Математика. Лаб. практикум. Ч

31

Лабораторная работа № 7. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона

1 Постановка задачи. Вычислить по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона с точностью ε =10−3 определенный интеграл

	1	dx
	I = ∫		.	(1)
	0	1 + x
2 Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Разобьем отрезок	[a;b] на n равных частей точками			xk = a +kh , где

h = b −n a , k = 0,n и вычислим значения подынтегральной функции в узлах

xk , получим yk = f (xk ).

Формула прямоугольников имеет вид (рисунок 1):

b
∫ f (x)dx ≈ h (y0 + y1 + y2 +... + yn−1 ).	(2)

a

Y

y = f (x)

Sk ≈ yk −1 h, k =

0,n −1

y

y2

yn−1

1

y0

О

a = x x

x

2

x

k −1

x

k

xn−1

x

n

= b

х

0 1

Рисунок 1

Формула трапеций имеет вид (рисунок 2):

b	y			+ y
			0		n
∫ f (x)dx ≈						+ y1 + y2	+... + yn−1	h	(3)
				2
a

Формула Симпсона ( n = 2m ) имеет вид (рисунок 3):

b		(y0 + yn + 4(y1 + y3 +... + yn−1 )+ 2(y2 + y4 +... + yn−2 )) (4)
∫ f (x)dx ≈ h
a	3

		32
	Y
	y = f (x)	Sk ≈	yk −1 + yk	h, k =
					1,n
			2

	y2
	y1		yn
	y0
О	a = x0 x1 x2	xk −1 xk	xn−1 xn = b		х

Y

y = f (x)

y2

y1

y0

О a = x0 x1

Рисунок 2
	Sk ≈ h	(y2k −2 + y2k −1 + y2k ),	k =
				1,m
	3

	yn
	x2k
x2k −2 x2k −1	xn−1 xn = b		х

Рисунок 3

	3 Приближенное вычисление интеграла (1) по формулам (2)–(4).
	Разобьем		отрезок	[0;1] сначала на n = 4 равных частей				с шагом
	h = b −a	= 1 −	0 = 0,25 .	Вычислим значения функции yk =			1	в узлах
					1		+ xk
	n	4

xk = a +kh = 0 +k 0,25 = 0,25 k , (k = 0,4). Результаты вычислений записаны в таблице 1.

33

Таблица 1

			k							0				1			2	3		4
			xk							0				0,25			0,5	0,75		1
		yk =			1					1				0,8			0,6667	0,5714	0,5
			1+ xk
	Воспользуемся формулами (2)–(4):
	I 4П ≈ h(y0 + y1 + y2									+ y3 )= 0,25(1 + 0,8 + 0,6667 + 0,5714)≈ 0,7595 ;
I		≈ h				y0 + y4		+ y + y				+ y		= 0,25		1+0,5 +0,8 +0,6667 +0,5714				≈
	4Т										2
								1				3				2
					2

													≈ 0,6970;
		I4C ≈ h					(y0 + y4 + 4(y1 + y3 )+ 2 y2 )= 0,25 (1+ 0,5 + 4(0,8 +0,5714)+
					3						+ 2 0,6667)					3
																≈ 0,6932.
		Затем					разобьем отрезок					[0;1] на					n = 8	равных			частей с							шагом
	h = b −a = 1−0								= 0,125 . Вычислим значения функции											y	k	=			1			в узлах
																							1		+ x
		n					8
																										k
	xk = a +kh = 0 +k 0,125 = 0,125 k , (k =																). Результаты вычислений запи-
														0,8
	саны в таблице 2.
		Таблица 2
			k					0		1	2		3			4		5				6				7			8
			xk					0		0,125	0,25		0,375			0,5		0,625		0,75						0,875			1
	yk	=			1			1		0,8889	0,8		0,7273			0,6667		0,6154		0,5714						0,5333			0,5
			1		+ xk

Воспользуемся формулами (2)–(4):

I8П ≈ h(y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 )=

=0,125(1+0,8889 +0,8 +0,7273 +0,6667 +0,6154 +0,5714 +

+0,5333) ≈ 0,7254;

