Основы молекулярной физики и термодинамики

11

ми отталкивания). Когда потенциальная энергия налетающей молекулы становится равной начальной кинетической энергии EK1, молекула останавливается. Расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы. Чем выше температура (больше начальная кинетическая энергия молекулы), тем меньше d.

Значения <λ> и d можно определить по коэффициенту внутреннего трения (вязкости). В потоке газа молекулы участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом (тепловом) со средней скоростью <υ> и упорядоченном со скоростью потока. При наличии двух соприкасающихся слоев газа, движущихся с различными скоростями U1 и U2, молекулы, перелетая из слоя в слой вследствие теплового движения либо отдают избыток своего импульса другим молекулам слоя (если она прилетела из слоя, движущегося быстрее) либо увеличивают свой импульс за счет других молекул (если она прилетела из слоя более медленного). В итоге импульс слоя, движущегося быстрее, убывает, а слоя, движущегося медленнее, возрастает. Таков механизм внутреннего трения.

Согласно молекулярно-кинетической теории, коэффициент динамической вязкости определяется формулой

η =	1	ρ υ λ	,	(4)
	3

где ρ – плотность газа; <υ> – средняя арифметическая скорость молекул.

2 Описание лабораторной установки

Когда из аспиратора 1 выливается вода (рисунок 2), давление в нем понижается и через капилляр 2 засасывается воздух, проходящий через осушительный фильтр 3. Вследствие внутреннего трения давление на концах капилляра неодинаковое. Возникающая разность давлений ∆p измеряется водяным U-образным манометром 4. Длина капилляра и его радиус r измеряются непосредственно. Объем воздуха V, прошедшего за время τ через капилляр, определяется по шкале аспиратора, градуированной в литрах.

В этом случае коэффициент вязкости может быть найден по формуле Пуазейля

	η =	πr4	pτ	.	(5)
		8lV

Средняя арифметическая скорость молекул находится по формуле

	12
υ =		8RT	.	(6)
		πμ

Плотность газа

	ρ =	pμ	,	(7)
		RT

где p – давление газа; μ – молярная масса.

Решая совместно (4)–(7), получим расчётную формулу

	λ = 0,74	P		r4τ		RT .	(8)
		P		l V
						μ

Рисунок 2 – Схема лабораторной установки

3 Программа работы

3.1Перед заполнением аспиратора кран 5 поставить так, чтобы риски на кране находились в положении «закрыто» (┬). Кран 6 открыть до отказа. Аспиратор заполнить водой до красной черты на шкале. Пocлe заполнения аспиратора кран 6 закрыть, кран 5 поставить в положение «открыто» (┴). Это правило надо строго соблюдать.

3.2Открыть кран 6 (предварительно проверив положение риски на кране 5). Подождать несколько секунд, пока установится стационарное течение (разность уровней в манометре будет постоянной). Когда уровень воды в аспираторе подойдет к нулевой отметке, измерить время вытекания последо-

вательно пяти литров воды (по одному литру) – τ1, τ2, τ3, τ4, τ5 и, соответственно, определить разность давлений на концах капилляра с помощью мано-

метра h1, h2, h3, h4, h5 (разность давлений измерять, когда уровень воды находится на половине соответствующего литрового деления).

13

3.3 Рассчитать разность давлений по формуле

p = ρвg h,

где ρв – плотность воды, ρв = 103 кг/м3;

g – ускорение свободного падения, g = 9,8 м/с2; h – высота, м.

Длину l измерить линейкой; Т – температура окружающей среды; p оп-

ределить по барометру и данные перевести в паскали; R = 8,31 Дж/(моль·K);

μ = 0,029 кг/моль, V = 1 л = 1 дм3 = 10-3 м3; r = 5,3·10-4 м.

По формуле (8) определить <λ>i для каждого измерения и среднее арифметическое значение <λ>.

3.4Из формулы (3), зная <λ>, найти эффективный диаметр молекулы.

3.5Используя формулы (6)–(8), оценить коэффициент динамической вязкости воздуха η по формуле (4).

3.6Данные представить в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты измерений и вычислений

Номер	h, м P, Па P, Па τ, с ℓ, м T, К V, м3 <λ>i, м <λ>, м d, м η, кг/(м с)
измерения

1

2

3

4

5

Контрольные вопросы

1Что такое средняя длина свободного пробега молекул? Какова ее зависимость от термодинамических параметров p и Т?

2Что называется эффективным диаметром молекул газа?

3Каков механизм возникновения сил внутреннего трения?

4Какой формулой связаны коэффициент внутреннего трения (вязкость) и средняя длина свободного пробега молекул?

