УМК ТОЭ-3

Напряженность электрического поля Ет найдется из уравнения (8.74):

Ет = -го! Н т.

тут

Запишем выражение

го! Нт

в декартовой системы координат

для плоской волны:

~

~ дН

дН

_

дН

дН

- дН

дН -

дН _

дН

г о ! Н

= г ( ^ Ь -

у—

) +

к У ^ - -

^ Ь - )

+ ^(

у—-^Ь-) = -

у

— = -г^±-.

ду

дг

дг

дх

дх

ду

дг

дг

Следовательно,

?

^

(

1 дН

ч

(8.78)

Е

= г

-).

у д г

Полученное выражение показывает, что вектор Ет направлен по оси х. Таким образом, в плоской электромагнитной волне век­ торы Ет и Нт взаимно перпендикулярны Ет _1_ Нт . Подставив в

уравнение (8.78) значение Нт, получим

Е- = ГР(Схе-р - С 2 е р г ) .

У

Частное от деления р на у называют волновым сопротивле¬ нием:

7	а а1450

О б о з н а ч и м Н - = С 1е ~Р и Е т пад = 7 в С 1 е ~ ^ — напря¬

женность магнитного и напряженность электрического полей па261

дающей	электромагнитной			волны,			а	Н	= С 2е+ р г		и
								т отр
Е	=-7С ер	напряженность			магнитного и напряженность
электрического полей отраженной электромагнитной волны, тогда
		(	=	Н	+	Н
			т	т	пад		т о т р '
			/ 7 =	/7	+	Е
			т т п а д			тотр
Составляющие падающей волны					Ет		и Н		дают	вектор
Пойнтинга падающей			волны П			= Е		х Н	а	состав-
				т	пад		т пад

ляющие отраженной волны Ет отр и Н т отр дают вектор Пойтинга

отраженной волны П	= Е	х Н	(рисунок 8.33).
А	т отр т	отр т	отр	ЧА	'

п,тотр

Рисунок 8.33 — Вектор Пойнтинга для падающей

(а) и отраженной (б) волн

Составляющие падающей волны Ет пад и Нт пад дают вектор

Пойтинга Птпад , направленный вдоль положительного направле-

262

т отр

ния оси г, следовательно, падающая электромагнитная волна несет в себе энергию и распространяется вдоль положительного направ¬ ления оси г.

Составляющие отраженной волны Ет отр и Нт отр дают вектор

Пойнтинга П направленный вдоль отрицательного направле­ ния оси г. Это значит, что отраженная электромагнитная волна не¬ сет в себе энергию и распространяется вдоль отрицательного на¬ правления оси г.

8.44.Распространение плоской электромагнитной волны

воднородном проводящем полупространстве

Пусть плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в диэлектрике, подходит нормально к плоской поверхности прово¬ дящей среды, ограничивающей ее с одной стороны (рисунок 8.34). Во всех остальных направлениях проводящая среда простирается до бесконечности. Направим ось г в глубь проводящей среды нор¬ мально к ее поверхности. Плоскость хОу совместим с этой поверх¬ ностью.

Диэлектрик

—*

П

2

У

Рисунок 8.34 — Граница между диэлектриком и проводящей средой

Так как проводящая среда простирается до бесконечности, то падающая волна в толще проводящей среды не встречает границы, от которой бы она отразилась, и отраженной волны в данном слу¬ чае не возникает.

При наличии только одной падающей волны

Н т = С е •рг и Ет = 2 В С,е рг

Я В 1

Постоянную интегрирования С1 найдем из граничных условий.

Пусть на поверхности среды при г = 0 напряженность магнитного поля имеет значение Нт = Нта = Нтае]Ц1", тогда С, = Нт„ и

т т а

та

' ^ — 1

та

выражения напряженностей имеют вид:

Нт = Не—V ]к2е™а

тт а

	Е = Н е~кг		~]кге™ае]450
	т	т а	у
Напишем мгновенные значения Е и Н. Для этого правые части
умножим на е	и возьмем мнимые значения от получившихся
произведений:
Н = Нтае'		3 1 П ( с г — кг + У а );

Е = Нта, ^^е~кг зш(©г — кг + у а + 450).

