Основы молекулярной физики и термодинамики

31

так, что перекладывая грузы с держателя 4 на подвес, мы увеличиваем нагрузку только на испытываемую проволоку, а общая нагрузка кронштейна остаётся постоянной. Это устраняет возможность ошибок от прогибов кронштейна. Масса груза m = 0,425 кг.

Удлинение проволоки при растяжении фиксируется индикатором 5, закреплённым в цилиндре на свободно вращающемся рычаге 6. Так как индикатор не связан непосредственно с испытываемой проволокой, то его показания следует умножить на 1,952.

Определение модуля Юнга сводится к измерению удлинения проволоки при перекладывании грузов с держателя на подвес. Отклонение стрелки, соответствующее удлинению проволоки, последовательно фиксируют после перекладывания каждого груза. Затем опыт производят в обратном порядке, т. е. фиксируют отклонения стрелки индикатора при последовательном уменьшении нагрузки проволоки (грузы по одному возвращают на держатель). Перекладывать грузы на подвес и снимать с подвеса следует осторожно, без толчков. Таким образом, для каждой нагрузки (1, 2, … груза) получается два отсчета по шкале индикатора, по которым может быть найдено среднее значение, соответствующее данной нагрузке:

– первый груз

n1 = n1′ +2 n1″;

– второй груз

n	=	n ′ + n		″
		2	2	и т. д.
2			2

В конце измерений следует проверить нулевой отсчёт. Если он не совпадает с установленным ранее, то за нулевой отсчёт берут среднее из этих двух значений и вносят соответствующую поправку в показания индикатора. Скорректированные таким образом показания умножают на цену де-

ления индикатора, что даёт величину перемещения рычага	l ′ в месте ус-
тановки индикатора. Величину удлинения проволоки l	находят путём

умножения l ′ на поправочный множитель 1,952. Данные измерения заносят в таблицу 1.

Затем по рабочей формуле E = ll PS определяют модуль Юнга и на-

ходят его среднее значение E , которое используется для вычисления константы γ.

32

Таблица 1 – Результаты измерений и вычислений

Номер	На-	Отсчёт при	Отсчёт при	Среднее	Скорректи-		l ′ ,		Удлинение	Модуль
	грузка	увеличении	уменьше-	значение	рованные				проволоки	Юнга Е,
пункта		нагрузки	нии нагруз-			10	-4	м
	P, H			n, дел.	значения n				l , 10-4 м	1011 Н/м2
		n', дел.	ки n'', дел.
1
…
6

Контрольные вопросы

1Чем отличаются силы притяжения, действующие между частицами твёрдого тела, от сил отталкивания?

2Какая связь существует между силой и энергией взаимодействия частиц в твёрдом теле?

3В чём состоит суть гармонического и ангармонического приближения при рассмотрении потенциальной энергии взаимодействия атомов в твёрдом теле?

4Какая существует связь между потенциальной энергией взаимодействия атомов и модулем упругости?

5Какая деформация называется упругой? Виды упругой деформации.

6Что называют механическим напряжением?

7Закон Гука и физический смысл модуля Юнга.

Лабораторная работа № 19. Определение коэффициента теплопроводности твердых тел

Цельработы: определитькоэффициенттеплопроводностиплексигласа.

1 Общие сведения

Если в некоторой среде создать вдоль оси Х градиент температуры, то возникает тепловой поток, удовлетворяющий уравнению Фурье

Q = −χ dT	s t ,	(1)
dx

где Q – количество теплоты, которое переносится за время t через площадку S при градиенте температуры dTdx ;

χ – коэффициент теплопроводности (теплопроводность среды). Знак «минус» отражает тот факт, что тепло течет в направлении убы-

вания температуры.

Коэффициент χ численно равен количеству теплоты, прошедшему че-

33

рез единицу площади в единицу времени при градиенте температуры, равном единице:

χ = Q dTdx st .

Единицей измерения теплопроводности является ватт на метркельвин.

Теплопроводность твердых тел во много раз превосходит теплопроводность газов. Теплопроводность газов при нормальных условиях имеет порядок 1 мВт/(м·К), значение теплопроводности твердых тел приблизительно 106 мВт/(м·К). Теплопроводность осуществляется за счёт взаимодействия молекул, а не их переноса. Энергия тепловых колебаний атомов нагретой части тела передаётся атомам ненагретой части.

По способности проводить теплоту твердые тела можно разделить на плохие проводники – диэлектрики – и хорошие проводники – металлы. В диэлектриках концентрация свободных электронов мала и энергия тепловых колебаний передается от одного узла решетки к другому посредством волнового процесса (решеточная теплопроводность). В металлах, помимо решеточной теплопроводности, необходимо также учитывать теплопроводность за счет переноса тепла свободными электронами. При высокой температуре электронная теплопроводность очень существенна. Поэтому теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков.

2 Описание лабораторной установки

Прибор для измерения коэффициента теплопроводности (рисунок 1) представляет собой систему из нагревателя 1, имеющего температуру T1, и холодильника 2, имеющего температуру T2. Эти температуры поддерживаются постоянными.

