Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика. Лаб. практикум. Ч

.1.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
896.21 Кб
Скачать

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

МАТЕМАТИКА

Лабораторный практикум для студентов технических специальностей дневной формы обучения

Часть 1

Могилев 2011

УДК 517

ББК 22.1 я 73 М 12

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «21» июня 2011 г., протокол № 11

Составители: А. М. Бутома; Е. Г. Галуза

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С. Н. Батан

Методические указания содержат краткую информацию о применяемых численных методах в математике, рекомендации по выполнению и оформлению отчетов по лабораторным работам, варианты заданий; подготовлены для студентовтехническихспециальностей дневнойформыобучения.

Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть 1

Ответственный за выпуск

Л. В. Плетнёв

Технический редактор

А. Т. Червинская

Компьютерная верстка

И. А. Алексеюс

Подписано в печать

. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.-печ. л.

. Уч.-изд. л.

. Тираж 165 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/0548519 от 16.06.2009.

Пр. Мира, 43, 212000, Могилев.

©ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2011

 

3

 

 

Содержание

 

 

Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных

 

алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса......................................

4

 

Лабораторная работа № 2. Приближенное решение системы

 

линейных алгебраических уравнений методом итераций..............................

9

 

Лабораторная работа № 3. Приближенное решение уравнения

 

вида

f (x) = 0 методом половинного деления...............................................

14

 

Лабораторная работа № 4. Приближенное решение уравнения

 

вида

f (x) = 0 методом хорд и касательных (комбинированный метод) ...

18

 

Лабораторная работа № 5. Приближенное решение уравнения

 

вида

f (x) = 0 методом итераций....................................................................

21

 

Лабораторная работа № 6. Аппроксимация функции по методу

 

наименьших квадратов.....................................................................................

24

 

Лабораторная работа № 7. Приближенное вычисление

 

определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций,

 

Симпсона............................................................................................................

32

4

Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

n

 

aij x j = bi , i =1,n

(1)

j=1

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей

x

+c x

2

+... + c

x

n

= d

;

 

 

 

1

12

1n

 

1

 

 

 

 

 

x2 +... +c2n xn = d2

;

(2)

..........................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = dn ,

 

 

 

 

 

 

 

решение которой находят по рекуррентным формулам

n

xi = di cik xk , xn = dn , i = n 1, n 2,...,1 .

k =i+1

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходную систему (1) при помощи элементарных преобразований преобразуют к треугольному виду (2). На втором этапе, который называют обратным ходом, решают треугольную систему (2), эквивалентную исходной.

Отметим, что к элементарным преобразованиям системы относят следующие:

перестановка любых двух уравнений системы;

умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число;

вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого равны нулю;

прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на отличное от нуля число.

Каждому элементарному преобразованию системы (1) соответствует аналогичное элементарное преобразование над строками расширенной

матрицы ( A B) этой системы. Поэтому на практике элементарным преобразованиям подвергают не систему, а ее расширенную матрицу.

1 Постановка задачи. Методом Гаусса решить СЛАУ с точностью

ε =102 .

3,21x1 4,15x2

+ 2,13x3 =5,06;

 

 

 

+1,17x2

2,23x3 = 4,75;

(3)

7,09x1

0,43x

1,4x 0,62x = −1,05.

 

 

1

2

3

 

5

2 Решение СЛАУ (3) методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы:

 

 

3,21

4,15

2,13

 

5,06

 

 

 

 

(A

 

 

1,17

2,23

 

4,75

 

 

 

 

B)= 7,09

 

 

 

 

0,43

1,4

0,62

 

1,05

 

 

 

 

Совершая над строками расширенной матрицы

(A

 

B) элементарные

 

преобразования, приведем её к специальному виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,21

4,15

2,13

 

5,06

 

 

 

разделим первую строку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(A

 

 

 

7,09

1,17

2,23

 

4,75

 

 

 

 

B)=

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

0,43

1,4

0,62

 

1,05

 

 

на 3,21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

умножим первую строку на

 

 

 

 

1

 

1,2928 0,6635

 

 

1,5763

 

-7,09 и прибавим ко второй

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,09

 

1,17

 

2,23

 

 

4,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=

 

 

 

 

 

= строке; умножим первую

 

 

 

0,43

 

1,4

 

0,62

 

 

1,05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строку на -0,43 и прибавим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к третьейстроке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1,2928

