-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:
. (6)
Учитывая, что , запишем уравнение в виде или . Интегрируя обе части последнего уравнения, получим: или
. (7)
Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем уравнение в виде или . Проинтегрируем обе части полученного уравнения: , . Окончательно запишем .
Пример 2. Найти решение уравнения при условии .
Решение. Найдём общее решение уравнения: , , , . По условию , . Подставим в общее решение: или . Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения: . Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.
Уравнение
(8)
Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной. Запишем его в виде или . Проинтегрируем обе части последнего уравнения: или - общее решение уравнения (8).
Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Запишем это уравнение в виде: или . Тогда , , , . Таким образом, – общее решение данного уравнения.
Уравнение вида
(9)
интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде , а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция от х и дифференциал dx, а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy. Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на . В результате получим уравнение
, (10)
в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10): . Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).
Пример 3. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Преобразуем уравнение и разделим переменные: , . Проинтегрируем: , или – общий интеграл данного уравнения. .
Пусть уравнение задано в виде
. (11)
Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.
Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на :
. (12)
Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем уравнение (12):
. (13)
Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).
Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде
и разделим обе его части на , . Полученное уравнение: является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:
, ,
, . Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.
Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .
Решение. Учитывая, что , запишем уравнение в виде или . Разделим переменные: . Проинтегрируем это уравнение: , , . Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию . Подставим в общий интеграл и найдём С: , С=1. Тогда выражение является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.