Тепловой поток от нагревателя к холодильнику протекает через зажатые между ними пластинки из исследуемого и эталонного материалов, переложенные тонкими резиновыми прокладками. Извне система сжимается винтовым прессом. Для стабилизации температур T1 и T2 через нагреватель постоянно пропускается пар из парообразователя, через холодильник пропускается проточная вода из водопровода.

При помощи двух термопар производится измерение разности температур T1 между стенками эталонной пластинки и T2 – исследуемой пластинки. Переключатель позволяет поочередно подключать термопары к зеркальному гальванометру. Показания гальванометра пропорциональны разности температур спаев термопар:

U1		=	T1	.	(2)
U	2		T
			2

34

1	Пар
	Термопары
2	Вода
Рисунок 1 – Прибор для измерения коэффициента теплопроводности

Количество теплоты, прошедшее за время t через пластины 1 и 2 одинаково, следовательно,

χ1 dT1 st = χ2 dT2 st. dx1 dx2

Полагая dx1 = d1 , a dx2 = d2 (d1 – толщина эталонной пластинки, d2 – толщина исследуемой пластинки), получим

χ	T1	= χ	T2 .		(3)
1	d		2 d	2
	1

В нашем приборе эталонным материалом является эбонит, коэффициент теплопроводности которого равен χ1 = 0,04 Вт/(м·К).

Из формулы (3) следует вывод, что теплопроводность исследуемой пластинки можно рассчитать по формуле

χ2 =	χ1 T1 d2	.	(4)
	T2 d1

Учитывая соотношение (2), получим расчетную формулу

χ2 =	χ1 d2 U1	.	(5)
	d1 U2

35

3 Программа работы

3.1После закипания воды в колбе открыть кран с холодной водой. Спустя 10 мин начать измерение разности потенциалов между спаями, на-

ходящимися по обе стороны эталонной U1 и исследуемой U2 пластины. Для этого переключатель поставить в положение 1, а затем – в положение 2 и снять показания на зеркальном гальванометре. Предел измерения на вольтметре поставить на 0,1 мкА или 0,5 мB.

3.2Коэффициент теплопроводности плексигласа определить по фор-

муле (5), где d1 = 1 мм, d2 = 4,5 мм.

3.3Измерения произвести 5 раз с интервалом времени 2–3 мин. Данные представить в таблице 1.

Таблица 1 – Определение теплопроводности плексигласа

Номер измерения d1, м d2, м χ1, Вт/(м·К) U1, мВ

U2, мВ χ2, Вт/(м·К) ‹χ2›, Вт/(м·К)

1

…

5

Контрольные вопросы

1В чём заключается явление теплопроводности?

2Объясните механизм теплопроводности твердых тел.

3Принцип действия установки.

4Выведите расчетную формулу.

5Какова размерность коэффициента теплопроводности?

Лабораторная работа № 26. Движение тел в диссипативной среде

Цель работы: определить диссипативные силы, действующие на тело в вязкой среде (жидкости); описать движения тела в однородном силовом поле в среде на примере падения шарика в жидкости; измерить вязкость жидкости.

1 Общие сведения

В вязкой среде на тело действуют сила сопротивления, зависящая от скорости движения тела. При малых скоростях доминирует сила Стокса, обусловленная вязким трением между слоями среды:

Fc (υ) = −rυ,

(1)

где r – коэффициент сопротивления, зависящий от формы и размеров

36

тела и от вязкости среды η;

υ– скорость движения тела.

Вчастности, Дж. Стокс (1819–1903) теоретически показал, что коэффициент сопротивления медленно движущегося в вязкой среде шарика радиусом R

r =6πR η,

(2)

где η – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость) среды.

Коэффициент динамической вязкости η численно равен силе трения Fтр между слоями среды, если площадь их соприкосновения S равна единице и градиент скорости dυdy в направлении, перпендикулярном к

скорости, также равен единице:

Fтр = −η ddyυ S.

Единица измерения коэффициента вязкости – паскаль-секунда. Значения вязкости для некоторых жидкостей и воздуха при темпера-

туре 20 °С приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Коэффициенты вязкости

Вещество	Вязкость η, Па·с
Воздух	2·10-5
Вода	1·10-3
Силикон	0,1
Глицерин	1,4

При вязком трении происходит необратимая передача энергии от тела слоям среды и от одних слоев к другим в направлении, перпендикулярном движению тела.

При больших скоростях тела, как установил Ньютон, передача импульса происходит непосредственно среде, оказывающейся на пути тела. Тогда сила лобового сопротивления (сила Ньютона)

F = − fυ2	,	(3)
H

где f – коэффициент пропорциональности; υ – скорость движения тела.

f = cρC S,

37

где с – числовой коэффициент, зависящий в основном от формы тела и очень слабо от скорости тела;

ρС – плотность среды;

S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную скорости (для шара S = π·r2 ).

Движение тела, движущегося под действием постоянной силы в среде, оказывающей сопротивление, может быть описано решением уравнения динамики:

m	dυ	= F − F(υ) .	(4)
	dt	0

В нашем случае F0 равна разности силы тяжести и архимедовой силы:

F

= ρ

Vg − ρ Vg = ρ

Vg

1

−

ρC

= mg

1

−

ρC

,

(5)

0

T

C

T

ρT

ρT

где m – масса тела;

ρC – плотность среды; ρТ – плотность тела.

