Математика. Лаб. практикум. Ч

11

	(n+1)		(n)		(n)
x1		=	−0,165x2	+	0,315x3	+0,669;
x2(n+1)		= 0,307x1(n)		−0,443x3(n)		+0,75;	n = 0,1,2,... (8)
x	(n+1)	= −0,481x(n) −0,013x(n)				+ 2,058,
	3	1	2
Выбираем нулевое приближение ( x(0)						, x(0) ,	x(0) ), равное свободным
					1	2	3
членам СЛАУ (8), к искомому решению (x1, x2 , x3 ) СЛАУ (1):
		x(0)	= 0,669 , x(0)		= 0,75 , x(0) = 2,058 .
		1		2		3

2.3 Нахождение решения (x1; x2 ; x3 ) с заданной точностью. Вычис-

ляя по формулам (8), находим решение (x1; x2 ; x3 ) с заданной точностью ε. Оканчиваем расчет, если выполняются неравенства:

				x(n+1)	− x(n)	≤ε, i =		.	(9)
							1,3
				i	i
Шаг1. При n = 0 из(8) находимпервоеприближениекрешениюСЛАУ(1)
x(1)	= −0,165x(0)	+0,315x(0)	+0,669 = −0,165 0,75 +0,315 2,058 +0,669 ≈1,194;
1	2	3
x(1)	= 0,307x(0) −0,443x(0) +0,75 = 0,307 0,669 −0,443 2,058 +0,75 ≈ 0,044;
2	1	3
x(1)	= −0,481x(0)	−0,013x(0)	+2,058 = −0,481 0,669 −0,013 0,75 +2,058 ≈1,746.
3	1	2

Шаг2. При n =1 из(8) находимвтороеприближениекрешениюСЛАУ(1): x1(2) = −0,165x2(1) +0,315x3(1) +0,669 = −0,165 0,044 +0,315 1,746 +0,669 ≈1,212;

x2(2) = 0,307x1(1) −0,443x3(1) +0,75 = 0,307 1,194 −0,443 1,746 +0,75 ≈ 0,343;

x3(2) = −0,481x1(1) −0,013x2(1) +2,058 = −0,481 1,194 −0,013 0,044 +2,058 ≈1,484.

Шаг3. При n = 2 из(8) находимтретьеприближениекрешениюСЛАУ(1): x1(3) = −0,165x2(2) +0,315x3(2) +0,669 = −0,165 0,343 +0,315 1,484 +0,669 ≈1,08;

x2(3) = 0,307x1(2) −0,443x3(2) +0,75 = 0,307 1,212 −0,443 1,484 +0,75 ≈ 0,465;

x3(3) = −0,481x1(2) −0,013x2(2) + 2,058 = −0,481 1,212 −0,013 0,343 + 2,058 ≈1,479.

Шаг 4. При n = 3 из (8) находим четвертое приближение к решению СЛАУ (1):

x1(4) = −0,165x2(3) +0,315x3(3) +0,669 = −0,165 0,465 +0,315 1,479 +0,669 ≈1,058; x2(4) = 0,307x1(3) −0,443x3(3) +0,75 = 0,307 1,08 −0,443 1,479 +0,75 ≈ 0,426;

x3(4) = −0,481x1(3) −0,013x2(3) +2,058 = −0,481 1,08 −0,013 0,465 +2,058 ≈1,544.

Шаг 5. При n = 4 из (8) находим пятое приближение к решению СЛАУ (1): x1(5) = −0,165x2(4) +0,315x3(4) +0,669 = −0,165 0,426 +0,315 1,544 +0,669 ≈1,085;

x2(5) = 0,307x1(4) −0,443x3(4) +0,75 = 0,307 1,058 −0,443 1,544 +0,75 ≈ 0,391;

x3(5) = −0,481x1(4) −0,013x2(4) +2,058 = −0,481 1,058 −0,013 0,426 +2,058 ≈1,554.

12

Шаг6. При n = 5 из(8) находимшестоеприближениекрешениюСЛАУ(1): x1(6) = −0,165x2(5) +0,315x3(5) +0,669 = −0,165 0,391+0,315 1,554 +0,669 ≈1,094;

x2(6) = 0,307x1(5) −0,443x3(5) +0,75 = 0,307 1,085 −0,443 1,554 +0,75 ≈ 0,395;

x3(6) = −0,481x1(5) −0,013x2(5) +2,058 = −0,481 1,085 −0,013 0,391 +2,058 ≈1,541.

