МАТЕША

21

											Рисунок 3
			График функции является выпуклым на интервале										;	1		, вогну-
														2
тым			–	на интервалах				1	;1			и 1; . Точки перегиба				x	1	,
								2									2
		1			2	.
y		2			9
			8 По полученным данным строим график функции.
			График функции y					2x2				представлен нарисунке 4.
								(x 1)			2

Рисунок 4

				22
3 Варианты контрольных заданий
Задание 1
Решить систему уравнений по формулам Крамера:
	2x	3y	z	2,		x	y	z	1,
1		y	2z	5,	6		3y	5z	21,
	x					2x
		y	5z	7;			9 y	7z	3;
	x					x

	3x	4 y	z		6,
2		y	2z	4,
	2x
		6 y	5z	14;
	x
	2x	3y	z	1,
3		y	z	1,
	x
		2 y	2z		0;
	x
	x	4 y	5z	6,
4		5 y	z	16,
	3x
		3y	z		14;
	7x
	2x	y	4z		3,
5		7 y	2z	10,
	x
		23y	4z		26;
	x

	3x	2 y	6z	20,
7		3y	z	15,
	2x
		y	2z		4;
	x
	x	2 y	4z	8,
8		3y	z	5,
	2x
		5 y	5z	11;
	8x
	x	y	7z		8,
9		y	2z	9,
	3x
		y	7z	10;
	5x

	2x	y	3z	4,
10		5y	2z	7,
	x
		11y	z	0.
	3x

Записатьсистемувматричнойформеирешитьеематричнымспособом:

	2x	3y	z	2,		x	4 y	5z	6,
11		y	2z	5,	14		5 y	z	16,
	x					3x
		y	5z	7;			3y	z	14;
	x					7x

	3x	4 y	z		6,
12		y	2z	4,
	2x
		6 y	5z	14;
	x
	2x	3y	z	1,
13		y	z	1,
	x
		2 y	2z		0;
	x

	2x	y	4z		3,
15		7 y	2z	10,
	x
		23y	4z		26;
	x
	x	y	z		1,
16		3y	5z	21,
	2x
		9 y	7z		3;
	x

23

	3x	2 y	6z	20,
17		3y	z	15,
	2x
		y	2z	4;
	x
	x	2 y	4z	8,
18		3y	z	5,
	2x
		5 y	5z	11;
	8x

Решить систему методом Гаусса:

	2x	3y	z	2,
21		y	2z	5,
	x
		y	5z	7;
	x
	3x	4 y	z		6,
22		y	2z	4,
	2x
		6 y	5z	14;
	x
	2x	3y	z	1,
23		y	z	1,
	x
		2 y	2z		0;
	x
	x	4 y	5z	6,
24		5 y	z	16,
	3x
		3y	z		14;
	7x
	2x	y	4z		3,
25		7 y	2z	10,
	x
		23y	4z		26;
	x

	x	y	7z			8,
19		y	2z	9,
	3x
		y	7z	10;
	5x
	2x	y	3z		4,
20		5y	2z		7,
	x
		11y	z		0.
	3x
	x	y	z			1,
26		3y	5z	21,
	2x
		9 y	7z			3;
	x
	3x	2 y	6z	20,
27		3y	z	15,
	2x
		y	2z			4;
	x
	x	2 y	4z	8,
28		3y	z	5,
	2x
		5 y	5z	11;
	8x
	x	y	7z			8,
29		y	2z	9,
	3x
		y	7z	10;
	5x
	2x	y	3z		4,
30		5y	2z		7,
	x
		11y	z		0.
	3x

Задание 2		C x3 , y3 , z3 ,
Даны четыре точки: A x1, y1, z1 ,	B x2 , y2 , z2 ,
D x4 , y4 , z4 .

Варианты 1–10:

а) составить уравнение прямой AB и указать ее направляющий вектор; б) составить уравнение плоскости, проходящей через точку D пер-

24

пендикулярно прямой AB ;

в) найти объем пирамиды ABCD ;

г) найти угол между прямыми AB и CD .

