УМК ТОЭ-3

Сила тяги электромагнита направлена так, чтобы якорь прибли¬ зился к ярму. При этом энергия, запасенная в магнитном поле воз¬ душного зазора, переходит в механическую работу, затрачиваемую на перемещение якоря.

Пусть под действием магнитных сил якорь начал притягивать¬ ся, но прошел настолько малое расстояние й/, что величина В и Н практически не изменились. Наступившее малое изменение энер¬ гии составит

йЖмм = —8й/.

2

С другой стороны й Ж м = Р й / , где Р — сила действующая на якорь. Следовательно,

Р	йЖ ВН		(8.63)
	й/
Из последнего выражения видно,		ВН	выражает собой как объ-
		2

емную плотность энергии, так и давление на единицу рабочей по¬ верхности якоря.

Если учесть, что в воздушном зазоре Н = —, то

	Ц 0
Р = —	(8.64)
2 Ц 0

Из уравнения (8.64) видно, что сила тяги электромагнита созда¬ ется как при постоягнном, так и при переменном токе в катушке.

241

8.33.Задачи и вопросы для самопроверки

1.Какими величинами характеризуется магнитное поле и как они связаны между собой?

2.Связь каких величин определяет закон полного тока?

3.По прямому цилиндрическому проводу радиуса К0 = 0,02 м

протекает ток I = 100 А. Найти напряжённость магнитного поля на

расстоянии К1 = 0,01 м		и К2	= 0,4 м	от оси провода
Ответ: 398 А / м		; 39,8 А	/ м .
4.	Найти значение индукции магнитного поля двухпроводной
линии	с постоянным током		I = 100	А между проводами на рас­

стоянии К1 = 0,2 м от левого провода на оси, соединяющей центры проводов. Расстояние между проводами й= 1м; ц0 = 125 х 10—6 Гн/м.

Ответ: 124,4 х10—6 Тл.

5.Испытывает ли уединённый провод механические усилия при прохождении по нему тока?

6.Каково выражение плотности энергии магнитного поля?

7.Через посредство каких величин определяют значение ин¬ дуктивности?

8.Как выполняют магнитное экранирование?

Лекция 6 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

8.34. Полный электрический ток

Электрический ток в проводящей среде есть упорядоченное движе¬ ние электрических зарядов под действием сил электрического поля. Та¬ кой ток называется током проводимости. Плотность тока проводимости

242

3 = у Е .

Если заряженные тела или частицы движутся в непроводящей

среде или вакууме со скоростью V, то они образовывают ток, на¬ зываемый током переноса:

3 п е р

=Р^5,

где р — объёмная плотность заряда частиц, V — скорость дви¬

жения частиц.

Под влиянием электрического поля связанные электрические заряды диэлектрика смещаются: положительные — по направле¬ нию поля, отрицательные — в противоположном. При исчезнове¬ нии электрического поля заряды снова возвращаются в прежнее состояние. Явление смещения упруго связанных электрических за¬ рядов и ориентации дипольных молекул диэлектрика называется поляризацией диэлектрика. При всяком изменении электрического

поля во времени изменяется поляризованность Р диэлектрика. При этом в веществе диэлектрика движутся элементарные частицы с электрическими зарядами, входящими в состав атома и молекулы вещества. Этот вид тока в диэлектрике называют током поляризации:

7	= д Р
поляр	/» '

Для сред, в которых поляризованность пропорциональна на¬ пряжённости поля Р = 8 0% Е , плотность тока поляризации

дЕ

3 п о л я р 5 0% г д!

где X г — относительная диэлектрическая восприимчивость.

Все три перечисленных тока представляют собой движение электрических зарядов. Каждый из этих токов сопровождается маг¬ нитным полем.

Максвелл предложил называть также электрическим током из¬ менение во времени электрического поля в вакууме, так как при этом образуется магнитное поле. Этот вид тока называют током смещения в вакууме:

7 = дЕ

Отличие тока смещения в вакууме от других видов тока состоит в том, что он не вызывает тепловых потерь.

Таким образом, электрическим током называют два разнород¬ ных явления — движение электрических зарядов и изменение элек¬ трического поля во времени.

Полным электрическим током называют совокупность всех яв¬ лений, при которых образуется магнитное поле:

3 п о л н 3 + 3 п е р + 3 п о л я р + 3 0 с м .