Шаг7. При n = 6 из(8) находимседьмоеприближениекрешениюСЛАУ(1):

x(7)	= −0,165x(6)	+0,315x(6) +0,669 = −0,165 0,395 +0,315 1,541 +0,669 ≈1,089;
1	2	3
x(7)	= 0,307x(6) −0,443x(6) +0,75 =			0,307 1,094 −0,443 1,541 +0,75 ≈ 0,403;
2	1	3
x(7)	= −0,481x(6)	−0,013x(6) +2,058 = −0,481 1,094 −0,013				0,395 +2,058 ≈1,537.
3	1	2
	Полученные результаты представлены в таблице 1.
	Таблица 1 – Результаты вычислений
	n		x1(n+1)		x2(n+1)	x3(n+1)
	0		0,669		0,75	2,058
	1		1,194		0,044	1,746
	2		1,212		0,343	1,484
	3		1,08		0,465	1,479
	4		1,058		0,426	1,544
	5		1,085		0,391	1,554
	6		1,094		0,395	1,541
	7		1,089		0,403	1,537

Заканчиваем вычисления, т. к. выполнены условия (9):

x(7)

− x(6)

=

1,089

−1,094

= 0,005 <ε =10−2 ,

1

1

x(7)

− x(6)

=

0,403 −0,395

= 0,005 <ε =10−2 ,

2

2

x(7)

− x(6)

=

1,537

−1,541

= 0,004 <ε =10−2.

3

3

Проверку на компьютере можно выполнить двумя способами:

– решаем СЛАУ (1) методом Гаусса и получаем результат:

x1	≈1,085;	x2	≈ 0,4052;	x3 ≈1,531 ;
	– решаем		СЛАУ	(6) методом итераций и получаем результат:
x1	≈1,089;	x2	≈ 0,403;	x3 ≈1,536.

3Ответ: x1 = x1(8) ≈1,08; x2 = x2(8) ≈ 0,40; x3 = x3(8) ≈1,53 – решение

СЛАУ (1).

4Варианты заданий даны в лабораторной работе № 1 «Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса».

13

Лабораторная работа № 3. Приближенное решение уравнения вида f (x)= 0 методом половинного деления

Пусть задана непрерывная функция f (x) и требуется найти корень уравнения f (x)= 0 . Предположим, что найден отрезок [a;b] такой, что f (a) f (b)< 0 . Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a;b] существует точка k , в которой значение функции равно нулю, т. е. f (k )= 0, k (a;b) . Итерационный метод бисекций (половинного деле-

ния)

состоит

в построении последовательности вложенных отрезков

[a

n

;b

]

[a

n

;b

] [a

n−1

;b

] [a;b]

}

, на концах которых функция прини-

{

n

n

n−1

мает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции f (x) (корень x уравнения

f(x)= 0 ) с любой заданной точностью.

1Постановка задачи. Определить количество действительных корней уравнения

x3 + x2 −3 = 0 ,

(1)

отделить эти корни и, применив метод половинного деления, вычислить их с точностью 0,01.

2 Графический метод. Можно построить график функции
y = x3 + x2 −3 ,	(2)

и корнями уравнения (1) будут абсциссы точек пересечения графика функ-

ции (2) с осью Ox . Но проще записать уравнение (1) в виде x3 = 3 − x2 , корнями уравнения (1) будут абсциссы точек пересечения двух кривых y = x3 и y = 3 − x2 (рисунок 1).

3 Метод половинного деления.

Для того чтобы применить метод половинного деления, необходимо выполнение следующих условий:

1)f (x) непрерывна на [a;b];

2)f (a) f (b)< 0;

3)f ′(x)сохраняет знак на [а;b]

4)f ′′(x) сохраняет знак на [a;b]

на [a;b] выпукл или вогнут).

(f (x)монотонна на [a;b]); (3)

(график функции y = f (x)

14

y

				y = x3
y = 3 − x2
			1
				x
-2	-1	0	1	2 x

-1

Рисунок 1

Проверим, можно ли применить метод половинного деления для вычисления корня x [1; 1,5] уравнения (1).

1)f (x)= x3 + x2 −3 непрерывна на [1; 1,5];

2)f (1)= −1 < 0; f (1,5)=1,53 +1,52 −3 = 2,625

3)f ′(x)=3x2 + 2x > 0 для x [1; 1,5], значит,

функция f (x)возрастает на [1; 1,5];

4) f ′′(x)= 6x + 2 > 0 для x [1; 1,5], значит,

график функции f (x)вогнут на [1; 1,5].

> 0;

(4)

Учитывая условия (4), строим рисунок 2.

Из условия (4) заключаем, что на отрезке [1; 1,5] находится только

один корень уравнения (1).

