- •15-------
- •21. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •Необходимое условие локального экстремума:
- •Достаточное условие существования экстремума функции
- •37. Наибольшие и наименьшие значения функций одной переменной.
- •38. Область определения функции нескольких переменных.
- •39. Предел функций нескольких переменных.
- •40. Приращения нескольких функций.
- •41. Локальный экстремум нескольких функций.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Если - модуль комплексного числа , а - его аргумент, то тригонометрической формойкомплексного числа называется выражение
Показательная форма комплексного числа
Показательной формой комплексного числа называется выражение
23
24.При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.
|
(a+ i b)2= |
|
=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))2= |
1. |
= r2(cos(2φ)+ i·sin(2φ)) |
(a+ i b)n= |
|
=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))n= |
3. |
= rn(cos(nφ)+ i·sin(nφ)) |
Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):
Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.
25.Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта
при корней два, и они вычисляются по формуле
(1)
при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
при вещественных (действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
26. Функция одной переменной. Пусть задана функция у = f(x), определенная при значении аргумента, равном х0. Дадим аргументу приращение х, т.е. рассмотрим значение аргумента, равное x0 + х. Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность y = f(x0 + х) – f(x0) называется приращением функции.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку).
Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производнойфункции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т.е.
|
27
28.Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда
1. Константу можно выносить за знак производной.
2. Производная суммы/разности.
Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
3. Производная произведения.
4. Производная частного.
5. Производная сложной функции.
Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .
и имеют производные соответственно в точках и . Тогда
29. Приращение функции представимо в виде:
где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то
В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
30.Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак, f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
31. Теорема Ролля
Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, чтоf(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
32. Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.
Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке имеет вид:
а уравнение нормали:
33. Формулировка правила Лопиталя cледующая:
Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то
В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.
34. Интервал монотонности.
1. Если производная положительна, то функция возрастает
Если производная отрицательна, то функция убывает
Функция |
Производная |
Монотонность |
Линейная |
Если , возрастает | |
Если , убывает | ||
Если , постоянная | ||
Прямая пропорциональность |
Если , возрастает | |
Если ,убывает | ||
Обратная пропорциональность |
Если , убывает наи на | |
Если , возрастает наи на | ||
Квадратичная функция |
Если , убывает на, возрастает на | |
Если , возрастает на, убывает на | ||
Возрастает на |
Экстремум. Точка называется точкой локального максимума (или минимума) функции , сли существует такой окрестность этой точки, принадлежащий области определения функции, и для всех из этого окрестности выполняется неравенство (или ).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках - ее экстремальными значениями.