V у

263

264

Из полученных выражений следует, что амплитуды напряженностей магнитного и электрического полей по мере проникновения в проводящую среду убывают по показательному закону (рисунок 8.35). Это происходит потому, что энергия электромагнитной волны в проводящей среде с 0 преобразуется в тепловую энергию.

Рисунок 8.35 — График мгновенного значения напряженности магнитного поля

Во всех точках проводящей среды, в том числе и на ее поверх¬ ности, напряженность электрического поля опережает по фазе на¬ пряженность магнитного поля на угол 450 .

Под длиной волны	Я понимают расстояние вдоль направления
распространения волны (вдоль оси		г), на котором фаза колебания
изменяется на 2п.
Она определяется из условия
( С Ц — кг1 + у а) — [ С Ц — к (г1 + Я) + у а ] = 2п;
Я : 2п	Я :	2п
		2
	265

Под глубиной проникновения А понимают расстояние вдоль направления распространения волны, на котором амплитуда па¬ дающей волны Е (или Н) уменьшается в е раз. Глубину принокно-

—к А

вения определяют с помощью выражения Отсюда следует, что

к

Глубина проникновения в 2п раз меньше длины волны. Глуби¬ на проникновения уменьшается с увеличением частоты, магнитной проницаемости и удельной проводимости проводящей среды. На­

пример, при частоте / = 50 Гц глубина проникновения в меди ( у = 58 х106 См/м) —9,4 мл^в с т а л и (у = ю7 С м / м ; дг = 1000) — 0,74 м м .

При частоте / = 500000 Гц глубина проникновения уменьшается в 100 раз.

Отношение амплитуд напряженностей полей на расстоянии

г = X от поверхности среды к их значениям на поверхности равно

		— к Я
	Нтае	0,00185.
	Нт

На этом расстоянии волна практически затухает. В идеальный проводник (у = да) электромагнитная волна совсем не проникает,

она полностью отражается от него. Свойство переменного электро¬ магнитного поля высокой частоты проникать на небольшую глуби¬ ну проводящих тел, обладающих высокой удельной проводимо¬ стью или магнитной проницаемостью, используется для устройства электромагнитных экранов. На этом же свойстве основана высоко¬ частотная закалка стальных изделий. Закаливаемую деталь поме¬ щают на короткое время в поле высокочастотных токов. Энергия

266

электромагнитных волн, проникающих в деталь, поглощается в тонком поверхностном слое и нагревает его. После этого деталь удаляют из электромагнитного поля и охлаждают. Закаляется лишь тонкий поверхностный слой детали, что приводит к улучшению качества изделий.

8.45. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе

Рассмотрим распространение плоских электромагнитных волн в стальном листе. Пусть вдоль листа распространяется переменный

магнитный поток Фт . Толщина листа 2а, высота листа к, длина

листа /. Длина листа / и его высота к (рисунок 8.36) значительно превосходят его толщину: / >> 2а, к >> 2а.

Рисунок 8.36 — Магнитный поток в плоском листе

Определим закон изменения напряженностей полей Е и Н по сечению листа. Электромагнитные волны в данном случае прони¬ кают в лист с двух его сторон. В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхности листа та же, что и на правой

267

поверхности листа. Обозначим ее Нта. Соответственно оси коор¬

динат направим так, чтобы вектор Нт был направлен по оси у, то

есть Нт = /Нт , тогда

рг

Постоянные С1 и С 2 найдем из граничных условий. При г = а, то есть для точек, находящихся на правой стороне листа,

пр и г = — а,

Из совместного решения этих двух уравнений получим:

С = С	н.		н.
	е- +	е -	2сЬ ра

Напряженность магнитного поля в любой точке листа

Н	рг	рг	•	сЬ	рг	(8.79)
2сЬ р	а				сЬ ра

Напряженность электрического поля в любой точке листа

268

	- - 1	ОН -	Р -	зЬ	рг	-гЕт
	у	Ог	у	сп	ра
	Ет = = Нт зЬ рг
		сЬ ра				(8.80)
	При г = а напряженность				Ет направлена вверх (вдоль оси - х),

при г = - а — вниз. Вектор Пойнтинга направлен внутрь листа, как с левой стороны листа, так и с правой.

