К0ф = - Е

Следовательно,

2лКе -0К	г0К		-1п К + А
	2ле > К	2 Л 8
1п +А.			(8.25)
К
	197

8.14. Поле и емкость цилиндрического конденсатора

Цилиндрический конденсатор представляет собой два, разде­ лённых изоляцией, проводящих цилиндра с совпадающими осями, т.е. соосных или коаксиальных (рисунок 8.14, а). Примером цилин¬ дрического конденсатора может служить коаксиальный кабель, у которого внутренний провод прокладывается строго по оси кабеля, а другой в виде металлической оплётки охватывает изоляцию цен¬ трального проводника. Коаксиальные кабели предназначены для передачи электроэнергии высокой частоты.

О

Й2

Я

а)

б)

Рисунок 8.14 — Цилиндрический конденсатор (а), напряженность Е и потенциал ср поля конденсатора в зависимости от К (б)

Пусть внутренний цилиндр радиусом К1 имеет на единицу дли¬ ны заряд +т, а внешний цилиндр радиусом К2 имеет заряд -т.

Поле зарядов, имеющихся на цилиндрической поверхности внутреннего проводника, можно заменить полем зарядов, располо¬ женных на оси кабеля. Так как длина кабеля велика по сравнению с его диаметром, то применимы уравнения параграфа 8.13.

Напряженность электрического поля между проводящими ци¬ линдрами на расстоянии К от оси кабеля по уравнению (8.24) равна:

198

ЕТ

2пК8а

апотенциал по уравнению (8.25) равен:

ф-1п — + А 2п8 с К

Напряжение между цилиндрами определяется интегралом

	Л2	2	йК	(8.26)
	Ц = ГЕйК= —^— Г
				2П8
		2п8а	К К

Л9 - п - с Л

Емкость цилиндрического конденсатора и коаксиального кабе¬ ля на единицу длины равна:

С

Т

2 П 8 а

(8.27)

К1

На рисунке 8.14, б показаны графики изменения ф и Е в зави¬ симости от расстояния К от оси кабеля. Потенциал на поверхности наружного проводника принят равным нулю. При К < К1, в прово¬ дящем внутреннем цилиндре ф = сопзх = Ц, Е = 0. При К > К2 на¬ пряженность Е = 0 согласно теореме Гаусса.

Наибольшее значение напряженность поля имеет у поверхно¬ сти внутреннего цилиндра (К = К1):

Е т а х = Т / 2718аРч,

199

или, выражая т из формулы (8.26) через Ц, получим

Ц

Е т а х
КЛп	К	(8.28)
1	К

Пример 8.3. Коаксиальный кабель имеет радиус внутренней жилы К1 = 2мм и внешней оболочки К2 = 5мм.

Определить под какое напряжение можно включить кабель, ес¬ ли максимальная напряженность поля не должна превышать 1/3 пробивной напряженности Епр диэлектрика, равной 2 х 104 кВ/м.

Решение. Напряженность поля максимальна на поверхности внутреннего цилиндра. По уравнению (8.28)

Ц

КЛп К

1 К,

По условию Етах= Епр/3.

ЕК

Выражаем Ц = —— К, 1п——. Подставляем значения величин

3 1 К1

иполучаем Ц = 12,2 кВ.

8.15.Энергия электрического поля. Плотность энергии электрического поля

Система заряженных тел является носителем определенного за¬ паса энергии. Эта энергия сообщается системе внешними источни¬ ками в процессе образования зарядов и может быть вновь возвра¬ щена источникам или преобразована в другие виды энергии при уменьшении зарядов.

200