Варианты 11–20:

а) составить уравнение плоскости ABC и указать ее нормальный век-

тор;

б) составить уравнение прямой, проходящей через точку D перпен-

	дикулярно плоскости ABC ;
	в) определить, образуют ли векторы
		AB, AC,	AD базис;

г) найти угол между прямой AD и плоскостью ABC .

Варианты 21–30:

а) составить уравнение прямой BD и указать ее направляющий век-

тор;

б) составить уравнение плоскости , проходящей через точки A,C,

параллельной прямой BD ;

в) найти площадь треугольника ABC ;

г) найти расстояние от точки B до плоскости .

1A 3,1,4 , B 1,6,1 , C 1,1,6 , D 0,4,1 ;

2A 3,1,2 , B 1,0,1 , C 1,1,3 , D 0, 1,2 ;

3A 2,4,1 , B 1,1,0 , C 3, 3,2 , D 0, 1,2 ;

4A 2, 4,3 , B 1,1,5 , C 4, 3,2 , D 3, 1,7 ;

5A 2,4,1 , B 1,1,0 , C 3, 3,2 , D 0, 1,2 ;

6A 2,4,5 , B 3, 1,2 , C 3,2,2 , D 0,1,3 ;

7A 2, 1,7 , B 5,3,4 , C 3, 3,8 , D 1, 3,5 ;

8A 2,1,6 , B 1,4,9 , C 2, 3,7 , D 4,5,4 ;

9A 3, 2,1 , B 4,0, 3 , C 2, 3,5 , D 6, 2,2 ;

10A 1, 2,7 , B 4,2,10 , C 2,3,6 , D 4, 1,7 ;

11A 2,3,4 , B 5,1,1 , C 3,0,2 , D 1,2, 1 ;

12A 2,5,4 , B 3,2, 1 , C 0, 2,6 , D 1, 1,7 ;

13A 2,2, 1 , B 1, 4, 5 , C 3,1,2 , D 4, 1, 2 ;

14A 7,2, 3 , B 2,4, 5 , C 3,1, 2 , D 2,1,3 ;

15A 8, 3,2 , B 5, 4,5 , C 3,2, 2 , D 4,1,3 ;

16A 3,1, 1 , B 0, 4,5 , C 3, 1, 2 , D 4,3, 2 ;

17A 6, 3,1 , B 2,0,4 , C 3,1, 2 , D 4,1,2 ;

25

18A 5,7,2 , B 3,1,5 , C 3,3, 2 , D 4,4,2 ;

19A 7, 3,4 , B 6,1,4 , C 3, 1, 2 , D 3,2, 2 ;

20A 5,2,3 , B 2,0,4 , C 3,1,2 , D 1,1, 2 ;

21A 3,1,2 , B 4,3, 1 , C 3,1,8 , D 4,0,5 ;

22A 0,5,1 , B 2,4, 4 , C 3,1, 2 , D 4, 1, 2 ;

23A 5,2,7 , B 2,0,6 , C 3, 1, 2 , D 4,2, 4 ;

24A 2, 4,1 , B 2,1,4 , C 3,5, 2 , D 1,1,4 ;

25A 10,4, 5 , B 8, 2, 4 , C 6,3, 2 , D 4,1, 5 ;

26A 1,3,5 , B 2,0,4 , C 3,1, 2 , D 4,1, 2 ;

27A 3, 3,0 , B 2, 5, 2 , C 3,1, 2 , D 4,1,3 ;

28A 5,6, 1 , B 2,3, 1 , C 3,1, 2 , D 2,1,2 ;

29A 8, 3,4 , B 5, 6,4 , C 3,1,2 , D 4,1, 3 ;

30A 2, 3,0 , B 2,0,1 , C 3,1, 2 , D 4,2,2 .

