Краткая характеристика численного метода
Многочленом Чебышева является функция, определённая на интервале [-1;1] вида [3]:
(x)=cos(n*arcos(x));
где n- порядок многочлена Чебышева.
Для многочлена Чебышева справедливо рекуррентное правило
(х)=2х*
-
(х)
При различных значениях степени n имеют место следующие выражения многочленов Чебышева:
= 1;
= х;
;
=
-3х;
=
-8
+1;
=
-20
+5х;
=
-48
+18
-1;
=
-112
+56
-7х.
Многочлены Чебышева
(x)
имеют на отрезке [-1;1] n
действительных корней, называемых
узлами Чебышева, определяемые по формуле
= cos
где i=0, 1, 2, 3…, n-1.
Узлы Чебышева рекомендуется использовать для выбора некоторых отдельных узлов из общей сетки табличной функции для получения упрощённых интерполяционных полиномов порядка меньшего, чем n, при которых ошибка интерполяции будет минимальна.
Для
интерполяции табличной функции с помощью
полиномов Чебышева на отрезке [a,
b]
выполняется преобразование независимой
переменной по формуле:
Согласно данной
формуле узлам
[a,
b]
можно сопоставить точки
[-1, 1].
Интерполяционный полином Чебышева на отрезке [-1, 1] записывается как сумма полиномов
(x);
где коэффициенты полинома определяются по формулам
=
=
(
cos
);
где j = 1, 2, …, n.
Анализ литературы и программ
Интерполяция полиномами подробно описывается в [1], [3], [4],. В данной курсовой работе рассматривается интерполяция полиномом Чебышева. Он может применяется в случае таблиц с неравноотстоящими и равноотстоящими узлами. Согласно [1] данный метод является одним из самых употребительных методов интерполяции табличных функций.
При поиске существующего программного обеспечения для решения поставленной задачи были использованы поисковые службы Интернет:
Яндекс, 94000 ответов;
Google, 1950 ответов.
Преобладающее большинство ссылок относится к электронным библиотекам, выложенным на сайтах курсам лекций и рефератам, содержащим теоретические сведения об интерполяции полиномами.
Прямой запрос по заданной теме содержал несколько ссылок на разработку программного обеспечения интерполяции однопараметрической табличной функции полиномом Чебышева, а именно:
http://aep24.ru/kursovye/si/38-polinom-chebysheva.html
http://referatwork.ru/refs/source/ref-120081.html
Формирование требований к программе
Цель данного курсового проекта – разработка программы интерполяции однопараметрической табличной функции полиномом Чебышева.
В
соответствии с этим определены следующие
требования к разрабатываемой программе:
операционная система – MS Windows 2000/XP/Vista;
система программирования – Sharp Develop или MS visual Studio;
математические системы тестирования – MahtCAD, Matlab.
2 Проектирование схем алгоритма
2.1 Разработка алгоритма головной программы
Схема алгоритма головной программы описывает общий сценарий работы разрабатываемого приложения. В составе проекта приложения предусматривается две формы:
1)главная форма приложения;
2)форма ввода значений;
При запуске приложения отображается главная форма, на которой находятся управляющие элементы: поля для выбора формы ввода исходных данных. В схеме головного алгоритма предусматривается обработка следующих событий (нажатие соответствующей кнопки):
Расчет
Построение графика
Загрузка данных из файла