I		≈ h		y0 + y8	+ y	+ y		+ y	+ y		+ y	+ y	+ y			=
	8Т						2			4				7
				2	1			3			5	6

=0,125 1+0,5 +0,8889 +0,8 +0,7273 +0,6667 +0,6154 +0,5714 +

2

+0,533)≈ 0,6941;

34

I8C ≈ h (y0 + y8 + 4(y1 + y3 + y5 + y7 )+ 2(y2 + y4 + y6 ))=

3

= 0,1253

(1+0,5 + 4(0,8889 +0,7273 + 0,6154 + 0,5333)+

+ 2(0,8 +0,6667 +0,5714))≈ 0,6937.

Сравнивая два последовательных приближения (т. е. два приближения

по каждому методу), приходим к выводу:

1

dx

1) вычисляя по формуле прямоугольников, получили ∫

≈ 0,7 , по-

1 + x

0

грешность этого приближенного равенства 10−1 , т. к.

I8П − I4 П

=

0,7254 −0,7595

= 0,0371 < 0,1;

1

dx

2) вычисляя по формуле трапеций, пришли к результату ∫

≈ 0,69 ,

0 1

+ x

получили значение интеграла с точностью 10−2 , т. к.

I8T

− I4T

=

0,6941 −0,6970

= 0,0029 < 0,01;

1

dx

3) вычисляя по формуле Симпсона, получили ∫

≈ 0,693 и значе-

0

1+ x

ние интеграла с требуемой точностью 10−3 , т. к.

I8C − I 4C = 0,6937 − 0,6932 = 0,0005 < 0,001.

Чтобы получить результат с необходимой точностью по формулам прямоугольников и трапеций, надо продолжить вычисления, выбирая n =16 , n = 32 и т. д.

1 dx

4 Ответ: ∫0 1+ x ≈ 0,693.

5 Проверка полученного результата.

Способ 1. Интеграл (1) можем вычислить точно:

	1	dx	1	d (1 + x)							1
	∫		= ∫		= ln		1 + x				= ln 2 −ln1 = ln 2 ≈ 0,693.
		1 + x		1 + x
	0		0								0

Способ 2. Вычислим интеграл (1) с заданной точностью по формуле

1 dx

Симпсона на компьютере и получим результат ∫0 1+ x ≈ 0,693.

35

6 Варианты заданий к лабораторной работе № 7.

1

1 ∫xe−x2 dx ;

0

2 ln x

2 ∫1 x dx ;

π 2

3 ∫ x cos x2dx ;

0

π 2

4 ∫cos(x + x2 )dx ;

0
2		1
	− x+
5 ∫e		x dx ;
1

6∫0 1 +dxx4 ;

π2

7∫ esin x dx ;4

0

π 2

8 ∫ ln (1 +cos x)dx ;

0

9∫ex dx ;

1x

10π∫ sin x dx ;

π2 x3

	2		dx
11 ∫0							;
			1 + x3
	2
12	∫			x cos xdx ;
	0
	2
13	∫			xexdx ;
	0
	π			cos x dx
14	∫								;
	π 2				x
	2		x
15	∫0				dx ;
			ex
	3		dx
16	∫1							;
			x + x2
	π 3
17	∫			cos xdx ;
	0
	2
18	∫sin x dx ;
	1				x
	3			dx
19	∫					;
	2 ln x
	π
20	∫2 cos x dx								;
	0			1 + x

		2
	21	∫			1 + x3 dx ;
		0
		2
	22	∫ln (1 + x)dx ;
		0
		1		dx
	23	∫0						;
				1 +ex
		4				dx
	24	∫													;
			1		+	2x +1
		0
		1
	25	∫x				2 − x2 dx ;
		0
		5			xdx
	26	∫											;
					4x +5
		1
		1				dx
	27	∫											;
					4 − x					2
		0
		1			dx
	28	∫										;
					1 + x				4
		0
		4				dx
	29	∫												;
			1+					x			)		2
		1
			(
		π
	30	∫sin				xdx .
		0