Переменный магнитный поток индуктирует электродвижущие силы в контурах, расположенных в плоскостях, нормальных к ли¬ ниям магнитной индукции. В этих контурах под действием индук¬ тированных ЭДС возникают вихревые токи. Вектор плотности вих¬ ревого тока

д д	. .	зЬ рг
3т	= у Е т ; 3 т	= рНта~. .

— сп ра

Магнитная индукция в любой точке листа

		сп рг
В	=иН/ =дН/	.
т	г^а т г^а та	*
		сп ра

Среднее значение магнитной индукции в листе

1 а	•		и Н	зЬ ра		и Н
о	о Л _		г"а та	±-		г" а та		+У.
В т с р = ~ I В т 0 г =			269	Г	=			! Ь р а .
				сЬ	ра	ар
а0			ар					—

Если считать В известной и равной Фт , то можно найти т с р г 2аА

напряженность магнитного поля на поверхности листа:

НУ.	арВ;
	т ср

На рисунке 8.37 представлены кривые распределения модулей напряженностей электрического и магнитного полей по сечению листа. По ним видно, что наибольшее значения магнитная и элек¬ трическая индукции имеют на поверхности листа. В середине листа при г = 0 напряженность магнитного поля имеет минимальное зна¬ чение, а напряженность электрического поля равна нулю. Кривая плотности вихревых токов 3 = / (г) повторяет в своем масштабе кривую напряженности электрического поля Е = /(г) . Явление не¬ равномерного распределения поля по сечению листа, вызванное затуханием электромагнитной волны, называют поверхностным эффектом.

Тттттп;ттпТТТ

о

1

Рисунок 8.37 — Распределение напряженностей Е и Н по сечению листа

270

8.46. Электромагнитное экранирование

Для защиты электроизмерительных приборов, элементов элек¬ трических цепей, устройств автоматики и связи и т. д. от влияния внешних электромагнитных полей применяются металлические экраны. Если защищаемый элемент цепи окружить металлической оболочкой, то при достаточной ее толщине внешнее электромаг¬ нитное поле практически не проникнет внутрь оболочки, поскольку вся его энергия будет поглощена этой оболочкой. Физически экра¬ нирующее действие может быть объяснено возникновением токов в стенках экрана, создающих поле, компенсирующее внешнее поле. Эти токи могут рассматриваться как вихревые токи.

Для получения эффективного экранирующего действия толщи¬ на стенок экрана должна быть приблизительно равной длине волна Я в веществе экрана. При радиочастотах порядка/= 500 кГц дли¬ на волны в меди 0,6 мм, экраны изготавливаются из меди или алю¬ миния.

8.47. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике

Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в однородном и изотропном диэлектрике. Проводимость у идеаль¬ ного диэлектрика равна нулю. Поэтому в первом уравнении Мак¬ свелла в правой его части слагаемое уЕ отсутствует, и уравнения

Максвелла в комплексной форме для действующих значений напряженностей получают следующий вид:

го! Н = /Ю8аЕ;	(8.81)
го! Е = — 7<с>ца Н;	(8.82)

СНУ В = 0

и

СНУ Е = р с в о б / 8 а .

Для однородных и изотропных диэлектриков Да = сопз! и ус­ ловие ( Н У ДаН = 0 равнозначно условию СИУ Н = 0. Для со­ вместного решения уравнений (8.81) и (8.82) возьмем ротор от уравнения (8.81). Получим

го! го! Н = дгасС СНУ Н — V2 Н = /С08а го! Е.

Так как СИУ Н = 0, то и дгаС СИУ Н = 0. В свою очередь

го! ЕЕ = —/ЮДа Н. Поэтому —V2 Н = /Ю8а (—/'С0ДаЯ) или

V2 Н = — С028аД аН.