0,6635

 

 

 

 

 

1,5763

 

 

 

разделим вторую строку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

10,3359

6,9342

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

6,4259

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,8441

0,9053

 

 

1,7278

 

 

на 10,3359

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2928

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,6635

 

 

 

1,5763

 

 

 

умножим вторую строку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

 

1

0,6709

 

 

0,6217

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

на 0,8441 и прибавим к

 

 

 

 

0

0,8441

0,9053

 

 

1,7278

 

 

третьейстроке

 

 

 

 

 

 

1,2928

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,6635

 

1,5763

 

 

 

разделим третью строку

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

 

1

0,6709

 

 

0,6217

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1,4716

 

 

2,2526

 

 

на 1,4716

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1,2928

0,6635

 

1,5763

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

0,6709

 

0,6217

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

1

 

 

1,5307

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По полученной матрице запишем систему уравнений:

6

x 1,2928x

2

+0,6635x

3

=1,5763;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2 0,6709x3 = −0,6217;

(4)

 

 

 

 

x3 =1,5307,

 

 

 

 

 

 

эквивалентную системе (3).

Закончен прямой ход метода Гаусса. Переходим к обратному ходу. Из

(4) находим:

x3 =1,5307;

x2 = −0,6217 +0,6709x3 = −0,6217 +0,6709 1,5307 0,4052;

x1 =1,5763 +1,2928x2 0,6635x3 =1,5763 +1,2928 0,4052 0,6635 1,5307 ≈ ≈1,0845.

Итак, x1 1,0845; x2

0,4052;

x3 1,5307 – решение СЛАУ (3).

Выполнимпроверкуполученногорезультатанакомпьютереиполучим:

 

x1 1,0845; x2 0,4003; x3 1,5320 .

3

Ответ: x1 1,08;

x2 0,40;

x3 1,53.

4

Варианты заданий к лабораторной работе № 1.

 

0,14x1 +0,24x2 0,84x3 =1,11;

 

0,71x1 +0,10x2 +0,12x3 = 0,29;

1

 

 

0,83x2 +0,56x3 = 0,48;

5

 

 

+0,34x2

0,04x3 = 0,32;

1,07x1

0,10x1

 

0,64x

+0,43x

2

0,38x

= −0,83.

 

0,12x

0,04x

+0,10x

= −0,10.

 

 

1

 

 

3

 

 

1

2

3

 

 

2,5x 3,12x 4,03x

= −7,5;

 

0,12x 0,43x

+0,14x

= −0,17;

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

1

2

3

 

2

0,61x1 +0,71x2 0,05x3 = 0,44;

6

0,07x1 +0,34x2 +0,72x3 = 0,62;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,03x1 2,05x2 +0,87x3 = −1,16.

 

1,18x1 0,08x2 0,25x3 =1,12.

 

1,14x1 2,15x2 5,11x3 = −4,16;

 

0,66x1 1,44x2 0,18x3 =1,83;

3

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

0,24x2

+0,37x3 = −0,84;

0,71x1 +0,81x2 0,02x3 = −0,17;

0,48x1

 

0,42x

1,13x

 

+7,05x

 

= 6,15.

 

0,86x

+0,43x

+0,64x

= 0,64.

 

 

1

2

 

3

 

 

 

1

2

3

 

 

3,11x 1,66x

0,60x

 

= −0,92;

 

1,6x +0,12x +0,57x = 0,18;

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

1

2

3

 

4

1,65x1 +1,51x2 0,78x3 = 2,57;

8

0,38x1 +0,25x2 0,54x3 = 0,63;

 

0,60x +0,78x

2

1,87x

 

=1,65.

 

0,28x

+0,46x

1,12x

= 0,88.

 

 

1

 

3

 

 

 

1

2

3

 

7

0,42x1 1,13x2 +7,05x3 = 6,15; 9 1,14x1 2,15x2 +5,11x3 = −4,16;

0,71x1 +0,81x2 0,02x3 = −0,17.

7,09x +1,17x 2,23x = −4,75;

100,43x1 1,4x2 0,62x3 = −1,05;3,21x1 4,25x2 + 2,13x3 =5,06.

0,61x1 +0,71x2 0,05x3 = 0,44;

111,03x1 2,05x2 +0,87x3 = −1,16;2,5x1 3,12x2 5,03x3 = −7,5.