5Как определяется в работе < λ >, d и коэффициент вязкости η?

Лабораторная работа № 15. Определение коэффициента внутреннего трения жидкости по методу Стокса

Цель работы: определить динамический коэффициент вязкости жидкости при комнатной температуре.

14

1 Общие сведения

В жидкостях, как и в газах, осуществляются процессы переноса (диффузия, теплопроводность, внутреннее трение). Так, возникшее под действием внешних сил поступательное движение слоев всегда накладывается на тепловое беспорядочное движение молекул, переносящих импульс из слоя в слой. Частицы медленного слоя проникают в быстрый слой и тормозят его. Между слоями возникает внутреннее трение – это явление возникновения силы трения между смежными слоями жидкости или газа, движущимися друг относительно друга с разными скоростями.

Сила внутреннего трения подчиняется закону Ньютона:

F = −η dUdx S,

где dUdx – градиент скорости, показывающий, как быстро изменяется

скорость течения жидкости на единице длины оси Х; S – площадь соприкасающихся слоев;

η – коэффициент внутреннего трения, называемый также динамической вязкостью.

Знак минус обусловлен тем обстоятельством, что сила трения направлена в сторону убывания скорости.

Динамический коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности взаимодействующих слоев при градиенте скорости, равном единице:

η = − dUF S . dx

Вязкость измеряется в килограммах на метр-секунду, или в паскалях в секунду. Кинематическая вязкость определяется как отношение динамической вязкости и плотности жидкости:

ν = ηρ .

Единица измерения кинематической вязкости – квадратный метр в секунду.

С повышением температуры коэффициент вязкости жидкости обычно уменьшается, а с увеличением давления – возрастает.

15

2 Описание лабораторной установки

Наиболее распространенным методом определения вязкости жидкости является метод Стокса, известный как метод падающего шарика. Стеклянный цилиндр установлен вертикально на специальной подставке. В цилиндр налита исследуемая жидкость. На поверхности цилиндра нанесены метки, расстояние между которыми обозначим ℓ (рисунок 1).

Сверху цилиндр закрыт специальной крышкой с отверстием в центре, в которое бросается шарик как можно ближе к оси. Для того чтобы шарик не оставлял за собой завихрений, цилиндр берется достаточно широким, а диаметры шариков малыми.

Рисунок 1 – Схема лабораторной установки

Шарик, попавший в вязкую жидкость, смачивается ею, и слой жидкости, увлекаясь шариком, движется со скоростью шарика. Все последующие слои постоянно приходят в движение с меньшей скоростью. Между слоями возникает внутреннее трение.

На движущийся шарик действуют следующие силы (см. рисунок 1):

– сила тяжести

P =mg =ρVg = 43 π r3 ρg,

где ρ – плотность шарика; r – радиус шарика;

– выталкивающая сила Архимеда

FA = ρ0Vg = 43 πr3 ρ0 g ,

где ρ0 – плотность жидкости;

– сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса:

16

F =6πηrυ ,

где η – коэффициент вязкости; υ – скорость движения шарика.

Сначала, как только шарик начинает свое движение в жидкости, его скорость мала, мала и сила Стокса. Шарик движется равноускоренно. С возрастанием скорости растет сила сопротивления и наступает момент, когда сила тяжести уравновешивается суммой сил Архимеда и Стокса. С этого момента шарик начинает двигаться равномерно:

43 πr3ρg = 43 πr3ρ0 g +6πrηυ .

Отсюда для коэффициента вязкости η получим

η = 4r 2 g (ρ − ρ0 ) . 18υ

Учитывая, что υ = lt , а r = d2 , получим расчётную формулу

η = (ρ − ρ0 )d 2 gt .

18l

(1)

(2)

Формула Стокса справедлива для круглого шарика, падающего в безграничной среде.

3 Программа работы

3.1Измерить диаметр шарика микрометром не менее трех раз в различных направлениях. Найти средний диаметр.

3.2Опустить шарик в цилиндр с жидкостью как можно ближе к оси.

Вмомент прохождения шариком верхней отметки включить секундомер. Измерить время движения шарика между верхней и нижней метками. Измерить путь ℓ, пройденный за это время шариком.

3.3По формуле (2) вычислить коэффициент внутреннего трения учитывая, что

ρ0 = 1,25·103 кг/м3; ρ = 7,85·103 кг/м3.

3.4 Измерения провести для пяти шариков. Данные занести в таблицу 1.

17

Значение коэффициента внутреннего трения рассчитывается для каждого из шариков (таблица 1). Затем определяется его среднее значение <η>.

