Основы молекулярной физики и термодинамики

21

x

= gE .

(13)

β2

Тогда, подставив (13) в (11), получим

=

g

dE

α

,

(14)

β

2

a0 dT

где dE – теплоемкость, приходящаяся на одну степень свободы одно-

dT

го атома в твердом теле, dE =C .

dT

V

С учетом теплоемкости формула (14) принимает вид:

α =

g

C .

(15)

β

2a

V

0

При T >> TД ( TД – температура Дебая)

C

=

3R

=

kNA

= k,

V

3NA

NA

где NA – число Авогадро.

СV при T < TД, зависит от температуры, следовательно, и коэффициент термического расширения зависит от температуры.

Если в законе Гука для упругой деформации стержня

FS = E′ ll

заменить все величины на микромасштабные (удлинение ∆l = <x>, длина стержня l = a0, площадь поперечного сечения S = a02, сила упругости F =−β < x >), то получим связь между коэффициентом упругости β и мо-

дулем Юнга E′ в виде

′	(16)
β = E a0.

2 Описание лабораторной установки

Для определения коэффициента термического расширения собрать прибор, изображённый на рисунке 2.

22

Рисунок 2 – Прибор для определения коэффициента термического расширения

Один конец трубки закреплён с помощью винта, а второй свободен. Трубка вставляется в кронштейн с внешней стороны, при этом пластинка располагается так, чтобы она не доходила до стойки на 13–15 мм. Индикатор вставляют в отверстие патрубка в стойке до упора о пластинку и закрепляют винтом. При упоре стрелка индикатора должна повернуться на один-два оборота. После закрепления индикатора установить конец стрелки против деления «нуль» на шкале.

3 Программа работы

3.1 Подготовить таблицу 1 для занесения результатов измерения.

Таблица 1 – Результаты измерений и вычислений

t1,

p,

t2,

l1,

∆l,

l2,

α ,

a0 ,10

-10

м

β,

E′,

g,

СV,

°C

мм рт. ст.

°C

мм

мм

мм

град-1

Н/м

1011 H/м2

Дж/м3

Дж/К

3.2Измерить температуру окружающего воздуха, а значит, и начальную температуру трубки t1 .

3.3Измерить исходную длину l1 трубки с помощью линейки. Для этого измеряется расстояние между центром винта, которым закреплена трубка, и внутренней стороной пластинки.

3.4Включить электроплитку и следить за показанием индикатора при прохождении пара через трубку.

3.5После того как стрелка индикатора остановится на определённом делении, снять показания шкалы. Определить удлинение ∆l трубки, умножив число снятых делений на цену деления шкалы, равную 0,01 мм.

3.6Определить температуру кипения t2 при данном атмосферном давлении по таблице 2. Эту температуру принимает трубка при прохождении через неё пара.

23

Таблица 2 – Зависимость температуры кипения воды от давления

	р,	680	690	700	710	720	730	740	750	760
	мм рт. ст.
	0	96,92	97,32	97,71	98,11	98,49	98,88	99,26	99,63	100,00
	1	96,96	97,36	97,75	98,14	98,53	98,91	99,29	99,67	100,04
	2	97,00	97,40	97,79	98,18	98,57	98,95	99,33	99,70	100,07
	3	97,04	97,44	97,83	98,22	98,61	98,99	99,37	99,74	100,11
	4	97,08	97,48	97,87	98,26	98,65	99,03	99,41	99,78	100,15
	5	97,12	97,52	97,91	98,30	98,69	99,07	99,44	99,82	100,18
	6	97,16	97,55	97,95	98,34	98,72	99,10	99,48	99,85	100,22
	7	97,20	97,60	97,99	98,38	98,76	99,14	99,52	99,89	100,26
	8	97,24	97,63	98,03	98,42	98,80	99,18	99,56	99,93	100,29
	9	97,28	97,67	98,07	98,45	98,84	99,22	99,59	99,96	100,33

Пример – Допустим давление по барометру 751 мм рт. ст. Смотрим колонку 750 и берем из первой колонки сноску на 1 и запишем, что температура кипения воды при данном атмосферном давлении будет 99,67 °С.

3.7

Определить

длину

трубки

l2

при температуре кипения

воды

l2 =l1 +

l .

коэффициент

термического расширения α из

сле-

3.8

Определить

дующих выражений:

l1 =lo (1+α t1); l2 =lo (1+α t2 );

l1

=

1+α t1

,

l

1+α t

2

2

отсюда

α =

l2 −l1

=

l

.

l t

−l t

l t

−l t

1 2

2 1

1 2

2 1

Таким образом, расчетная формула имеет вид:

		l
α =			.	(17)
	l t	−l t
1 2		2 1

Используя расчетную формулу (17), определить α.

3.9 Используя таблицы 3 и 4, найти расстояние a0 между ближайшими соседями в решетке и модуль Юнга E′ для данного материала, из которого сделана трубка. По формуле (16) рассчитать коэффициент упругости β.

