- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
Глава 2
Алгебра событий
2.1 Предмет теории вероятностей
Задача науки - выявление закономерностей, описывающих явления природы и общества. Эти закономерности могут быть выражены с помощью моделей в виде описаний, классификаций, алгоритмов, уравнений, функций детерминистским или вероятностным способом.
Детерминистская математическая модель, применяемая для выражения закономерностей, дает однозначный вывод при задании всех переменных, входящих в модель. Таков, например, закон Ома для участка цепи i = u/R, связывающий ток i, напряжение u и сопротивление R.
Вероятностная, иначе - стохастическая модель - это модель, которая не дает достоверного прогноза о развитии изучаемого явления. Её выводы носят лишь оценочный, вероятностный характер. Например, невозможно точно указать, сколько будет наводнений в Санкт-Петербурге в текущем году. Однако с помощью теории вероятностей, на основе имеющихся статистических данных можно сделать предсказание о количестве и величине наводнений с определенной вероятностью.
Определение. Теорией вероятностей называется наука, изучающая математические модели случайных явлений.
Создание теории вероятностей относится к началу XVIIв., когда стали возникать задачи, требующие статистических исследований в области страхового дела, демографии, производства. Большое влияние на теорию вероятностей оказали азартные игры, которые дают наиболее простые модели случайных явлений. Поэтому и в настоящем курсе иногда приводятся примеры из азартных игр.
2.2 Классификация событий
Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события.
Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение). Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F . Сам эксперимент обозначают буквой E. Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.
9
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт в результате проведения эксперимента E. Его будем обозначать буквой I (или Ω).
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента E. Оно обозначается символом пустого множества .
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента E. Случайные события обозначаются первыми большими буквами латинского алфавита: A, B, C, ... .
Дополнительным, иначе - противоположным событию A называется событие, обо-
значаемое ¯, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .
A A
Пример. - выстрел из орудия. Событие - попадание в цель. Тогда ¯ - промах.
E A A
Элементарным событием ω называется непосредственный исход эксперимента E. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных
событий и обозначается Ω.
Пример. E - бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий ω1, . . . , ω6. Событие ωk означает, что в результате бросания выпало k очков, k = 1, . . . , 6. Ω = {ω1, . . . , ω6}.
События можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна (aнrл., 18321923). Достоверное событие изображается прямоугольником; случайное событие A - обла-
стью внутри прямоугольника; дополнительное событие ¯ - областью внутри прямоуголь-
A
ника вне области, изображающей событие A (рис.2.1).
Рис. 2.1: Диаграммы Венна
2.3Действия над событиями
Над событиями можно производить действия, подобные алгебраическим - складывать и перемножать.
Определение. Суммой (или объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий.
Сумма событий обозначается несколькими способами. |
|
|||
Алгебраические обозначения: A + B, A + B + C, |
A . |
|
||
Теоретико-множественные обозначения: A |
|
|
|
C, Ak. |
|
B, APk |
B k |
||
Логические обозначения: A или B, A или B или C. |
|
Sk |
Пример. E - бросание игральной кости. Событие A означает выпадение 1 или 2, а событие B - выпадение 2 или 3. Тогда событие A + B означает выпадение 1 или 2 или 3.
На диаграмме Венна сумма событий A + B изображается областью, которая накрывается областями, изображающими события A и B (рис. 2.2).
10
Рис. 2.2: Изображение суммы событий A + B
Определение. Произведением (или совмещением, пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно).
Произведение событий также обозначается несколькими способами.
Алгебраические обозначения: AB, ABC, |
Ak. |
∩ |
|
∩ |
|
|
∩ |
B, A |
B |
C, Ak. |
|||
Теоретико-множественные обозначения: AQk |
|
|
|
|||
Логические обозначения: A и B, A и B и C. |
|
|
|
|
Tk |
На диаграмме Венна произведение событий изображается общей частью областей, изображающих события A и B (рис. 2.3).
Свойства операций сложения, умножения, дополнения событий выражают правила действий над событиями. Приведем их.
A + A = A; A + I = I; A + = A; AA = A; AI = A; A = ;
A + B = B + A - переместительный закон;
(A + B) + C = A + (B + C) - сочетательный закон; AB = BA - переместительный закон;
(AB)C = A(BC) - сочетательный закон;
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
A + B = A |
· B; A · B = A |
+ B (правила Де Моргана); A = A; |
(A + B)C = AC + BC - распределительный закон.
Эти правила во многом похожи на правила действий с числами. Роль достоверного события I во многом похожа на роль единицы, а роль невозможного события - на роль нуля.
Приведенные правила и другие, более сложные, составляют алгебру событий. Продолжим классификацию событий на основе понятий суммы и произведения. Определение. События называются несовместными, если их произведение есть невоз-
можное событие:
A1A2 . . . An = .
11
Рис. 2.3: Изображение произведения событий AB
Несовместными будут все элементарные события, события |
A и |
¯ |
A. Таким образом, в |
||
частности, |
|
|
¯ |
|
|
AA = . |
|
|
На диаграмме Венна два несовместных события изображаются непересекающимися множествами.
Заметим, что если события попарно несовместны, то они несовместны и в совокупности. Обратное неверно.
Пример. Пусть E - бросание игральной кости. Рассмотрим события: A - выпадение 1 или 2, B - выпадение 2 или 3, C - выпадение 3 или 1.
Очевидно, что ABC = , т.е. все три события несовместны в совокупности, но попарно совместны.
Определение. Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие.
A1 + A2 + . . . + An = I.
Примерами полной группы событий являются все элементарные события ω пространства Ω. В силу этого обстоятельства часто достоверное событие обозначается символом Ω, тем же, что и пространство элементарных событий. На диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат.
События и ¯ также образуют полную группу. Таким образом,
A A
¯
A + A = I.
Определение. Событие B называется частным случаем события A, если с появлением события B появляется и событие A. Говорят также, что событие B влечет событие A, что записывается в виде B A.
На диаграмме Венна событие , влекущее событие , изображается подобластью области, изображающей (рис. ??).
12
Рис. 2.4: B A
Заметим, что элементарное событие ω эксперимента E обладает характеристическим свойством, которое может служить определением элементарного события: каким бы ни
было событие , порожденное экспериментом , всегда либо , либо ¯.
A E ω A ω A
Определение. События A и B называются эквивалентными, если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента E.
Запись эквивалентных событий: A = B. Очевидно, что A = B, если A B и B A.
13