(8.83)

Произведение 8аДа имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости О, и поэтому можно принять 8аД = 1/ и2. С учетом этого обозначения уравнение (8.83) получает следующий

вид: V	2	Я = —	Н.

Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении оси г, можно принять, что напряженность магнитно¬ го поля направлена вдоль оси у, то есть Н = /Н.

Так как для плоской волны Н зависит только от координаты г и не зависит от других координат (х, у), то уравнение

271

272

	ДХ2 +	ДУ2 +	ДГ2	Н = — 1 * |	Н
				и
приобретает следующий вид:
		д2 Н		Н.				(8.84)
		Дг2
				и
	Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение
р2	= — | — | , корни которого р1 = /— и р1 = — /
	и )			и	и
	Общее решение уравнения (8.84):
	Н = Схеи г + С2е"3 и г.							(8.85)
	где С1, С2 — комплексные коэффициенты,				зависящие от гра-
ничных условий. Их запишем в показательной форме:							С1	= С1е
и	С 2 = С 2 е
							ю
							•/—г
	Слагаемое в правой	части уравнения (8.85)			С2е		и	представ¬

ляет собой падающую волну, распространяющуюся в положитель-

ю

ном направлении оси г, а слагаемое С1е и — отраженную волну,

распространяющуюся в отрицательном направлении оси г. Напряженность электрического поля Е найдем из уравнения

(8.81).

273

/Ю8а

Для плоской волны в диэлектрике, аналогично, как и для пло¬ ской волны в проводящей среде,

			(	ДНнЕ
	го! Н = г
Поэтому Е = I			ю
			-]—
/ Ю 8	а	[	и .
Величину
1	= Л / 8 « Д « = /ДГ =
8а	и		8	= 2в

называют волновым сопротивлением диэлектрика. Волновое со¬ противление диэлектрика является действительным числом, изме¬ ряется в омах:

2_	8а V 808г	V 8г

Оно не зависит от угловой частоты ю . Для вакуума Дг = 1 и

8г = 1, поэтому 2в = 377 Ом. Следовательно,

Е = гЕ,

ю

где Е = 2в С2е и — 2в С1е и

274

Единичный орт г свидетельствует о том, что вектор напряжен¬ ности электрического поля направлен по оси х.

Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распро¬ страняющейся в диэлектрике, как и в проводящей среде, векторы

Е и Н взаимно перпендикулярны: Н направлен по оси у, Е — по оси х.

Запишем выражения для мгновенных значений Н и Е падаю¬ щей волны. Чтобы получить мгновенное значение падающей волны

	ю
Н умножим комплекс Н = С2е п е	на е/со/	и от произведе-

ния возьмем мнимую часть. В результате получим:

	Н = С 2 81П	ю! +	г
	аналогично,
	Е = С2 7в 81П		ю
		ю! + \|/ п		г

По мере продвижения падающей волны вдоль оси г амплитуды Е и Н остаются неизменными, то есть затухания волны не происхо¬ дит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике:

1

°фаз = ° = —

Если волна распространяется в вакууме, то 8а

и Ц =М0

275

Тогда фазовая скорость равна скорости света:

	1		300000 км/с.
	Д/1,256 х 10-6	х 8,86 х 10-12

Длина волны к есть расстояние вдоль оси				2, на котором фаза
колебания	изменяется на 2п. Ее находят			из	соотношения
юк = 2п.	Отсюда
		к			( 8 . 8 6)
Из уравнения (8.86) видно, что длина волны в диэлектрике об­
ратно пропорциональна частоте/.			Так при частоте /		= 106 Гц
	. 300000 300
	к =		-— = 300 м.
	106

8.48.Задачи и вопросы для самопроверки

1.Что такое плоская электромагнитная волна?

2.Почему электромагнитная волна затухает по мере проник¬ новения в глубь проводящей среды?

3.Что такое глубина проникновения?