Задание 3

Построить линию, определяемую уравнением:

1 25x2 16 y2		50x 64 y 439 0 ;	16 2x2 12x 3y 24 0 ;
2 9x2 25y2	36x 150 y 36 0 ;		17 9 y2 12 y 6x 2 0 ;
3 25x2 16 y2		50x 64 y 361 0 ;	18 x2 9 y2 4x 54 y 41 0 ;
4 9x2 49 y2	18x 196 y 236 0 ;		19 x2 4x 2 y 2 0 ;
5 36x2 9 y2	288x 18y 261 0 ;		20 4x2 20x y 28 0 ;
6 25x2 4 y2 50x 24 y 89 0 ;			21 2x2 4x 5y 13 0 ;
7 4x2 9 y2 12x 36 y 63 0 ;			22 y2 6 y 2x 13 0 ;
8 9x2 25y2	54x 50 y 281 0 ;		23 2 y2 16 y 3x 35 0 ;
9 25x2 4 y2	100x 20 y 25 0 ;		24 x2 6x 3y 6 0 ;
10 25x2 9 y2		150x 36 y 36 0 ;	25 5y2 20 y 2x 16 0 ;
11 4x2 9 y2 12x 36 y 9 0 ;			26 4x2 y2 24x 4 y 24 0 ;
12 25x2 4 y2		150x 8y 121 0 ;	27 9x2 4 y2 72x 16 y 92 0 ;
13 16x2 9 y2		128x 36 y 76 0 ;	28 4x2 40x 3y 106 0 ;
14 2 y2 16 y 3x 30 0 ;			29 2 y2 12 y 5x 23 0;
15 4x2 25y2 12x 50 y 66 0 ;			30 x2 9 y2 2x 54 y 46 0.

26

Задание 4

Вычислить пределы:

1 а) lim

2 x2 7x4

;

3x 20 5x4

x

б) lim

1 2x 3

;

x 4

x2 x 12

2 а) lim

2

x x5 2x

3

;

3x5 20

5x4

x

б) lim

x 13 2

x 1

;

2x2 5x 3

x 3

3 а) lim

7

x x 2x3

;

3x2 20 5x3

x

б)

lim

2x2 3x 27

;

x 4

3x 10

x 3

4 а)

lim

2x x5 2x3

;

3x2 20 5x4

x

б)

lim

x2 2x 8

;

x 2

3x 2

x 2

5 а)

lim

7x x6 23x3

;

3x2 1 5x5

x

б)

lim

x2 x 12

;

x 2

4 x

x 3

6 а) lim

100x2 x4 6x

;

30x2 7

5x4

x

б) lim

x 10

4 x

;

2x2 x 21

x 3

7 а)

lim

27x x3 5x

;

17x2 7x3

500

x

б) lim

3 2x

x 4

;

3x2 4x 1

x 1

8 а) lim

18 x x3 4x

;

18x2 27 6x3

x

б)

lim

3x2 4x 1

;

x 3

5 3x

x 1

2 7x 3x 5

в) lim

7x 6

;

x

г) lim sin 4x sin 2x ;

x 0

3x

2 x2 3x2 1

в) lim

2

6

;

x x

г) lim

tg5x

;

3sin 4x

x 0

3x 7

3x 11

в) lim

3x 3

;

x

г) lim arcsin 4x ;

x 0

sin 3x

2x 11

4 x 7

в) lim

2x 3

;

x

г) lim

1 cos2 5x

;

3x tg 2x

x 0

x 2

11x 7

в) lim

;

5 x

x

г) lim

sin2 4x sin2 2x

;

x2

x 0

5 2x 5 x 2

в) lim

7 2x

;

x

г) lim 1 cos 4x

;

x 0

3x2

5 4x x 3

в) lim

7 4x

;

x

г) lim arctg 4x

;

x 0

tg 3x

4 5x 7 x 2

в) lim

6 5x

;

x

г) lim

1

1

;

tg 2x

x 0

sin 2x

27

9 а) lim

12x4 3x3 2x

2

;

3x2 17x 11x4

x

б) lim

2x2 9x 4

;

5 x

x 3

x 4

10 а)

lim

8x3 2x 7x2

;

3x2 11x 5x4

x

б) lim

2x 1

x 6

;

2x2 7x 15

x 5

11 а) lim

10 x x4 12x

;

30x2 5x5

5x4

x

б) lim

x2 2

2

;

x2 1

1

x 0

12 а)

lim

x 12x2

16x4

;

x2 7x4

5x2

x

б)

lim

5 x 2

;

