МАТЕША

11

Решение

Используя формулу

a2 2ab b2 (a b)2 ,

выделяем полные квадраты двучленов:

4x2 4x 8y2 24 y 25 ;

4		2	2	x	1		1		1 8		2	2	y	3		9		18	25;
	x				2		4			y				2		4

										1 2			3 2
	1		2		3		2		x			y
										2			2
4 x	2			8 y	2			8 ;							1.
									2
											1			x0 ; y0 и полу-
Так как уравнение гиперболы с центром в точке O1
осями a и b (рисунок 1) имеет вид:

x a2x0 2 y b2y0 2 1,

то полученное нами уравнение является уравнением гиперболы с действительн й полуосью a 2 и мнимой полуосью b 1. Центр гиперболы на-

ходится в точке O1 12 ; 32 .

Рисунок 1

12

Задание 4

Вычислить пределы:

а)

lim

x2 2x3 3

;

в)

lim

1 cos5x

;

2 7x3 5x

x tg 3x

x

x 0

б) lim

x

2 2x 3

;

г)

lim

1 3x 2 x 1

.

x

13

6x 2

x 3

x

5 3x

При выполнении задания применим свойства пределов при условии,

что все пределы существуют и конечны:

1)

lim c f (x) c lim f (x)

(c const) ;

x x0

x x0

2)

lim

f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) ;

x x0

x x0

x x0

3)

lim

f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) ;

x x0

x x0

x x0

f (x)

lim f (x)

lim g x 0 .

4)

lim

x x0

, если

lim g(x)

x x0

g(x)

x x0

x x0

Первый замечательный предел lim sin x 1.

x 0

x

x

1

1

e .

Второй замечательный предел lim 1

x

e или lim 1 x x

x

x 0

Таблицу эквивалентных бесконечно малых функций ( lim x 0 ):

1) sin x x ;

x x0

5) arctg x x ;

2) tg x x ;

6) e x

1 x ;

3) 1 cos x

2 x

;

7) ln 1 x x .

2

4) arcsin x x ;

Решение

а) lim

x2 2x3 3

.

2 7x3 5x

x

Имеем неопределенность

. Разделим числитель и знаменатель

дроби на x3 :

x2

2x3

3

1

3

x2 2x3

3

lim

x3

x

2

lim

x3

x3

lim

x3

2

x 2 7x3 5x

x

2

7x3

5x

x

7

5

x3

x2

x3

x3

x3

												13
				1										0 2 0		2
			lim								0, n 0						.
					n									0 7 0		7
			x x
Ответ: lim		x2 2x3 3								2		;
		2	7x3 5x							7
	x
б) lim	x2		2x 3						.
	x 13 9x			2
x 3
Непосредственная подстановка предельного значения x 3 приводит
к неопределенности вида							0				. Числитель разложим на множители, пере-
				0

ведем иррациональность из знаменателя в числитель, умножив числитель и

знаменатель на выражение

x 13

2x 2 :

lim

x2 2x 3

lim

(x 3)(x 1)

x 13

6x 2

x

13

6x

2

x

13

6x 2

x 13 6x 2

x 3

x 3

lim

(x 3)(x 1)

x 13

6x 2

lim

(x 3)(x 1)

x 13

6x 2

(x 13)

(6x 2)

5x 15

x 3

x 3

lim

(x 3)(x 1)

x 13

6x 2

1

lim(x 1) x 13

6x 2

5(x 3)

5

x 3

x 3

1

(3 1)

3 13

6 3 2

1 4 8 32 .

5

x2

2x 3

5

5

Ответ:

lim

32

;

x

13 6x

2

5

x 3

в) lim1 cos 4x .

x 0

x tg3x

Непосредственная подстановка предельного значения приводит к не-

определенности вида 0

. Используем первый замечательный предел:

0

1

cos 4x

cos 2 2sin

2

2sin2 2x

2cos3x

sin2 2x

lim

1

,

lim

lim

x tg3x

tg sin

sin 3x

x sin 3x

x 0

x 0

x

x 0

cos

cos3x

2cos3x

sin2 2x

2x 2

lim sin2 2x

lim

2x 2

x 0

2x 2

lim 2cos3x 4x2

sin 3x

sin 3x

x 0

x

3x

lim

x 0

3x2

3x

3x

x 0

14

2

lim sin

22x 1,

8

x 0

2x

.

sin 3x

1

3

lim

3x

x 0

Этот пример можно выполнить иначе с использованием эквивалент-

ных бесконечно малых функций:

1 cos 4x

при x 0

8x2

8

cos 4x 8x

2

lim

1

,

lim

.