Ток проводимости и ток переноса имеют место и в постоянных

ив переменных во времени электрических полях, ток поляризации

иток смещения в вакууме имеют место только в переменных во времени полях.

Сумму токов поляризации и тока смещения в вакууме называют током смещения в диэлектрике:

/	чдЕ	ОЕ	ДБ
3 с м 3поляр + 3 0 с м	Д!	Д!	Д!

243

244

Ток переноса встречается крайне редко, поэтому под полным то¬ ком, как правило, понимают сумму токов проводимости и смещения:

	дБ
3 п о л н = 3 + 3 с м = у Е +	(8.65)

8.35. Первое уравнение Максвелла

Одним из основных уравнений электромагнитного поля являет¬ ся первое уравнение Максвелла, которое представляет собой диф­ ференциальную форму записи закона полного тока:

	г о Н = у Е + — .	(8.66)
	д г

Физический смысл этого уравнения заключается в следующем: магнитное поле возбуждается как током проводимости, так и изме¬ няющимся электрическим полем.

Для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 а = 8 г 80 = сопз! имеем

гоН = уЕ + 8

(8.67)

Для идеальных диэлектриков с проводимостью у = 0 получаем

ЛДЕ

гоН = 8а .

А Дг

Магнитное поле в данном случае возбуждается изменяющимся во времени электрическим полем без участия тока.

8.36. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла представляет собой выражение закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

г о ! Е =		.
	д г	(8.68)

Физический смысл этого уравнения заключается в следующем: изменяющееся во времени магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Для сред с постоянной магнитной проницаемостью

гоЕ = —ца дН

(8.69)

Докажем, что второе уравнение Максвелла выражает закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Соглас¬ но этому закону при изменении магнитного потока, пронизываю¬ щего поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в контуре наводится ЭДС:

	дФ
е =	.
	д г

Если напряженность индуцированного электрического поля

обозначить Е, то

е= с | ) Ей/.

Магнитный поток есть поток вектора магнитной индукции В

сквозь поверхность —:

245

246

Ф =ГВй—.

Следовательно, ф Ей/ = —		й— Левую часть уравнения

У^ Лд/г

можно преобразовать по теореме Стокса, ф Ей/ = |гоЕй—.

Т а к и м о б р а з о м , ГГО{Ей— = — ГдВ й—.

1 1дг

Полученное равенство выполняется при любых площадях.

С		дВ
Следовательно,	го!	Е	=		.

дг

8.37. Полная система уравнений электромагнитного поля

Электромагнитное поле определяется четырьмя векторными

величинами Е , Б , В , Н

Для сред с постоянной проницаемостью эти векторы связаны соотношениями:

Б = ; В = Ц«Н .

Для любого изотропного вещества электромагнитное поле оп¬ ределяется следующей системой уравнений:

го!Н = уЕ +		, г о ! Е =	.
	дг		дг
( И У О = р,с11уВ = 0.
Б = е ,		В = Ц а Н .
247

Физический смысл основных уравнений электромагнитного по¬ ля заключен в том, что магнитное поле всегда вихревое и возбуж¬ дается оно как движущимися зарядами, так и изменяющимся во времени электрическим полем. Электрическое поле может быть вихревым (в этом случае оно возбуждается изменяющимся во вре¬ мени магнитным полем) и безвихревым (если оно возбуждается постоянными во времени электрическими зарядами).

Электрические и магнитные поля связаны непрерывными вза¬ имными превращениями и представляют собой различные прояв¬ ления единого электромагнитного поля, которое находится в дви¬ жении и несет с собой запас энергии:

(8.70)

8.38. Теорема Умова - Пойнтинга

Теорема Умова - Пойнтинга выражает закон сохранения энер¬ гии в электромагнитном поле. Она связывает изменение энергии, в какомлибо объеме с потоком ее через поверхность, ограничиваю¬ щую этот объем.

Энергия электромагнитного поля в объеме V равна:

Ж.

Найдем изменение энергии в данном объеме:

дЖЭМ = Ге	Е д Е й V + Гм Н—йV.
дг I а	йг	Га	Дг
	248

Из уравнений Максвелла для сред с га = сопз!, |и а = соп§1,

^

_

д

Е

—•

д

Н

у = сопз!, Го1 Н = у Е + 8а

и

го!Е = -

|

и а

Д!