0,10x1 +0,12x2 0,13x3 = 0,10;

120,12x1 +0,71x2 +0,15x3 = 0,26;0,13x1 +0,15x2 +0,63x3 = 0,38.

0,34x1 0,04x2 +0,10x3 = 0,33;

130,04x1 +0,10x2 +0,12x3 = −0,05;0,10x1 +0,12x2 +0,71x3 = 0,28.

1,17x1 +0,53x2 0,84x3 =1,15;

140,64x1 0,29x2 0,43x3 = 0,15;0,32x1 +0,43x2 0,93x3 = −0,48.

0,82x1 +0,43x2 0,57x3 = 0,48;

150,35x1 +1,12x2 0,48x3 = 0,52;0,48x1 +0,23x2 +0,37x3 =1,44.

1,16x1 +1,3x2 1,14x3 = 0,43;

160,83x1 0,48x2 2,44x3 = −0,15;2x1 0,16x2 +1,3x3 =1,5.1 2 3

0,10x1 0,04x2 0,13x3 = −0,15; 17 0,04x1 +0,34x2 +0,05x3 = 0,31;

0,13x1 +0,05x2 +0,63x3 = 0,37.

1,20x1 0,20x2 +0,30x3 = −0,60; 18 0,20x1 +1,60x2 1,10x3 = 0,30;

0,30x1 +0,10x2 1,5x3 = 0,40.

0,20x1 + 0,44x2 + 0,81x3 = 0,74; 19 0,58x1 0,29x2 + 0,05x3 = 0,02;

1,05x1 + 0,34x2 + 0,10x3 = 0,32.

 

0,40x1 +0,11x2 +0,18x3 = 0,47;

20

 

 

0,59x2

+0,03x3 = 0,01;

0,28x1

 

0,02x

+0,24x

+0,10x = 0,22.

 

 

1

2

3

 

1,2x +0,18x 0,42x =1,5;

 

 

1

2

3

21

0,44x1 +0,36x2 +0,12x3 =1,16;

 

0,36x

0,42x

0,22x = 0,15.

 

 

1

2

3

1,60x1 + 2,18x2 0,72x3 =1,15; 22 0,43x1 0,16x2 +0,53x3 = 0,83;

0,34x1 +0,57x2 0,83x3 = −0,42.

1,06x1 0,28x2 +0,84x3 = 0,57; 23 0,43x1 +0,62x2 0,35x3 = 0,66;

0,37x1 0,75x2 0,64x3 = −0,38.

0,63x1 +0,05x2 +0,15x3 = 0,34; 24 0,05x1 +0,34x2 +0,10x3 = 0,32;

0,15x1 +0,10x2 +0,11x3 = 0,42.

8

 

0,30x1 +1,20x2 0,20x3 = −0,60;

 

0,64x1 0,43x2 +0,57x3 = 0,43;

25

 

 

 

0,20x2

+1,60x3 = 0,30;

28

 

 

+0,12x2

0,27x3 = 0,88;

0,10x1

0,56x1

 

1,50x

0,30x

+ 2,10x = 0,40.

 

0,63x

0,83x

+0,43x = −0,12.

 

 

 

1

2

3

 

 

1

2

3

 

6,36x +11,75x

+10x = −41,70;

 

0,8x 0,13x +0,63x =1,15;

 

 

1

 

2

3

 

 

1

2

3

26

7,42x1 +19,03x2 +11,75x3 = −49,49;

29

0,42x1 +0,57x2 +0,32x3 = 0,84;

 

 

 

+ 4,72x2 +6,36x3 = −27,67.

 

 

 

+0,62x2

0,32x3 = 0,25.

 

5,77x1

 

0,54x1

 

0,18x1 +0,25x2 0,44x3 =1,15;

 

0,75x1 0,84x2 +1,11x3 = 0,66;

27

 

 

0,35x2 +1,12x3 = 0,86;

30

 

 

 

 

0,42x1

1,12x1 0,14x2 +0,45x3 = 0,83;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+0,23x2

0,48x3 = 0,14.

 

1,14x1 +0,12x2 0,83x3 = 0,68.

 

0,32x1

9

Лабораторная работа № 2. Приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений методом итераций

1 Постановка задачи. Методом итераций решить СЛАУ с точностью

ε =102 .