x tg 3x

x 3x

3

x

0

x 0

Ответ: lim1 cos 4x

tg 3x 3x

8

;

x 0

x tg3x

3

1 3x 2 x 1

г) lim

.

x

5 3x

Непосредственная подстановка предельного значения приводит к не-

определенности вида 1 . Используем второй замечательный предел:

lim

1 3x 2 x 1

1 3x

(1)

lim

3x

1; lim 2x 1

x

5 3x

x

5

x

1 3x

1

1 3x

1

1

1

3x 5 3x

1

4

5 3x

5 3x

5

3x

5 3x

4

4

1

x 8

x

5 3x

(2 x 1)

lim

5 3x

4

lim 8 x 4

1

8

4

4

x

lim

(2 x 1)

x

5

3

lim 1

ex 5 3x

ex 5 3 x

e

x

e3 .

5

x

3x

1 3x

2 x 1

8

Ответ:

e3 .

lim

5 3x

x

Задание 5

Найти

дифференциалы

первого

и

второго

порядков

функции

y sin 2x2

2x .

При решении воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных.

Правила дифференцирования:

1)u v u v ;

2)u v u v uv ;

15

3) сu c u ;

u

4)

u v uv

,

(v 0);

v

2

v

5)

если

y f (u),

u (x) , т. е.

y f ( (x)) сложная функция,

то

yx f (u) u .

Таблица производных основных элементарных функций:

1)

0 ;

10) sin x cos x ;

с

2)

1;

11) cos x sin x ;

x

3)

x x 1,

;

12) tg x

1

;

cos2 x

1

1

1

4)

;

13) ctg x

;

2

x

2

x

x

sin

1

5)

x

1

;

14) arcsin x

;

1

x

2

2

x

1

15) arccos x

6)

ax

ln a ;

1

x2

;

ax

7) ex ex ;

1

16) arctg x

;

8)

(loga

x)

1

;

1 x2

1

x ln a

17) arcctg x

.

1

1 x2

9)

ln x x

;

Решение

y f x находится

Дифференциал первого

порядка функции

по

формуле dy y dx .

2x :

Находим производную функции y sin 2x2

y sin 2x2

cos

2x

2x2 2x 2x2 2x

cos

2x2 2x 2 2x 2 cos 2x2 2x 4x 2 .

Имеем следующее: dy cos 2x2

2x 4x 2 dx .

Дифференциал второго порядка обозначается d 2 y и определяется по

формуле d

2

y

2

, где y

y dx

( y ) вторая производная функции y .

Находим вторую производную функции y sin 2x2

2x :

16

y y cos 2x2 2x 4x 2

cos 2x2 2x 4x 2 cos 2x2 2x 4x 2

sin 2x2 2x 2 2x 2 4x 2 cos 2x2 2x 4

sin 2x2 2x 4x 2 2 4cos 2x2 2x .

Ответ: d 2 y 4x 2 2 sin 2x2 2x 4cos 2x2 2x dx2 .

Задание 6

Составить

уравнения

касательной

и нормали

к

графику функции

f x в указанной точке x0 , если:

1) y

x2

2

,

x

0;

x

1

0

2) cos y 5x xy 0,

x0 0, 0 y ;

3

x t

1,

x0

9 ;

3)

;

y t2

4) y x2 x 3 , x 1.

0

Решение

Уравнение касательной к графику функции f x

в точке x0 имеет вид:

yк f x0 f x0 x x0 .

Уравнение нормали к графику функции

f x в точке x0 имеет вид:

y f x

1

x x .

f x0

н

0

0

1 Найдем значение функции y

x2

2

в точке x

0 :

x 1

0

y 0 02 2

2.

0 1

x2

Найдем

производную

функции y

2

и

ее

значение в точ-

x

1

ке x0 0 :

x

2

2

x

2

1 x

2

2 x

y

2 x

1

x

1

x 1

2

					17
		2x x 1 x2 2					x2 2x 2			;
			x 1 2					x 1 2
			0	02	2 0 2			2.
					0 1 2
		y
	Имеем:				yн 2 1 x							x
	yк 2 2 x 0 yк 2x 2;									0	yн			2.
								2			2
	2 Найдем значение функции cos y 5x xy 0								в точке x0 0 :
	cos y 5 0 0 y				0 cos y 0 y
											2 .

Найдем производную неявно заданной функции cos y 5x xy 0 и

еезначение в точке x0 0 :

cos y 5x xy 0; sin y y 5x x y xy 0;

sin y y 5 y xy 0; y x sin y 5 y; y																										5 y
																											.
																									x sin y
											5
												2
								0								2		5.
						y
Имеем:										0 sin 2
yк																										;
		2			2		5 x				0 yк								5 x					2
																		2
y								1	x 0 y									2		x		.
	н														н		10
			2					5														2
					2
													3
											x t			1,			в точке x0
3 Найдем значение функции																						9 :
												t2		;
											y

9 t3 1 t3 8 t0 2 .