д !

. .

д Е

-

-

и и

д

Н

—

Найдем 8

= г о Н - уЕ

=

-го! Е,

а

д!

д!

тогда

:

Г Его!НаV - | у Е 2 а

V -

Г Н г о ! ЕаV.

Из математики известно, что

сСгу[ЕН ] = Нго!Е - Его!Н.

Следовательно,

• = - [ С1у[ Е Н ]	а V - Г у Е 2 а V .
д!
Обозначим векторное произведение	[ ЕН] = П.

Вектор П называют вектором Пойнтинга, его размерность рав­ на Вт/ м 2 .

По теореме Остроградского

В результате получим

(8.71)

д !

249

Данное выражение носит название теоремы Умова - Пойнтинга, согласно которой поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность 5 равен сумме двух мощностей: мощности тепловых потерь внутри объема, ограниченного поверхностью 5, и прираще¬ ния энергии электромагнитного поля в том же объеме.

Положительная нормаль к замкнутой поверхности и вектор й5

направлены в наружную сторону. Поэтому, чтобы поток вектора П, входящий через поверхность 5, был положительным, вектор П дол­ жен быть преимущественно направлен внутрь объема V (угол между вектором П и вектором 05 должен быть преимущественно тупым).

Вектор Пойнтинга есть физическая величина, которая равна энергии, проходящей в единицу времени сквозь поверхность, рав¬ ную 1 м2, перпендикулярную к направлению вектора П . Вектор

П определяется выражением П = ЕН	согласно которому на­
правление вектора П будет совпадать с	направлением движения

острия правоходового винта, головка которого вращается в плоско¬

сти, содержащей векторы Е и Н , в направлении от Е к Н по

кратчайшему расстоянию.

Если в объёме V имеются источники энергии мощностью Рист,

то теорему Умова - Пойтинга записывают в следующем виде:
Рист = § П 0 5 + | уЕ ^
5	V

Мощность источников в объеме V равна сумме мощности тепло­ вых потерь в объеме V, мощности изменения энергии электромагнит­ ного поля в объеме V и мощности энергии, выходящей наружу через поверхность 5, ограничивающую рассматриваемый объем V.

250

8.39. Передача электрической энергии вдоль проводов линии электропередачи

Теорема Умова - Пойнтинга позволяет сделать вывод, что пе¬ редача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромаг¬ нитным полем, распространяющимся в диэлектрике вдоль проводов линии. Провода линии служат направляющими движения энергии электромагнитного поля.

Окружим часть линии вместе с приемником замкнутой поверх¬ ностью — (рисунок 8.30).

Рисунок 8.30 — Линия электропередачи

Согласно теореме Умова - Пойнтинга -(Г Пй— = | уЕ 2йV• .Ж

дг

приращение энергии электрического и магнитного полей в объеме V, ограниченного замкнутой поверхностью —, и поглощение энер¬ гии в приемнике и в проводах линии, расположенных в этом объе¬ ме, происходит за счет электромагнитной энергии, поступившей из диэлектрика в объем V сквозь ограничивающую его поверхность —.

В частном случае, когда ток в линии постоянный, энергия элек¬ трического и магнитного полей в объеме V не изменяются во вре¬ мени, последний член уравнения Умова - Пойнтинга равен нулю:

— ф П й— = | у Е ^ .

251

Энергия, поглощаемая в цепи в виде теплоты, равна энергии, передаваемой в область V через поверхность —. Таким образом, энергия, выделяемая в проводнике в виде теплоты, передается в проводник сквозь поверхность проводника из диэлектрика, окру¬ жающего проводник. Покажем это на примере круглого провода

радиуса Г00 длиной /, с сопротивлением К и током г . (рисунок 8.31). Поскольку отрезок проводника обладает сопротивлением К, то при наличии тока на концах проводника возникнет разность по¬ тенциалов, определяемая тангенциальной составляющей напря¬ женности электрического поля: Е т / = Кг, откуда Е = —

Напряженность магнитного поля на поверхности проводника

Нг

Следовательно, нормальная составляющая вектора Пойнтинга равна

Г2 К

П . = Ет Н

2ПГ0/

Величина 2ш'0/ есть площадь цилиндрической поверхности

отрезка провода. Мощность, передаваемая в провод сквозь его по¬ верхность из окружающей среды, равна:

П — = г2 К.