Уточним значение корня x [1; 1,5] методом половинного деления

(вычислим его с заданной точностью ε =10−2 ).

x [1; 1,5], c1 = 1+21,5 =1,25, f (1,25)=1,253 +1,252 −3 ≈ 0,516 > 0 ;

x [1; 1,25], c2 =	1 +1,25		=1,125 ,	f (1,125) =1,1253 +1,1252 −3 ≈ −0,31 < 0 ;
		2
x [1,125; 1,25],	c3	= 1,125 +1,25		≈1,187, f (1,187)≈ 0,081 > 0 ;
			2

				15
x [1,125; 1,187],	c4	=	1,125 +1,187	≈1,156 ,	f (1,156) ≈ −0,089 < 0	;
			2
x [1,156; 1,187],	c5	=	1,156 +1,187	≈1,172 ,	f (1,172) ≈ −0,013 < 0	;
			2
x [1,172; 1,187],	c6	=	1,172 +1,187	≈1,179 ,	f (1,179)≈ 0,029 > 0 ;
x [1,172; 1,179].			2

B (1,5; 2,625)

y = x3 + x2 −3

	a =1 c2 x		x
	c1	b =1,5

A(1; −1)

Рисунок 2

Вычисляя корень x с заданной точностью, сохраняли в промежуточных вычислениях один запасной десятичный знак. Окончили вычисления, т. к.

1,179 −1,172 = 0,007 < 0,01.

Получили	x = 1,172 +1,179 ≈1,175 .
	2
Результат, полученный на компьютере: x ≈1,1748.
4 Ответ:	x ≈1,17 – корень уравнения (1), вычисленный с точно-

стью 0,01.

16

5 Варианты заданий к лабораторной работе № 3:

	1)	x −sin x = 0,75;							11)	3x −cos x −1 = 0 ;										21)	2x −lg x = 7 ;
	2)	x2 +4sin x =1;							12)	x lg x −1,2 = 0 ;										22)	x3 + 2x + 4 = 0 ;
	3)	2lg x −				x		+1 = 0;	13)	x3 − x −5 = 0 ;										23)	sin (x +1)= 0,5x ;
						3
	4)	(x +1)2					= 0,5ex ;		14)	2ex −2x −3 = 0 ;										24)	e−2 x −2x +1 = 0;
	5)	x lg	(	x +1 =1;						cos(x			+		0,5)	=			3		x
									15)									x ;		25)	2e +3x +1 = 0 ;
							)
	6)	x4 − x −1 = 0 ;							16)	sin (x +0,5)= 2x −0,5 ;										26)	(2 − x)ex					= 0,5 ;
	7)	ln x +(x +1)3 = 0 ;							17)	0,5x −lg (x +1)= 0,5;										27)	lg (2 + x)+2x = 3 ;
	8)	2x +lg x = −0,5;							18)	2x +cos x = 0,5 ;										28)	ln x + x2				= 0 ;
	9)	x2 +ln x −4 = 0 ;							19)	2sin (x +0,5)=1,5 − x ;										29)	sin	x	+1 = x2 ;
																						2
		x			2				20) x		2	= ln		(	x +1		;			30)	5sin x			=	x	−	1.
	10) e		+ x				−2 = 0 ;
															)

17

Лабораторная работа № 4. Приближенное решение уравнения вида f (x)= 0 методом хорд и касательных (комбинированный метод)

1 Постановка задачи. Определить количество действительных кор-

ней уравнения
x3 + x2 −3 = 0 ,	(1)

отделить эти корни и, применив метод хорд и касательных, вычислить их с точностью ε =10−5 .

2 Отделение действительных корней уравнения (1) графическим методом (лабораторная работа № 3, п. 2).

3 Вычисление действительного корня x [1; 1,5] методом хорд и

касательных с заданной точностью ε =10−5 .

Для того чтобы применить комбинированный метод, необходимо выполнение следующих условий:

1)f (x) непрерывна на [a;b];

2)f (a) f (b)< 0;

3)f ′(x)сохраняет знак на [а;b]

4)f ′′(x) сохраняет знак на [a;b]

на [a;b] выпукл или вогнут).

(f (x)монотонна на [a;b]); (2)

(график функции y = f (x)

Проверим, можно ли применить метод хорд и касательных для вычисления корня x [1; 1,5] уравнения (1).

1) f (x)= x

3

+ x

2

−3

непрерывна на 1; 1,5

;

( )

(

)

2) f 1 =−1<0;

f

1,5 =2,625 >0;

(3)

3) f ′(x)=3x

2

+2x >

0

;

для x 1; 1,5

4) f ′′(x)=6x +2 >0

.

для x 1; 1,5

Учитывая условия (3), строим рисунок 1.