В начальный момент времени F(υ) = 0,

ddυt = Fm0 =a0 .

Следовательно, υ0 = a0t (см. рисунок 1, начало графика υ =υ(t) ).

Рисунок 1 – Решения уравнения (4) для ньютоновского и стоксова трения

38

Сувеличением скорости сила сопротивления возрастает (формулы (1)

и(3)) и при F(υ) = F0, dυ =0, т. е. тело начинает двигаться с постоянной

dt

(установившейся скоростью) υ∞.

Если F(υ) = FС (сила сопротивления Стокса), то

υC∞		=	F0		.				(6)
			r
Если F(υ) = FН (сила сопротивления ньютоновская), то
υ	Н∞	=		F0		.			(7)
				f
Если в уравнение (4) подставить стоксову силу FС(υ) и решить урав-
нение, то получим при начальном условии υ0 = 0
							−t		(8)
υC (t) =υC∞[1−exp								],
								τC

где τC – время релаксации (время, за которое тело достигло бы стационарной скорости, продолжая двигаться с начальным ускорением а0),

τC = mr .

При ньютоновской силе FH(υ) решением уравнения (4) будет

υ		(t) =υ			t		,
				tg
	H		H∞			τH

где τH – время релаксации,
τH =	m	.
	F0 f

Графики υC = f (t) и υH = f (t) изображены на рисунке 1.

(9)

(10)

Величины υС∞ и υH∞ можно выразить через параметры тела и среды, используя формулы (1)–(3) и (5), (6):

2		A =	g(ρ	T	− ρ	C	)
υC∞ = Am3	;							(11)
							2
			η(9 2πρ )3
					T

39

1	; B
υH∞ = Bm6

				1				1
		g(ρT −	ρC )	2		16		6
	=							.	(12)
		cρC
						9πρT

Из (11) и (12) находим время равномерного падения шарика на пути l в жидкости:

t

C

=

l

=

l

;

(13)

υ

2

C∞

Am3

t

H

=

l

=

l

.

(14)

υ

H∞

1

Bm6

Из (13) и (14) видим, что время равномерного падения шариков различно. Измеряя это время для шариков различной массы можно установить, какая зависимость выполняется в том или ином диапазоне масс, т.е. которая из сил FC или FH преобладает в данных условиях. Одновременно определяется вязкость жидкости.

2 Описание лабораторной установки

Стеклянный цилиндр установлен вертикально и заполнен исследуемой жидкостью. На поверхности цилиндра нанесены метки, расстояние между которыми l. Шарики 10–15 шт. различного диаметра после взвешивания на аналитических весах опускают в жидкость поочередно как можно ближе к оси цилиндра (рисунок 1 лабораторной работы № 15).

3 Программа работы

3.1 На аналитических весах взвесить по отдельности 10–15 шариков различного диаметра и одинаковой плотности. Определить радиус каждого шарика. Данные записать в таблицу 2.

Таблица 2 – Результаты измерений и вычислений

	Номер	R	m l t lg t lg m a b ρT ρж lg η η a0 υC∞ υH∞ τC τH
	измерения

1

2

...

10

40

3.2Поочередно опускать шарики в жидкость, измеряя секундомером время прохождения каждым шариком расстояния между двумя метками на сосуде.

3.3Пользуясь стандартным пакетом Matlab или Графит, построить график зависимости t(m) в логарифмическом масштабе (по оси ординат lg(t), оси абсцисс – lg(m)).

3.4Как видно из формулы (13), на графиках следует ожидать линейную зависимость типа y = ax + b , где угловой коэффициент a = -2/3, b = lg(l/A) (для стоксовой силы) и a = -1/6, b = lg(l/B) (в случае силы Ньютона). Определить, на каком участке график соответствует стоксовой силе сопротивления.

3.5Вычислить вязкость η, используя экспериментальное значение члена b = y – ax. На стоксовом участке экспериментальной прямой

b = lgl −lg g(ρT − ρC )2 . η(9 2πρT )3

Отсюда

				2
	lgη =b −lg	l(9 2πρT )3			.	(15)
		g(	ρT	− ρC )

Подсчитать по формуле (15) lgη, затем η.

3.6 Определить τС для стоксовой силы одного из шариков

(τ

=υ

a

ρ

C

C

C∞

0

,

a

0

= g 1

−

). Построить график зависимости υС(t) по

ρT

формуле (8) на интервале (0…4)τ. Для построения использовать стандартные программы Matlab или Графит.

3.7 Построение, аналогичное пункту 3.6, провести для υH(t).

Оба графика представить в одних координатах (пример на рисунке 1).

Контрольные вопросы

1Что такое коэффициент динамической вязкости?

2Запишите выражение для ньютоновской и стоксовой сил сопротивления.

3Запишите уравнение динамики, описывающее движение тела в водной среде.

4Как в работе определяется тип силы сопротивления?

5Какнаходитсявданнойработекоэффициентдинамическойвязкости?