Следовательно, y0 22 4 .

Найдем производную параметрически заданной функции и ее значение при t0 2 :

x t3 1,y t2 ;

														18
	yx		yt			t2								2t	2		; y0		2		1
																					3 .
			xt				3							3t2		3t				3 2
						t
								1
Имеем:	1 x 9								x									1				x
yк 4		yк										1;		yн 4					x 9 yн				7.
																		3
	3							3													3
4 Найдем значение функции y x3x 4																	в точке x				1: y 1 131 4 1.
																			0
Найдем производную функции y x3x 4																		и ее значение в точке x						1:
																							0

данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Логарифмируем данную функцию по

основанию e : ln y ln x3x 4 .

Используя формулу ln ab bln a , имеем ln y 3x 4 ln x . Считая y функцией x , дифференцируем это равенство:

1

1

y 3x 4 ln x ,

y (3x 4) ln x 3x 4 ln x ;

y

y

1

y 3

ln x 3x 4

1

y x

3x 4

3ln x

3x 4

,

.

y

x

x

31 4

3ln1

3 1 4

y 1 1

1

1.

Имеем:

1

yк 1 1 x 1 yк x 2;

yн 1

x 1 yн x .

1

Задание 7

2x2

Исследовать функцию y

и построить ее график.

(x 1)2

Решение

Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

1)найти область определения функции;

2)исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

3)найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции;

4)исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;

5)найти асимптоты графика функции;

6)исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

19

7)найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

8)по полученным данным построить график функции.

1 Находим область определения функции. Функция не определена,

если x 1. Следовательно, D( y) ( ;1) (1; ) .

2 Исследуем функцию на четность и нечетность, периодичность.

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения не симметрична относительно начала координат. Также функция непериодическая.

3 Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Уравнение оси 0 y x 0 . Находим точки пересечения:

2x2

0 .

(x 1)2

x 0

Точка 0;0 точка пересечения с осью 0y .

Уравнение оси 0x

y 0 . Находим точки пересечения:

2x

2

0 ;

2x

2

0,

x 0,

(x 1)2

0.

x 1 0;

y

Точка 0;0 точка пересечения с осью 0x . Функция положительна

на всей области определения.

4 Исследуем функцию на непрерывность и определим характер то-

чек разрыва. Функция непрерывна на интервалах ( ;1) и

(1; ) . По-

скольку

2x2

2 (1 0)2

lim y lim

2

;

(x 1)2

(1

0 1)2

0

x 1 0

x 1 0

lim y lim

2x2

2 (1 0)2

2

,

(x 1)2

(1

0 1)2

0

x 1 0

x 1 0

то x 1 точка разрыва второго рода (с бесконечным скачком), а прямая x 1 является вертикальной асимптотой.

5 Находим наклонные асимптоты, уравнения которых имеют вид y kx b :

f (x)

2x2

2

k lim

x

lim

lim

0

;

x

1)

2

2

1

x

x x(x

x

1

x

x2

20

b li m ( f (x) kx) lim

2x2

2

lim

2 .

(x

1)

2

1

2

x

x

x

1

x

Таким о разом, уравнение асимптоты y 2 , это горизонтальная

асимптота.

6 Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Находим

первую производную:

(2x

2

(x 1)

2

(2x

2

) (x 1)

2

2x

2

)

y

(x 1)

2

(x 1)

4

4x (x 1)2 2x2

2 (x 1)

(x 1) (4x2 4x 4x2 )

4x

.

y 0

(x 1)4

(x 1)4

(x 1)3

при x 0 . Критическая точка x 0 .

Исследуем

зна

производной

функции

на

промежутках

;0 ,

0;1 , 1 ; . Результаты исследования представлены на рисунке 2.

Рисунок 2

Функция убывает на интервалах ;0 , 1; , возрастает на интервале 0;1 . xmin 0 точка минимума, ymin y(0) 0.

7 Находим интервалы выпуклости и вогнутости, т очки перегиба.

Находим вторую производную:

	4x					3	( 4x) ( x 1)		3
					( 4x) (x 1)
y
	(x 1)	3			( x 1)			6

4(x 1)3

4x 3(x 1)2

(x 1)2

( 4x 4

12x)

( x 1)6

(x 1)6

8x 4

4(2x 1) .

(x 1)4

(x 1)4

1

1

y

0 при

x 2 . Критическая точка второго рода

x 2

. Результаты

иссле ования знака второй производной представлены на рисунке 3.