Расчетные формулы метода хорд и касательных имеют вид: a1 = a0 − ff ′((aa00));

	b =b −	f (b0 )(a0 −b0 )			и т. д.
		f (a	)− f (b	)
	1 0
		0	0

	y − f (b0 )			x −b
	f (a )− f (b )		= a −b
					0
	0	0	0			0

b1 b2

b0 =1

B2

B1

B (b0 ; f (b0 ))

18

A(a0 ; f (a0 ))

A1

A2
x a2	a1 1,5 = a0	х

y − f (a0 ) = f ′(a0 )(x −a0 )

Рисунок 1

За приближенное значение корня

~

принимаем

x

an+1 +bn+1

x ≈

,

если

an+1 −bn+1

≤ ε,

2

f (a

)

где an+1 = an −

n

= an +

an ,

(4)

f ′(an )

f (bn )(an −bn )

bn+1 = bn − f (a

)− f (b ) = bn +

bn .

n

n

Заметим, что на рисунке 1

обозначили a0

=1,5

и b0 =1 , т. к. хорды

проводят со стороны вогнутости графика функции, а касательные – с противоположной стороны.

Уточним корень x комбинированным методом (т. е. вычислим его с заданной точностью ε =10−5 ) по формулам (4). Вычисляя, будем сохра-

нять один запасной десятичный знак. Результаты вычислений представлены в таблице 1.

≈1,17458.

19

Таблица 1 – Вычисление корня уравнения

an

a = −

f (an )

;

3

2

′(an )

2

–

f ′(an )

−3

f

+

2an

n

n

f (an )= an

+ an

= 3an

bn

f (b

)= b3

+b2

−3

f (a

)− f

(b

)

f (b

)(a

−b

)

b

= −

f (bn )(an −bn )

n

n

n

n

n

n

n

n

f (an )− f

(bn )

n

0

a0

=1,5

2,625

9,75

–

–0,269230

b0

=1

–1

3,625

–0,5

0,137930

1

1,230770

0,379152

7,005910

–

–0,054119

1,137930

–0,231623

0,610775

–0,021503

0,035307

2

1,176651

0,013583

6,506810

–

–0,002087

1,173137

–0,009215

0,022798

–0,000032

0,001430

3

1,174564

0,000029

6,487929

–

–0,000005

1,174557

–0,000016

0,000045

0

0

4

1,174559

1,174557

Условие

an+1 − bn+1

=

a4

− b4

= 0, 000002 < 0, 00001

выполнено,

на-

ходим

x = a4 2+b4

Результат, полученный на компьютере: x ≈1,174553 .

4 Ответ: x ≈ 1,17455 –корень уравнения (1), получен с точностью 10−5 .

5 Варианты заданий даны в лабораторной работе № 3 «Приближенное решение уравнения вида f (x)=0 методом половинного деления».

20

Лабораторная работа № 5. Приближенное решение уравнения вида f (x) = 0 методом итераций

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f (x ) = 0 состоит в замене исходного уравнения экви-

валентным ему уравнением x =ϕ(x) и построении последовательности

xn+1 =ϕ(xn ) , сходящейся при n → ∞ к точному решению. Сформулируем
достаточные условия сходимости метода простых итераций.
Теорема. Пусть функция ϕ (x)						определена и дифференцируема на
[a;b] , причем все ее значения ϕ (x) [a;b]							. Тогда, если существует число
q , такое, что		ϕ′(x)			≤ q <1 на отрезке		[a;b] ,	то последовательность
xn+1 =ϕ(xn ) (n = 0, 1, 2, ...) сходится к						единственному на [a;b] решению
уравнения x =ϕ(x) при любом начальном значении x0 [a;b] , т. е.
lim xn+1					= limϕ (xn ) = c , f (c) = 0 ,			c [a;b].
n→∞					n→∞
1 Постановка задачи. Определить количество действительных кор-
ней уравнения					x3 + x2 −3 = 0 ,
								(1)

отделить эти корни и, применив метод итераций, вычислить их с точностью ε =10−3 .

2 Отделение действительных корней уравнения (1) графическим методом (лабораторная работа № 3).

3 Вычисление действительного корня x [1; 1,5] методом итера-

ций с заданной точностью ε =10−3 .

Приведем уравнение (1) к виду

x = ϕ (x).

(2)

Есть много способов сведения уравнения (1) к виду (2), а именно:

1) x = 3 3 − x2 ,

ϕ(x)= 3 3 − x2 ;

2) x = 3 − x3 ,

ϕ(x)= 3 − x3 ;

3) x (x2 + x)−3 = 0, x =

3

,

ϕ(x)=

3

;

x

2

x

2

+ x

+ x

4) x2 (x +1)−3 = 0, x =

3

,

ϕ(x)=

3

.

x +1

x +

1

В случаях 2 и 4 выбрали положительные значения квадратного корня,

т. к. x [1; 1,5], т. е. x > 0 ;