24

Таблица 3 – Постоянные решетки и расстояние между ближайшими соседями

Вещество	Постоянная решетки при	Расстояние между ближайшими
	комнатной температуре a, 10-10 м	соседями a0, 10-10 м
Алюминий	4,04	2,86
Железо	2,86	2,48
Медь	3,61	2,95
Никель	3,52	2,41

Таблица 4 – Упругие свойства твердых тел

	Вещество				Модуль Юнга E', 1011 Н/м2
	Алюминий				0,7
	Железо				1,96
	Медь				1,18
	Сталь				2,16
	Бронза				1,0
	3.10 Из формулы (12) выразить коэффициент квадратичной нели-
	нейности и рассчитать его значение:
	g =	a αβ2		,	(18)
		0
		k

где k – постоянная Больцмана.

При использовании таблицы 3 учесть, что расстояние между ближайшими соседями в объемно-центрированной решетке a0 выражается через параметр решетки a по формуле

a0 = 23 a,

а для гранецентрированной решетки

a0 = a 22 .

3.11Используя программу Excel, с помощью компьютера построить график U = f(x) по формуле (5) при рассчитанных коэффициентах β и g с

шагом 0,1a0. Убедиться в ангармоничности потенциала атомных взаимодействий.

3.12Из формулы (15) выразить теплоемкость СV, отнесенную к одному атому твердого тела:

C =	αβ2a	(19)
	0 .
V	g

25

Подсчитать CV и сравнить его значение с постоянной Больцмана. 3.13 Используя таблицу 5 пояснить расхождение либо согласие ре-

зультатов пункта 3.12.

Таблица 5 – Температура Дебая

Вещество	Температура Дебая TД, K
Железо	467
Медь	445
Алюминий	418
Никель	456

Контрольные вопросы

1В чем состоит суть гармонического и ангармонического приближения при рассмотрении потенциальной энергии взаимодействия атомов в твердом теле?

2Пояснить причину теплового расширения твердых тел.

3Что характеризует коэффициент термического расширения?

4Какова связь между коэффициентом α и коэффициентами β и g, характеризующими межатомное взаимодействие в твердых телах?

5Какова связь между коэффициентом упругости β и модулем Юнга

втвердых телах?

6Какова связь между потенциальной энергией и силой взаимодействия частиц?

7Как в данной работе определяется коэффициент термического расширения?

Лабораторная работа № 17. Изучение сил межмолекулярного взаимодействия

Цель работы: изучить силы межмолекулярного взаимодействия, возникающие при малых отклонениях атомов от положения равновесия, и определить модуль упругости Е.

1 Общие сведения

Силы, действующие между частицами твёрдого тела, и потенциальная энергия взаимодействия частиц. Как при сжатии, так и при рас-

тяжении твёрдых тел возникают силы, препятствующие деформации. Следовательно, между частицами твёрдого тела действуют как силы притяжения, так и силы отталкивания. При каком-то определённом расстоянии между частицами эти силы уравновешивают друг друга, что соответствует равновесному положению атомов в кристалле и минимуму потенциальной энергии. Силы отталкивания связаны с перекрытием электронных оболо-

26

чек твёрдого тела и быстро спадают с увеличением межатомного расстояния. Силы притяжения более дальнодействующие и в зависимости от типа кристалла имеют различный характер. Силы притяжения обладают тем свойством, что с уменьшением расстояния они возрастают значительно медленнее, чем силы отталкивания. Силы притяжения могут быть описаны соотношением

	Fпр. = −	b	,	(1)
		rm+1

где r – расстояние между взаимодействующими частицами; b, m – константы, зависящие от строения кристалла.

Силы отталкивания можно приближённо представить в виде

F =

a

,

(2)

отт.	r n+1

где r – расстояние между атомами;

a, n – константы, характерные для данного кристалла. Суммарная сила – равнодействующая сил отталкивания и притяже-

ния – определяется выражением

F = F	+ F	=	a	−	b	,	(3)
отт.	пр.		r n+1		r m+1

причём m < n, поскольку силы отталкивания на близких расстояниях больше сил притяжения.

На рисунке 1 представлен график зависимости F от r. Кривая I соответствует силе притяжения, кривая II – силе отталкивания, а кривая III – результирующей силе. Расстояние ro соответствует положению, в котором равнодействующая сила равна нулю.

Так как в простейшем случае силу F можно считать центральной, то между потенциальной энергией взаимодействия и силой существует связь:

F = − dU .	(4)
dr

Если считать, что потенциальная энергия взаимодействия атомов, находящихся на бесконечности, равна нулю, то интегрирование уравнения

(4) с учётом (3) даёт для потенциальной энергии

U =	a	−	b	.	(5)
	rn
			rm

27

На рисунке 2 приведена зависимость потенциальной энергии взаимодействия атомов от расстояния между ними. На этом же рисунке пунктиром дана сила взаимодействия между атомами. Из рисунка 2 видно, что кривая энергии взаимодействия между атомами имеет минимум при r = ro, когда F = 0.