Таблица 1 – Результаты измерений динамического коэффициента вязкости

	Номер	d1, м	d2, м	d3, м	<d>, м	t, с	ℓ, м	η,	<η>,
	измерения							кг/(м·с)	кг/(м·с)
	1
	2
	3
	4
	5

Контрольные вопросы

1Какие явления переноса Вы знаете?

2Поясните механизм внутреннего трения.

3Что такое коэффициент динамической вязкости?

4Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости?

5Выведите расчетную формулу (2).

Лабораторная работа № 16. Тепловое расширение твердого тела

Цель работы: определить коэффициент термического расширения твердого тела и коэффициенты, характеризующие межатомные взаимодействия.

1 Общие сведения

Тепловое движение в твёрдом теле при температурах много ниже температуры плавления представляет собой малые колебания атомов (ионов, молекул) около положений равновесия – узлов кристаллической решётки.

На рисунке 1 представлена зависимость потенциальной энергии взаимодействия частиц твёрдого тела от расстояния между ними (кривая abc).

При абсолютном нуле температуры частицы твёрдого тела (атомы, ионы, молекулы) располагаются на расстояниях a0 друг от друга, соответствующих минимуму потенциальной энергии взаимодействия U0.

С повышением температуры частицы начинают колебаться около положения равновесия – 0. (Для простоты допустим, что частица 1 закреплена и колеблется лишь частица 2). Колеблющаяся частица обладает кинетической энергией Eк, которая возрастает с повышением температуры.

Если бы частица 2 совершала чисто гармонические колебания, то возвращающая сила, действующая на нее при отклонении из положения равновесия на расстояние x, была бы строго пропорциональна этому отклоне-

18

нию и направлена к положению равновесия

F = −βx,

(1)

где β – коэффициент упругости.

Рисунок 1 – Зависимость энергии взаимодействия частиц твёрдого тела от расстояния между ними

Так как

F = −dU	,	(2)
dx

то изменение потенциальной энергии в этом гармоническом приближении описывалось бы уравнением

	U =	βx2	.	(3)
		2

Это соответствует симметричной параболе a′bc′ на рисунке 1 с одинаковыми X′1 = X′2 отклонениями частицы 2 влево и вправо. Центр колебаний при любой температуре соответствовал бы положению равновесия – 0.

Таким образом, в гармоническом приближении тепловое расширение тел должно отсутствовать, так как с увеличением температуры происходило бы лишь увеличение амплитуды колебаний частиц, а средние расстояния между ними оставались бы неизменными.

При несимметричном потенциале (кривая abc) отклонения частицы вправо и влево оказываются неодинаковыми. Вследствие этого положение равновесия частицы 2 из точки 0 смещается в 01, что соответствует увеличению среднего расстояния между частицами на <x>. Так как <x> опреде-

19

ляется температурой, то для среднего расстояния между частицами можно записать

x = a0 + < x(T ) >,

где T – абсолютная температура тела.

Таким образом, с нагреванием тела средние расстояния между частицами должны увеличиваться, что приводит к тепловому расширению. Причиной этого является ангармонический характер колебаний частиц твердого тела, обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними.

Для учета асимметрии потенциальной кривой в уравнение (1) вводится дополнительный член, характеризующий эту асимметрию.

F(x) = −βx + gx2 ,

(4)

где g – коэффициент квадратичной нелинейности. Тогда уравнение (3) примет вид:

	U =	βx2	−	gx3	.	(5)
		2		3

В точке равновесия среднее значение силы F(<x>) = 0 . Тогда из уравнения (4) следует

x =	g	x2
		β .	(6)

Полная энергия (кинетическая Ek плюс потенциальная U = Ep) одномерных колебаний частицы

E = Ek + Ep = 2Ek = 2Ep , т. к. Ek = Ep .

При температурах, превышающих температуру Дебая, средняя кинетическая энергия приходящегося на одну степень свободы атома:

Ek = 12 kT ,

где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура.

20

Тогда

E = kT.

(7)

С точностью до величины второго порядка малости формула (5) принимает вид:

U = β < x2 >, 2

следовательно,

E = β < x2 >.

(8)

Приравнивая (7) и (8), получим

x2 = kT .	(9)
β

Подставим (9) в (6), получим

x = kgT .	(10)
β2

Коэффициент линейного расширения α служит количественной характеристикой теплового расширения и определяет относительное увеличение постоянной кристаллической решетки при нагревании на один градус кельвина, т. е.

α =	d		x
				.	(11)
			α0
	dT

С учетом выражения (10), получим

	α =	kg		.	(12)
		α	β2
		0

Если не конкретизировать зависимость E(T), то выражение (10) можно записать в виде