-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
(14)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция и её производная входят в это уравнение линейно, а функции и непрерывны.
Если , то уравнение
(15)
называется линейным однородным. Если , то уравнение (14) называется линейным неоднородным.
Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли), суть которого в следующем.
Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций
, (16)
где и - некоторые непрерывные функции. Подставим и производную в уравнение (14):
или
Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие . Тогда . Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений
Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных: , , , , . В качестве функции можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. при С=1: . Подставим во второе уравнение системы: или .Тогда . Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Решение уравнения будем искать в виде . Тогда . Подставим в уравнение:
или . Функцию v выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство . Тогда . Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных: , , , , . Функцию v подставим во второе уравнение: , , , . Общим решением данного уравнения является .
Вопросы для самоконтроля знаний
-
Что называется дифференциальным уравнением?
-
Что называется порядком дифференциального уравнения?
-
Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
-
Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?
-
Что называется решением дифференциального уравнения?
-
Что называется интегральной кривой?
-
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
-
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
-
Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
-
Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?
-
Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?
-
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
-
Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?
Задания для самостоятельной работы
-
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .