41)Означення знаковизначених квадратичних форм.

Необхідна та достатня умова знаковизначеності квадратичної форми.

Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була знаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб або додатній індекс інерції p, або від’ємниї індекс інерції q дорівнював розмірності n простору V. При цьому, якшо p=n, то форма додатно визначена, якщо q=n, то форма від’ємно визначена.

Критерій Сільвестра знаковизначеності квадратичної форми.

Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності:.

Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, при чому .

44)Закон інерції для квадратичних форм.

Теорема1(закон інерції квадратичної форми): Число доданків з додатними (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду.Доведення: Нехай форма з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду(***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність.Нехай. Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор, що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координатиданого вектора рівні нулю:(****). Так якотримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат, а координатиз допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат, то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координатшуканого векторав базисі.Так як, то число однорідних рівнянь (****) меншеn, тому система (****) має ненульовий розв’язок відносно . Тому, якщо, то існує ненульовий вектор, для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо:.Дана рівність має місце, приі, що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при.Отже,.Теорема доведена.

45)Сигнатура квадратичної форми - числова характеристика квадратичної форми. Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути наведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду

Різниця між числом позитивних і негативних членів в цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Числаp і q сигнатури не залежать від способів приведення форми до канонічного виду (закон інерції Сильвестра).

Сигнатуру квадратичної форми також записують у вигляді пари чисел або у виглядіз відповідним числом плюсів і мінусів.

Приклад. Квадратична форма від двох змінних може бути приведена до канонічного виглядунаприклад, за допомогою лінійної заміни зміннихСигнатура цієї квадратичної форми дорівнює нулю або може бути записана у виглядіабо у вигляді

46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа.

Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі, аледля деяких номеріві, то застосувавши невироджене лінійне перетворення зміннихпри, отримаємо, що членквадратичної форми набуде вигляду, це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по зміннійі. Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься впри. Таким чином, в квадратичній формає члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній форміє член з квадратом змінної, тобто. Згрупуємо ввсі члени, які містять, і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що

де – квадратична форма від змінних.

Введемо нові змінні ,,…,. Для нових змінних квадратична форманабуде вигляд. З квадратичною формоюможна поступити аналогічно. Черезкрок ми прийдемо до канонічної форми. Нехай–матриця послідовно виконаних відображень змінних;–матриця квадратичної форми,–діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формуланабуває вигляд.

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду

Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних . В результаті квадратична форма набуде вигляду. Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.