8 x 3

x 1

13 а)

lim

2x 5x3

6x2

;

3x2 7x3

5x

x

б) lim

5x 1 4

;

x2 2x 15

x 3

14 а)

lim

x2 11x4 6x

3

;

x2 6x3 5x

x

б) lim

3x 17

2x 12

;

x2 8x 15

x 5

15 а)

lim

2x2 3x 6x3

;

30x2 2x

5x3

x

б) lim

2x 7

5

;

x2

x 9

4x 45

16 а)

lim

x2 5x 6

;

3x2 7x 5

x

б)

lim

x 7 3

;

x 2 2

x 2

		4 x 4 x		;
в) lim
x		7 x
г) lim	1 cos6x ;
x 0	3x sin 5x
		9 4x 6 x
в) lim		7 4x		;
x
г) lim 1 cos12x				;
x 0		5x2
		5 2x	2 5x2 2
в) lim			2	;
x		7 2x

г) lim tg 2x sin 2x			;
x 0	4x2
	5 6x 3x 2
в) lim		;
x	7 6x

г) lim tg 4x sin 4x						;
x 0		4x2
		5 7x x 4
в) lim					;
x		6 7x
г) lim		1			1
				sin 2x
x 0	tg 2x
		5 x	2 5x2 2
в) lim			2			;
x		7 x

г) lim sin 5x sin 3x			;
x 0	x sin 2x
	5 5x x 3	;
в) lim
x	7 5x
г) lim cos x cos5x			;
x 0	4x2
	1 4x 5x 7
в) lim		;
x	5 4x

г) lim tg5x sin 5x ;

x 0 7x2

;

28

17 а) lim x3 3x4 x ;

x x2 2x4 3

б)

lim

x3 27

;

2x 1

x

2

x 3

18 а)

lim

10x x2

5x3

;

3 x 6x

3 5x

x

б)

lim

x2 2x 3

;

x 13 4

x 3

19 а)

lim

4x2 5x3

3x

;

3x2 x3

x

x

б)

lim

x 3

3x 5

;

x 1

3x2 4x 7

20 а)

lim

x4 x3 x2

;

3x2 7x3

5x

x

б)

lim

2x2 x 28

;

5 x

x

3

x 4

21 а)

lim

2 5x4 6x2

;

3x3 7x4

5x

x

б)

lim

2x2 x 10

;

5 2x

7 x

x 2

22 а)

lim

5x x3

x4

;

3x2 7x3

5x4

x

б)

lim

2x2 x 1

;

5 2x

7

4x

x 1

23 а) lim

6x x2 6x

3

;

3 7x3 x

x

б)

lim

3x2 2x 5

;

3 x

7

3x

x 1

24 а)

lim

21x4 5x3 6x

;

3x4 x3

5x

x

б)

lim

2x2 7x 4

;

5 x

x

3

x 4

			1 2x 4 5x					;
в) lim
x			3 2x
г) lim	cos 2x cos3 2x									;
			x2
x 0
			5 5x 4 x 21
в) lim								;
x			8 5x
г) lim		1 cos2 3x				;
	3x arcsin x
x 0
			7 x 3x 2				;
в) lim
x			2 x
г) lim 1 cos5x ;
x 0			x tg 3x
			9 4x 5x 1					;
в) lim
x			2 4x
г) lim cos 4x 1				;
x 0			x tg 3x
			7 x 3x 2				;
в) lim
x			2 x
г) lim	cos x cos5 x							;
			x2
x 0
			1 4x 6 x 5					;
в) lim
x			2 4x
г) lim		1 cos 4x		;
x 0		x sin 3x
			7 5x 3x 2					;
в) lim
x			1 5x
г) lim		1 cos 4x		;
x 0		1 cos8x
			2 6x 7 x 1					;
в) lim
x			1 6x
г) lim			x tg3x						;
		cos x cos3					x
x 0

29

25 а)

lim

2x 3x3 7

;