Е т

Го

Рисунок 8.31 — Отрезок провода линии 252

На рисунке 8.32 показаны направления линий напряженности магнитного и электрического полей около проводов линий элек¬ тропередачи. Линии напряженности электрического поля несколько изогнуты, так как вследствие наличия активного сопротивления

самих проводов вектор Е у поверхности провода имеет состав¬ ляющую по направлению тока в проводнике. Определяя направле¬ ние вектора Пойнтинга П , в разных точках поля получаем карти¬ ну, изображенную на рисунке 8.32, из которой видно, что поток электромагнитной энергии передается от генератора к приемнику через диэлектрик, расположенный между проводами и возле них. Через провода энергия к приемнику не передается, провода сами потребляют из диэлектрика энергию, преобразуя ее в тепловую, аналогично активному приемнику, расположенному в конце линии.

к п р и е м н и к у

Рисунок 8.32 — Поток вектора Пойнтинга в диэлектрике между проводами и возле них

Величина напряженностей электрического и магнитного полей имеют наибольшее значение в пространстве между и возле проводов, поэтому подавляющая доля энергии от генератора идет по диэлектри¬ ку в пространстве между и возле проводов. Провода образуют канал в диэлектрике, по которому поступает энергия к приемнику.

8.40. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи

			д Е		-~ д Н
Уравнения Максвелла г о ! Н = уЕ + 8				и	г о ! Е = - |и
		а	д!			д!

записаны для мгновенных значений Н и Е.

Если Н и Е изменяются во времени по синусоидальному закону, то уравнения Максвелла можно записать в комплексной форме.

Пусть Н = Нт 8И1 (Ю! + \|/Н ) и Е = Ет 8П1 (Ю! + \|/Е ). Перейдём к комплексной форме записи синусоидальных вели¬

чин:

Н= 1т Н е™Нет = 1т Н е

тт

где Нт = Нте7 У н

Е= 1т Е е]Ще]Ш = 1т Е е]Ю!,

тт

Так как напряжённости Н и Е, кроме того, что они изменяются во времени по синусоидальному закону, являются функциями век¬ торными, то есть определенным образом ориентированными в про-

странстве векторами, то над ними ставят стрелку и точку: и

Ет . Подставим в уравнение Максвелла вместо Н величину

Не]ю1 и вместо Е величину Ете]С°1 в результате получим:

е/со?го! Нт = уЕте]ш + /Ю8а Ете

253

254

После сокращения на е]Ш получим первое уравнение Мак¬ свелла в комплексной форме:

г о ! Нт = уЕт + / ю е аЕт

(8.72)

Аналогично запишем второе уравнение Максвелла:

г о ! Е

= — / с о и Н .

(8.73)

Дополнительный теоретический материал для самостоятельной работы

8.41. Теорема Умова - Пойнтинга в комплексной форме записи

В теории синусоидальных токов пользуются приемом, позво¬ ляющим вычислить активную и реактивную мощности по ком¬ плексной мощности —, равной произведению комплекса напряже-

*

ния й на сопряженный комплекс тока I :

— = й

I = 2

у т \ т = р + / е .

Аналогично в электромагнитном поле вводится в употребление комплексный вектор Пойнтинга

п = Е Н

Ет Н г,

Определим поток этого вектора через замкнутую поверхность ограничивающую объем V, повторив преобразования при выводе

теоремы Умова - Пойнтинга в обратном порядке

Ет Н т

^сЦ у Ея Нт = ЫЕ^Нт — НЯ го! Е

Согласно уравнениям Максвелла в комплексной форме

го! Н = у Е	+ / ю		е Е ,
г о ! Е т = —	а	Н	т
Следовательно, го! Нт = у ЕТ — /	ю	е	А ЕТ и

Етго! НТ—НТ го! Ет = у ^ т Е Т — у ' с о е а Ет Ет + у с о ц А Я Т НТ

^МАНЯ ЕАЕ«2 Л

Таким образом,

2 Л

Первый интеграл в правой части выражает собой активную мощность Р, поглощаемую внутри объема V, второй интеграл есть разность максимальных значений энергий, запасенных в магнитном

255

256

и электрическом полях этого объема. Произведение этой разности на угловую частоту Ю представляет собой реактивную мощность.

