39. Предел функций нескольких переменных.

Общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция имеет область определения .

        Определение 7.8   Базой называется такой набор множеств , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все не пусты и, во-вторых, если , то найдётся такое окончание , что .     

        Определение 7.9   Пусть функция такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы . Число называется пределом функции по базе , если для любого, сколь угодно малого, числа найдётся такое окончание базы , что при всех выполняется неравенство . Число обозначается тогда

    

Точки разрыва:Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

40. Приращения нескольких функций.

Формула конечных приращений 

Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .

Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

41. Локальный экстремум нескольких функций.

Опр: Пусть дана функция  n-переменных 

Пусть дана точка M₀ с координатами , точкаM₀ называется локальным max(min) если  _окр точки M₀ : x _окр справедливо

( x  _окр ),_окр называется множество (вn мерном пространстве).

 

Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума. 

Опр: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точкеM₀ то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

(, если)

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

Д-во: Зафиксируем все переменные оставив только x₁, 

фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.

 

 

Опр: Необходимое условие экстремума.

В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.

	Опр: дифференциала.

 

 

 

Если локальный экстремум , если- независимы