29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Загальне рівняння 2-го степеню з двома невідомими має вигляд

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1),

при цьому вважається, що хоча б один із коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю.

Кривими 2-го порядку є криві - еліпс, гіпербола і парабола. Будь-яка лінія 2-го порядку представляє собою або еліпс, або гіперболу, або параболу, або будь-який випадок їх «виродження».

Еліпсом називається множина точок (на площині), сума відстаней від яких до двох даних точок стала.

Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки F1 і F2, а початок координат знаходився на середині відрізка F1F2 (рис.19).

Нехай М(х,у) - одна із точок множини, що розглядається. Позначимо через 2с відстань між заданими точками F1 і F2 та через 2а задану суму відстаней F1М і F2М. Очевидно, що точка F1 має координати (-с;0), а точка F2 координати (с;0).

Згідно визначення, маємо:

(3)

звідси одержимо рівняння

(4)

По суті рівняння (4) уже і є рівнянням множини, що розглядається. Але воно має незручний для дослідження вигляд; перетворимо його до більш простої форми.

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

Оскільки 2а>2с (сума двох сторін трикутника більше 3-ої сторони), то а2-с2>0.

Вважатимемо

a2-c2=b2 (5)

В кінцевому підсумку одержимо (при вибраній системі координат) рівняння

30)Загальне рівняння ліній другого порядку.

Загальне рівняння 2-го степеню з двома невідомими має вигляд

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1),

при цьому вважається, що хоча б один із коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю.

Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Найпростішою такою кривою є коло. Нехай центр кола знаходиться в точці М₀(a,b) і радіус кола дорівнює R. Оскільки коло є множина точок, що знаходяться на заданій відстані від центра М₀, тоді

(x-a)²+(y-b)²=R²

Рівняння еліпса: , деa i b - напівосі еліпса.

Рівняння гіперболи:

Рівняння параболи: y²=2px

31)Системи координат у просторі.

Декартова система координат у просторі визначається трьома осями Оx, Oy та Oz, які перетинаються у одній точці O під прямим кутом. При цьому вісь Оx називається віссю абсцис, Oy – ординат, Oz – аплікат, O – початок координат. Нехай M точка простору. Координатами точки M називають її проекції xM, yM, zM на осі Оx, Oy і Oz відповідно. При цьому запис M=(xM,yM,zM) означає, що точка M має координати xM, yM, zM. Відстань між точками M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) обчислюється за формулою

.

Координати середини відрізказнаходять за формулами

.

32)Площина у просторі.

Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються (Рис. 13).

Теорема. Дві площини паралельні, якщо одна з них паралельна двом прямим, які лежать у другій площині і перетинаються (Рис. 14).

Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (Рис. 15).

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаютьсяперпендикулярними, якщо будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (Рис. 28).

Теорема. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (Рис. 29).

Теорема. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини (Рис. 30).

Означення. Кутом між двома площинами називається кут між прямими, які утворюються при перетині даних площин третьою, яка проведена перпендикулярно до прямої перетину перших двох площин (Рис. 36).