4.Определить глубину проникновения электромагнитной вол¬

ны, имеющей частоту / = 5000 Гц, в проводящую среду, у которой

у = 107 См/м, ц =103.

Ответ: 0,07 мм.

276

5.Почему электромагнитная волна не может проникнуть в среду с бесконечно большой проводимостью?

6.Что понимают под поверхностным эффектом?

7.Почему сопротивление проводника возрастает при увеличе¬ нии частоты тока?

8.Как выполняют электромагнитные экраны?

Материалы к практическим занятиям

Для подготовки к практическим занятиям необходимо изучить теоретический материал модуля, относящийся к теме занятия, ре¬ комендуется использовать также методические указания к практи¬ ческим занятиям по ТОЭ, ч. 3 [11] и литературу [2, 3]. Ответить на контрольные вопросы.

Практическое занятие 1 Электростатическое поле и емкость конденсаторов

Задача занятия: изучить величины, характеризующие электро¬ статическое поле, и связи между ними. Изучить методику расчета электростатического поля и методику расчета емкости электротех¬ нических установок.

План занятия:

1.Повторение основного теоретического материала.

2.Решение задач под руководством преподавателя и само¬ стоятельно.

277

Контрольные вопросы для подготовки

кпрактическому занятию 1

1.Как определяется значение напряженности электрического

поля?

2.Сформулируйте закон Кулона.

3.Как определяется потенциал электростатического поля?

4.Что означает и чему равен градиент потенциала?

5.Что такое эквипотенциальные линии и линии вектора на¬ пряженности электрического поля?

6.Сформулируйте теорему Гаусса.

7.Как определяется емкость между двумя проводящими тела¬

ми?

8.Как находится энергия электрического поля, конденсатора?

9.Чему равна плотность энергии электрического поля?

Примеры практического применения теоретического материала

1. Определить напряженность поля в точках а, Ъ, с и силу, кото­ рая действует в вакууме на каждый из трех точечных зарядов да, дЪ, да, находящихся на расстоянии друг от друга К = 3 мм, да = дЪ = дс= 15х10-12 Кл (рисунок 8.38).

Рисунок 8.38

278

Решение
Точка а находится в поле точечного заряда дъ и в поле точеч­
ного заряда дс. Поэтому Еа = Еъа	+ Еса .
А н а л о г и ч н о : Еъ = Еаъ + ЕсЪ ,	Ес = Е а с + Е Ъ с .

					Еа = 2	соз300 =^3Еъа.
	Е = К =		д ъ д			15 х 10—12
	Ъ а
		да	4п80К2да 4п80К2			4пх 8,85 х 10—12 х 32 х 10—

15 х 103 В/м.

Еса = Еъс = = 15 х 103 В/м.

Еа = Еъал/3 = 25,95 х 103 В/м; Еъ = Ес = Еа

ра = Е а д а = 25,95х 103 х 15х 10—12 = 0,39х 10—6 Н;

2. Заряд 2 = 8,89 х 10—12 Кл равномерно распределен на по­

верхности металлического шара с радиусом К0 = 1 х 103 м. Шар

находится в воздухе, 80 = 8,85 х 10 12 Ф/м. Найти радиусы экви¬ потенциальных поверхностей, потенциалы которых отличаются на 10 В (рисунок 8.39).

279

Рисунок	8.39
Решение
Согласно теореме Гаусса | Е (8	= е	—.
	8
^	0

Так как векторы Е и (С8 радиально направлены, то скалярное произведение ЕС8 = ЕС8 соз 0 = ЕС8. Кроме того, напряжен¬ ность по величине на поверхности сферы радиуса К, по причине пространственной симметрии, будет одинаковой и поэтому она может быть вынесена за знак интеграла:

Е | С8 е	Е 4 п К 2,2 е , Е	е
8 0	8 0	4п80 К2

Найдем потенциал точки на расстоянии К от центра шара:

Ф = — | Е с К + А = — | ^ + А = — + А
4п80 К2	4п80 К

Если К = да, ф = 0 . Следовательно А = 0. Эквипотенциальной поверхностью будет сфера радиуса К.

280