- •5. Статические погрешности измерений
- •5.1. Виды погрешностей
- •5.2. Случайная погрешность отдельного измерения
- •5.3. Случайная погрешность среднего значения
- •5.4. Систематическая погрешность
- •5.5. Распространение погрешностей
- •6. Способы обработки результатов измерений с учетом статистических погрешностей
- •6.1. Проверка гипотезы нормальности распределения
- •Грубые погрешности измерения и их отсеивание
- •Различие средних значений
- •6.4. Линейная регрессия
- •6.5. Линейная корреляция
- •6.6. Автоматическая коррекция погрешности
- •7. Динамические погрешности измерений
- •7.1. Измерение как процесс передачи сигналов
- •7.2. Сигналы и их математическое описание
- •7.3. Временные характеристики детерминированных сигналов
- •7.4. Временные характеристики стохастических сигналов
- •7.5. Частотные характеристики периодического сигнала
- •7.6. Частотные характеристики апериодического сигнала
- •7.7. Частотные характеристики стохастического сигнала
- •7.8. Дискретные сигналы
- •7.9. Динамические погрешности измерения
7.5. Частотные характеристики периодического сигнала
Математическое описание и обработка гармонических сигналов осуществляются просто. В связи с этим периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т. е. разлагают на гармонические составляющие. При этом гармонические составляющие могут быть описаны тремя равноценными способами. Для типовых периодических сигналов, таких как прямоугольные, пилообразные колебания и др., составлены таблицы соответствующих рядов Фурье.
7.5.1. Ряд Фурье как сумма синусоидальных и косинусоидальных колебаний.Ряд Фурье периодического сигнала по определению равен:
,
где - круговая частота основной гармонической составляющей:
;
Смысл уравнения ряда Фурье при описании сигнала состоит в том, что вся информация о сигнале заключена в амплитудахиликак функция дискретных частот. Для периодическихфункций характерна дискретность амплитудных спектров и, т. е. они существуют только при дискретных величинах частоты .Коэффициент ряда Фурье соответствует так называемой постоянной составляющей сигнала. Коэффициентотсутствует в тех случаях, когда сигналы имеют вид последовательности прямоугольных импульсов.
7.5.2. Ряд Фурье как сумма косинусоидальных колебаний с различным сдвигом фаз.На основании тригонометрической теоремы сложения ряд Фурье можно записать в следующей форме:
где
При этом описание сигнала даётся в виде дискретного амплитудного спектраи дискретного фазового спектра.
7.5.3. Ряд Фурье в комплексной форме.Наиболее просто ряд Фурье описывается с помощью комплексного коэффициента:
;
где
Используя уравнение Эйлера, можно показать, что
При этом векторная величина эквивалентна величинамиилии:
7.6. Частотные характеристики апериодического сигнала
Для апериодических сигналов так же, как и для периодических, расчетные методы, связанные с процессом передачи сигналов, значительно упрощаются при использовании их частотного представления. Однако для этих сигналов не могут быть использованы введенные выше коэффициенты Фурье или ,так как «период» Т стремится к бесконечности.
Вместо ряда Фурье используют так называемое преобразование Фурье. Не давая здесь строго математической формулировки этого понятия, рассмотрим кратко его получение путем предельного перехода.
Вначале будем рассматривать апериодический сигнал только на отрезке -T/2<t<T/2. Представим теперь периодический сигнал, который на указанном отрезке совпадает с первоначальным сигналом, а вне его периодически повторяется. Этот периодический сигнал можно представить в виде ряда Фурье. Если теперь указанный интервал (период) Т стремить к бесконечности, то соответствующий ряд Фурье будет описывать апериодический сигнал.
Как показано в предыдущем разделе, амплитудные и фазовые спектры рядов Фурье являются дискретными. Интервал между спектральными линиями равен
Если теперь Т будет стремить к бесконечности, то спектральные линии станут все более и более сближаться, и при предельном переходе возникает непрерывный спектр. Однако одновременно исчезают коэффициенты Фурье, соответствующие отдельным амплитудам. Вместо них вводят так называемую плотность амплитуды, например:
Таким образом, возникает непрерывно распределенная спектральная плотность амплитуды, которая не исчезает и при предельном переходе.
7.6.1. Преобразование Фурье. Коэффициенту Фурье периодического сигнала при апериодическом сигнале соответствует преобразование Фурье:
.
Величина в общем случае является комплексной. Еедействительная часть соответствует коэффициентам , а мнимая —коэффициентам ряда Фурье. Следует, однако, учитывать, что преобразование Фурье отображает уже не амплитуды, а спектральную плотность амплитуд. Изображение двух спектральных плотностей амплитуд иописывает непериодический сигнал в частотном диапазоне. Оно эквивалентно изображению функции времени .
Комплексная величина может быть изображена в видеее модуля и фазы:
; .
Обратное преобразование Фурье:
позволяет по описанию сигнала в частотном диапазоне x определить сигнал как функцию времениx (t).