Рисунок 1 – Зависимость сил взаимо-	Рисунок 2	– Зависимость потенци-
действия от расстояния между атомами	альной энергии	взаимодействия от рас-
	стояния между атомами

Известно, что смещение атомов от точки равновесия (r = ro) при различных воздействиях на твёрдое тело (деформация, нагрев) весьма невелико. Поэтому при выявлении связи между характером потенциальной энергии взаимодействия и физическими свойствами кристаллов, зависящими от этого взаимодействия, наибольшее значение представляет та часть кривой потенциальной энергии взаимодействия, которая находится вблизи точки равновесного положения атомов (ro). Поскольку кривая потенциальной энергии взаимодействия имеет достаточно сложный вид и с трудом поддаётся теоретическому анализу, то, как правило, наибольший интерес представляет её поведение вблизи положения равновесия. Воспользуемся разложением энергии в ряд в окрестности точки ro:

U (r) =U (ro +

+1 d 3U

6 dr3 r=r0

x) =U (r ) +

dU

x + 1

d 2U

x2 +

o

2

dr

r=r

2

dr

r=r

0

o

1

4

x3 +

d U4

x4 +....

(6)

24

dr

r=r

0

Здесь через x обозначено отклонение атома от положения равнове-

28

сия ro, т. е. x = r – ro.

dU

= 0

(см. рисунок 2), и введя обозначения:

Учитывая, что

dr

r=r

0

2

;

−g =

1

3

;

ρ = 1

4

,

γ = d U2

d U3

d U4

dr

r=r

2

dr

r=r

6

dr

r=r

o

0

0

получим

U (r) =U (r ) + 1

γ x2 − 1 g x3 + 1 ρ x4.

(7)

o

2

3

4

При рассмотрении конкретных физических свойств можно ограничиваться тем или иным количеством членов в разложении (7). Обычно ограничиваются либо двумя первыми членами (гармоническое приближение):

U (r) =u(r ) + 1 γ x2 ,

(8)

o	2

либо тремя первыми членами (ангармоническое приближение):

U (r) =U (r ) + 1		γ x2	− 1 g x3.	(9)
o	2		3

Естественно, что ангармоническое приближение согласуется с действительной зависимостью на большем интервале расстояний. Следовательно, при малых отклонениях атомов от положения равновесия (низкие температуры, малые деформации) достаточно хорошим оказывается гармоническое приближение (8), а когда отклонения приобретают большие значения, становится существенным ангармонизм, и поэтому необходимо учитывать последующие члены в разложении (7).

Связь между потенциальной энергией взаимодействия атомов и модулем упругости. Рассмотрим силу, действие которой испытывает атом, находящийся в точке ro, со стороны атома, находящегося в начале координат (рисунок 1). При этом мы ограничимся тремя членами в разложении (7):

U (r) =U (ro ) + U (x) ,

(10)

где

29

U (x) = 1		γ x2 −	1 g x3.	(11)
	2		3
Согласно (4), указанная сила
F	= −dU	= −γ x + g x2.		(12)
внтр.	dr

Если приложена внешняя сила, то по третьему закону Ньютона

F	= −F	=γ x − g x2.	(13)
внешн.	внтр.

Напряжение, приложенное к кристаллу, можно найти, разделив правую и левую части уравнения (13) на площадь, к которой приложена сила.

Очевидно, что эта площадь в приближении, не учитывающем смещение атомов из положения равновесия, будет пропорциональна ro2.

В результате получим

σ = Eε − gε2 ,

(14)

где σ – механическое напряжение, σ = Fr02 ;

E– модуль нормальной упругости, E =γr0 ;

ε– относительная деформация, ε = xr0 .

Полученное соотношение (14) показывает, что при малых смещениях, когда можно пренебречь асимметрией сил взаимодействия между атомами (g = 0), напряжение, приложенное к кристаллу, пропорционально относительной деформации:

σ = Eε.

(15)

Формула (15) выражает закон Гука.

Таким образом, если определим модуль упругости Е при малых смещениях x, то можем вычислить константу γ из соотношения

γ =Е r0.

(16)

2 Описание лабораторной установки

Определение модуля упругости Юнга. При действии внешних сил изменяются форма и размеры тела. Это явление называется деформацией. Деформация тел происходит за счёт изменений в расположении частиц те-

30

ла (атомов, молекул).

Деформация растяжения возникает в стержне, закреплённом в верхнем конце, если к нижнему концу его приложена сила (например, подвешен груз весом P). Под действием груза P первоначальная длина стержня l возрастает на величину l (рисунок 3), которую называют абсолютным удлинением или абсолютной деформацией. Относительное удлинение стержня l l называют относительной деформацией растяжения. Закон

Гука для деформации растяжения записывается так:

ll = E1 PS ,

где S – площадь поперечного сечения стержня.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства материала и измеряется в ньютонах на квадратный метр.

Определение модуля упругости (модуля Юнга) производится методом растяжения стальной проволоки при помощи прибора Лермонтова, представленного на рисунке 4.

Рисунок 3 – Абсолютная и	Рисунок 4 – Схема прибора
относительная деформация

Исследуемая проволока диаметром d = 0,51 мм и длиной λ = 1410 мм верхним концом крепится в зажиме кронштейна 1 (рисунок 4). На нижнем конце проволоки укреплён цилиндр 2. Набор грузов 3 помещается на держателе 4, который при помощи двух проволок подвешен на кронштейне 1