 

 

 

 

3,21x1 4,15x2

+ 2,13x3 =5,06;

 

 

 

+1,17x2

2,23x3 = 4,75;

(1)

7,09x1

0,43x

1,4x 0,62x = −1,05.

 

 

1

2

3

 

2 Решение СЛАУ (1) методом итераций.

2.1 Проверка условий сходимости метода итераций. Обеспечим вы-

полнение условий сходимости метода итераций:

 

 

a

 

>

 

 

 

 

a

 

,

 

 

a

 

 

 

 

>

 

a

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22

 

 

>

 

 

 

a21

 

,

 

 

a22

 

>

 

 

 

a23

 

;

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

>

 

a

 

 

,

 

 

a

 

 

 

>

 

a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

Сходимость будет «быстрее», если выполняются условия:

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

+

 

 

 

 

a

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22

 

 

 

 

 

a21

 

 

+

 

 

 

a23

 

;

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

+

 

a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

31

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

Если условия сходимости не выполнены, то записываем расширенную матрицу Ар системы (1) и выполняем элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к матрице, элементы которой удовлетворяют условиям сходимости (2) или (3).

Расширенная матрица СЛАУ (1) имеет вид:

 

 

3,

21

4,15

2,13

 

5,06

 

 

 

 

 

 

А

p

 

7,

09

1,17

2,23

 

4,75

 

(4)

 

=

 

.

 

 

 

0,43

1,4

0,62

 

1,05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторую строку расширенной матрицы Ар запишем первой, третью строку матрицы Ар запишем второй, а оставшуюся первую строку – третьей. Получим

 

7,

09

1,17

2,23

 

4,75

 

 

 

Ap =

 

0,43

1,4

0,62

 

1,05

.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,

21

4,15

2,13

 

5,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В полученной матрице первая и вторая строки удовлетворяют условиям сходимости (2) и (3). Проведем элементарные преобразования, чтобы и третья строка удовлетворяла условиям сходимости. Для этого умножим вторую строку на –3 и прибавим к третьей строке. Получим

 

 

 

10

 

 

 

 

 

7,09

1,17

2,23

 

4,75

 

 

 

Ap =

 

0,43

1,4

0,62

 

1,05

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,92

0,05

3,99

 

8,21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия сходимости (3) метода итераций выполнены:

7,09 > 1,17 + −2,23 = 3,40; 1,4 > 0,43 + −0,62 =1,05; 3,99 > 1,92 + 0,05 =1,97.

Запишем СЛАУ (5), эквивалентную СЛАУ (1), учитывая матрицу A2p :

7,09x1 +1,17x2

2,23x3

= 4,75;

 

 

1,4x2 0,62x3 = −1,05;

(5)

0,43x1

 

+0,05x2

+3,99x3

= 8,21.

 

1,92x1

 

2.2 Расчетные формулы метода итераций. Систему (5) приведем к другому виду: выразим из первого уравнения x1 , из второго уравнения –

x2 , из третьего уравнения – x3 :

 

 

 

x

 

=

1,17 x

2

+ 2,23 x

 

+ 4,75 ;

 

 

 

 

 

1

 

7,09

 

7,09

3

7,09

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,43 x

 

 

+ 0,62 x

 

1,05 ;

 

 

 

 

x

2

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4

1

 

 

1,4

3

1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1,92 x1

0,05 x2

 

+ 8,21 ,

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,99

 

 

 

3,99

 

 

 

3,99

 

 

 

 

 

x1 =

0,165x2 +0,315x3 +0,669;

 

 

 

 

x2

= 0,307x1

 

 

0,443x3 +0,75;

(6)

 

 

 

x

= −0,481x 0,013x

2

 

 

+2,058.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем СЛАУ (6) в матричной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

,

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

A X +

B

 

 

 

 

 

 

0

 

0,165

 

0,315

 

 

 

 

0,669

 

 

=

 

0,307

 

 

0

 

0,443

 

 

 

0,75

 

 

где A

 

 

 

 

, B

 

=

.

 

 

 

 

0,481

0,013

 

 

 

0

 

 

 

 

2,058

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементы матрицы A, взятые по модулю, меньше единицы, т. е. процесс итераций будет сходящимся (причем, чем меньше они отличаются от нуля, тем сходимость быстрее).

Принимая во внимание СЛАУ (6) и (7), запишем расчетные формулы метода итераций: X (n+1) = AX (n) + B,