8.3. Залежні випадкові похибки в геодезії

Залежні випадкові похибки в геодезії зустрічаються рідко, але|та| іноді|інколи| мають місце.

Нехай задано два ряди залежних випадкових похибок Δ₁, Δ₂,…, Δ_n і Δ'₁, Δ'₂,…, Δ'_n, отримані в умовах, що характеризуються стандартами σ і σ'. Тоді на підставі (8.3), (8.4) можемо записати

У разі|в разі| залежних похибок формула основної теореми на відміну від (4.2) набирає вигляду

Простим прикладом залежних випадкових похибок є похибки суміжних кутів при вимірюванні способом кругових прийомів. Насправді, похибка загального напряму 2, якщо зменшує кут β₁, то неминуче збільшує кут β₂ і навпаки. Ця обставина породжує негативну стохастичну залежність з коефіцієнтом кореляції r= -0,5.

Складніші випадки залежних похибок розглядаються|розглядують| в другій частині|частці| цього курсу.

Таким чином, розглянуті|розглядувати| основні відомості випадкових величин і залежних похибок, які зустрічаються в геодезичній практиці. Наведені основні види залежностей випадкових величин і кількісні характеристики лінійних стохастичних|самодифузія| залежностей.

Додаткові джерела інформації

1. Бурмистров, Г.А. Теория математической обработки геодезических измерений [Текст]: пособие / Г.А. Бурмистров, В.Д.Большаков. – М.: Недра, 1969. – 400 с.

2. Войславский, Л.К. Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 1. Теория погрешностей измерений [Текст] учебно-методическое пособие (для студентов 2 курса дневной формы обучения спец. 7.070908 «Геоинформационные системы и технологии») / Л.К. Войславский. – Х.: ХНАГХ, 2006. – 64 с.

3. Зазуляк, П.М. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірів [Текст] навчальний посібник / П.М. Зазуляк, В.І. Гавриш, Е.М. Євсєєва, М.Д.Йосипчук. – Лвів: Видавництво «Растр-7», 2007. – 408 с.

9. Зрівнювання результатів геодезичних вимірів методами математичної статистики

9.1. Сутність задачі зрівнювання результатів вимірів в геодезії

Нагадаємо, що до цих пір, математична обробка геодезичних вимірів використовувалася при розв'язанні, в основному, трьох задач:

• знаходження найймовірнішого значення однієї фізичної величини в результаті багатократних вимірів (рівноточних або нерівноточних) і оцінки його точності.

• оцінка точності функцій однієї або декількох незалежно виміряних величин.

• оцінка точності за результатами подвійних вимірів.

Здобуття точних і достовірних геодезичних даних не обмежується цими трьома задачами. Їх різноманіття обумовлює|зумовлює| застосування|вживання| в обробці вимірів всіляких математичних методів. Прагнення геодезистів-практиків перевіряти і перевіряти ще раз результати вимірів з метою здобуття точних і надійних результатів привели до формування обов'язкової процедури, яка отримала|одержувала| назву «Надлишкові виміри».

Наприклад, виміряні три кути плоского трикутника. Теоретично відомо, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°. Досить зміряти два кути α і β трикутника, а третій кут γ можна знайти з виразу γ = 180° – α – β. Це співвідношення справедливе тільки для дійсних значень кутів α і β. Але, оскільки ці величини вимірів містять похибки, то вони можуть привести або до їх часткової компенсації, або до грубої похибки. Виникає ситуація невизначеності, яку геодезисти вирішують шляхом надлишкових вимірів, тобто виміру кута, результат якого також містить деяку похибку. Виникає завдання знаходження поправок до виміряних величин, які б мінімізували сумарну похибку вимірів. Така процедура в геодезії називається зрівнювання виміряних величин. Геометрична інтерпретація нев’язки при вимірі трьох кутів трикутника ілюструється рис. 9.1.

Рис.9.1 – Ілюстрація нев’язок при вимірюванні трьох кутів трикутника

Визначення. 9.1. Зрівнювання геодезичних вимірів це сукупність математичних операцій, що виконуються для набуття найймовірнішого значення геодезичних координат точок земної поверхні і для оцінки точності результатів вимірів.

Зрівнювання проводиться для усунення нев’язок обумовлених наявністю похибок в надлишкових вимірах, і для визначення найймовірніших значень шуканих невідомих або їх значень, близьких до найймовірніших. В процесі зрівнювання це досягається шляхом визначення поправок до виміряних величин (кутів, напрямків, довжин ліній, перевищень тощо).

Розрізняють строге і спрощене (нестроге) зрівнювання геодезичних вимірів. У разі строгого зрівнювання поправки зазвичай визначають за допомогою методу найменших квадратів так, щоб сума квадратів всіх поправок була найменшою. Поправки такого зрівнювання мають найймовірніші (оптимальні) значення. Застосування методу найменших квадратів до зрівнювання виміряних величин справедливо тільки у тому випадку, коли похибки їх мають випадковий характер.

Строге|суворе| зрівнювання геодезичних мереж, особливо великих за розмірами, пов'язане із|лавою| труднощами технічного і організаційного характеру|вдачі|. Тому на практиці часто застосовують спрощене (нестроге|суворе|) зрівнювання, при якому всі геометричні умови виконуються, а найймовірніше| значення величин і оцінку точності набувають приблизно.

У геодезичній практиці як при строгому, так і при спрощеному зрівнюванні широко використовуються головним чином два способи: спосіб умовних вимірів і спосіб посередніх вимірів. При першому способі поправки відшукують безпосередньо до виміряних величин, при другому – до їх функцій (як правило, координат).

Будь-який спосіб зрівнювання складається з наступних|слідуючих| основних етапів:

• попередні обчислення|підрахунки|;

• складання умовних рівнянь або рівнянь похибок;

• вирішення нормальних рівнянь;

• оцінка точності виміряних|виміряти| і зрівняних|урівнювати| величин.

При великому числі нормальних рівнянь найбільш трудомісткою часткою |часткою| зрівнювальних обчислень|підрахунків| є|з'являється| їх розв'язання, тому воно зазвичай|звично| здійснюється з використанням заздалегідь|наперед| розроблених спеціальних програм. Рівняння можуть розв'язуватися методом послідовного винятку невідомих (схема К.Ф. Гауса) або методом ітерації (наближень). Інколи нормальні рівняння не складають, в цьому випадку невідомі визначають безпосередньо із вирішення або умовних рівнянь, або рівнянь похибок. В деяких випадках при обробці матеріалів геодезичних вимірів невисокої точності зрівнювання результатів виконують графічним способом.

У геодезичній практиці застосовуються різні способи зрівнювання: параметричний, корелатний, комбінований, рекурентний, параметричний спосіб із залежними змінними, корелатний спосіб з додатковими параметрами, спосіб послідовних наближень та інші.

Розглядатимемо|розглядуватимемо| лише два перші способи зрівнювання – параметричний і корелатний|.

Таким чином, викладена суть однієї з основних задач геодезії – зрівнювання геодезичних вимірів. На прикладі|зразку| виміру трьох кутів|рогів| трикутника (надлишкових вимірів) наочно|наглядний| наведено необхідність пошуку таких значень найймовірніших поправок, які б в сукупності дорівнювали теоретичному результату.

Приведені основні етапи зрівнювання результатів вимірів в геодезії, послідовність і логіка яких відповідатиме викладу навчального матеріалу.