Для подтверждения последнего рассмотрим реактивную мощ¬ ность цепи синусоидального тока с последовательным соединением резистивного К, индуктивного Ь и емкостного С элементов:

2 = ГХ = Г| ю Ь	: 2ю Ы2	Ы2 СП2	ш\"мт "эт)-
	ю С	2 ю 2 С 2

Таким образом, теорема Умова-Пойнтинга в комплексной фор¬ ме имеет вид:

Эта форма теоремы Умова - Пойнтинга имеет важное практи¬ ческое значение. Ее используют, например, при определении ак¬ тивного и внутреннего индуктивного сопротивлений проводников на переменном токе.

8.42.Задачи и вопросы для самопроверки

1.Что такое полный электрический ток?

2.Что является причиной появления электрического поля.

3.Что является причиной появления магнитного поля?

4.Что выражает собой вектор Пойнтинга?

5.Какова связь между направлением вектора Пойнтинга и на¬ правлением векторов напряженностей электрического и магнитного полей?

6.По уединенному алюминиевому проводу радиусом г = 0,01 м, длиной / = 1 м проходит ток I = 1000 А. Удельная проводимость

алюминия у = 32 х 106 Ом/м. Пользуясь теоремой Умова - Пойнтинга, найти мощность потока энергии, входящей внутрь про¬ вода через его боковую поверхность. Сравните эту мощность с мощностью, определяемой по закону Джоуля - Ленца: Р = 12К .

Ответ: 1000 Вт.

7. Какую роль выполняют провода линии при передаче по ней энергии от генератора к приемнику?

Лекция 7 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ И ДИЭЛЕКТРИКЕ

8.43. Уравнения Максвелла для проводящей среды

Если Е и Н изменяются во времени по синусоидному закону, то для анализа электромагнитного поля в проводящей среде исполь¬ зуются уравнения Максвелла в комплексной форме:

го!Н = у Е + /С08 Е .

го!Е = — /СОД Н .

В проводящей среде даже при весьма высоких частотах произ¬

ведение С08а значительно меньше проводимости у. Поэтому сла­

гаемым у'С08аЕт в первом уравнении Максвелла можно пренебречь:

го! Н = у Е .

(8.74)

тт

257

258

(8.75)

Возьмем ротор от первого уравнения:

го! го! Нт = го! у Е т .

тт

Используя выражение ротора от ротора, получим

дгасС сС1у Нт -V2Нт = У го! Ет.

т

т

т

Так как С1уНт = 0 , поэтому и дгасС С1уНт = 0. Учитывая уравнение (8.75), будем иметь:

V2Нт =/С0ЦаУНт .

(8.76)

8.44. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде

Электромагнитная волна будет плоской, если все величины, характеризующие интенсивность электромагнитного процесса за¬ висят только от одной координаты. Приблизительно такой характер имеет электромагнитная волна, излученная антенной, если эту вол¬ ну рассматривать в небольшой области пространства на большом расстоянии от излучающей антенны.

Пусть векторы Ет и Нт зависят только от координаты г, тогда

дх

ду

дх

ду

Повернем координатные оси так, чтобы ось у совпала с векто­

ром напряженности магнитного поля Нт . Тогда Нт = ]Нт , где

/ — единичный орт оси У. Подставим Нт = ]Нт в уравнение (8.76)

Учитывая, что д2 Н Т	0,	д2 Н Т 0 , получим
ДХ2	'	ДУ

а2 Н	(8.77)
- = ./СОц 0 УН„

Переход от частной производной к простой, произведен по той причине, что Нт зависит только от координаты г.

Решение полученного дифференциального уравнения имеет вид:

где — С1 и С2 комплексные коэффициенты, определяемые из

граничных условий, р = ^ / С О Ц а у .

Так как А~/ = ^е1900 = е1450 = —!= + / — ! = , то, вводя обозначе-

л/2 ^

ние / ю Ц а у = ^, получим: 2

р = т / с с ц а г = ( 1 + 1 ) ^ ^ = ( 1 + / ) *.

259

260