3x3 5x2 5x

x

б) lim

x 7

13 2x

;

x3 8

x 2

26 а) lim

2x2 2x4 11x

;

x3 5x4 5x2

x

б)

lim

6 x

3 2x

;

x3 27

x 3

27 а)

lim

6x3 3x2 2x

;

3x2 5x4

5x

x

б) lim

2x 9 5

;

x 8

x2 4x 32

28 а)

lim

2x4 x3

7

;

4x3 11x2

5x

x

б)

lim

x 3 2

;

x 8 3

x 1

29 а)

lim

2x3 3x2

2x

;

5x3 5x2

8

x

б)

lim

x2 4 2

;

x2 9

3

x 0

30 а)

lim

7x2 3x3 11

;

3x2 5x3

x

x

б)

lim

x2 5x 6

;

2 x

x

6

x 2

Задание 5

			2x 3			3x 8
в) lim			1 2x						;
x
г) lim tg x sin x ;
x 0			x3			x 10
			4x 5
в) lim									;
			6 4x
x
г) lim 5x ctg 3x;
x 0
			7 3x			2 3x2 2
в) lim						2				;
x			2 3x
г) lim	1 cos6x								;
x 0	1 cos 2x
			3 8x x 1
в) lim			2 8x						;
x
г) lim	x2 ctg 3x							;
			sin 2x
x 0
			x	2		3x2 2
в) lim									;
			2 x		2
x
г) lim cos5x 1									;
x 0		x tg 2x
			7 7x 2 x
в) lim			8 7x						;
x
г) lim sin 2x sin 3x .
x 0				4x

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции:

1y cos 1 ;

x

2y ln2 (2x 1) ;

3y x2 2x ;

4y arcsin(x2 ) ;

5y (x 2) 3x 2 ;

6y log3 (x2 1) ;

7y cos2 (2x2 3) ;

8y arctg(x2 1) ;

9y x arctg(2x) ;

10y ex ln(x 2) ;

11y sin x3 cos(2x 1) ;

12y 3 5x2 2x ;

13y ln 4 x2 1 ;

14y x2 ln(x2 1) ;

					30
15	y	x 1			22	y log44 x ;
		ln(x 1)		;	23	y (x2 1) ln(x2		1) ;
16	y 4 4x2		1 ;		24	y arccos ex ;
17	y ln(x2		1) ln x ;		25	y ln(ex e x ) ;
18	y tg2 (2x 1) ;				26	y x arcsin 3x ;
19	y ln(x 2) ;				27	y ln(arcsin x) ;
		x 2			28	y arcsin ex ;
20	y e2 x cos x ;				29	y	x 1 ln x ;
21	y log5 (3x2 2) ;				30	y ex ln(ex x) .

Задание 6

Составить уравнение касательной к графику функции f x в указанной точке x0 :

1 y 2	3 x 6 x , x 1;
	0

2y x5 1 , x0 1;

x4 1

3y cos 2x x x2 3 , x0 0 ;

x		t 1,
				x			3 ;
4		1
y			;	0
		t
5 y y3			x 1 2				, x 5, y 0 ;
							0	0
6 y ctg x tg x ,					x	;
					0		4
		2x 3
7 y				, x 3;
		x2
					0

8 5x2 4 y3 2xy 20 , x0 2, y0 0 ;

9 y xln2 x , x e;
								0
	x arctg t,
10									x					;
			2
	y t				;				0				4
		2
11 y 1 x , x 4 ;
		1				x			0
12 y ln 2x2 5x 4 , x0 1;
13 y arctg							x2		1			, x		1;
									x				0
														1 ;
14 y arcsin2 3x ,													x
													0	6
		x3
15	y			2				,	x	2 .
		x3		2
									0

Составить уравнение нормали к графику функции f x в указанной

точке x0 :

x

t 1,

16

y 2

3

x

6 x , x0

1;

19

x 3 ;

1

y

;

0

17

y

x5 1

, x0 1;

t

x 1 2 , x 5, y 0 ;

20 y y3

x

4

1

0

0

18

y cos 2x x x2 3 ,

x0 0 ;

21 y ctg x tg x ,

x

;

0

4