7 Предоставление логических функций в базисах и-не, или-не

Логические функции образуют базис, если с их использованием можно реализовать любую логическую функцию.

Логическая функция ИЛИ-НЕ (функция Вебба) образует базис, т. е. для любой логической функции можно реализовать схему, используя только функцию ИЛИ-НЕ. Соответственно и логический элемент реализующий эту функцию – элемент ИЛИ-НЕ.

Логические элементы ИЛИ-НЕ могут быть двухвходовые (2ИЛИ-НЕ), трехвходовые (3ИЛИ-НЕ), четырехвходовые (4ИЛИ-НЕ) (рисунок 12, а, б, в)

Рисунок 12 – Элементы ИЛИ-НЕ

В базисе 2ИЛИ-НЕ справедливы следующие основные свойства:

Связь в базисе 2ИЛИ-НЕ с конъюнкцией реализуется как:

(рисунок 13, а) (1)

В общем случае, для n входных переменных:

Связь в базисе 2ИЛИ-НЕ с дизъюнкцией реализуется как:

(рисунок 13, б) (2)

В общем случае для n переменных:

Рисунок 13 – Реализация конъюнкции и дизъюнкции на элементах 2ИЛИ-НЕ

Для представления логической функции в базисе Вебба в общем случае необходимо:

- исходную логическую функцию представить в виде КНФ;

- в элементарных дизъюнкциях знак «+» заменить на и между скобками поставитьвместо «»

Пример:

Логическая функция в базисе Вебба может быть записана с учетом закона двойной инверсии или закона де Моргана (рисунок 14)

Например:

Рисунок 14 – Реализация в базисе Вебба

Если логическая функция должна быть записана только в базисе 2ИЛИ-НЕ, а количество логических переменных у нее больше двух, то необходимо использовать принцип суперпозиции и преобразования 1 и 2.

Например: , здесь

К полученному выражению применяем преобразование 1

Подставляем запись для A в базисе Вебба в выражение и получим:

Рисунок 15 – Реализация в базисе 2ИЛИ-НЕ

Логическая функция И-НЕ (функция Шеффера) образует базис, т. е. для любой логической функции можно реализовать схему, используя только функцию И-НЕ. Соответственно и логический элемент реализующий эту функцию – элемент И-НЕ.

Логические элементы И-НЕ могут быть двухвходовые (2И-НЕ), трехвходовые (3И-НЕ), четырехвходовые (4И-НЕ) (рисунок 16, а, б, в)

Рисунок 16 – Элементы И-НЕ

Основные свойства в базисе 2И-НЕ для логической функции 2И-НЕ следующие

здесь – определяет операцию И-НЕ

Связь в базисе 2И-НЕ с конъюнкцией реализуется как:

(рисунок 17, а) (3)

В общем случае, для n входных переменных:

Связь в базисе 2И-НЕ с дизъюнкцией реализуется как:

(рисунок 17, б) (4)

В общем случае:

Рисунок 17 – Реализация конъюнкции и дизъюнкции на элементах 2И-НЕ

Для представления логической функции в базисе Шеффера в общем случае необходимо:

- исходную логическую функцию представить в виде ДНФ;

- все элементарные конъюнкции заключить в скобки;

- заменить все знаки + и на

Пример:

Логическая функция в базисе Шеффера может быть записана с учетом закона двойной инверсии или закона де Моргана (рисунок 18)

Например:

Рисунок 18 – Реализация в базисе Шеффера

Если логическая функция должна быть записана только в базисе 2И-НЕ, а количество логических переменных у нее больше двух, то необходимо использовать принцип суперпозиции и преобразования 3 и 4.

Например: , здесь

К полученному выражению применяем преобразование 3

Подставляем запись для A в базисе Шеффера в выражение и получим:

Рисунок 19 – Реализация в базисе 2И-НЕ