- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
4.8 Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
4.8.1Локальная формула Муавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn,m того, что событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна
f(x)
Pn,m ≈ √npq ,
где
f(x) = √1 e−x22 2π
- функция Гаусса и
m − np x = √npq .
Данная формула тем точнее, чем больше n. Она называется локальной формулой Муавра-Лапласа. На практике приближенные значения, полученные по локальной формуле, используются как точные при npq порядка двух и более десятков, т.е. npq ≥ 20.
Поскольку локальная формула в теории вероятностей и математической статистике используется достаточно часто, ее значения сведены в таблицу. Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(x).
1.Функция f(x) является четной, т.е. f(−x) = f(x).
2.Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при x → ∞ f(x) → 0. (Практически при x > 4)
Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.
Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна p = 80/100 = 0, 8. Так как n = 100 достаточно велико (npq = 100 · 0, 8 · (1 − 0, 8) = 64 ≥ 20), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.
|
|
|
x = |
300 − 400 · 0, 8 |
= |
|
2, 50. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
√400 |
· |
0, 8 |
· |
0, 2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
|
|
f(−2, 50) |
|
|
= |
f(2, 50) |
= |
0, 0175 |
|
0, 0022. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
400,300 |
≈ √100 |
· |
0, 8 |
· |
0, 2 |
|
√ |
|
|
|
|
8 |
|
≈ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
Здесь значение f(−2, 50) = f(2, 50) = 0, 0175 найдено по таблице.
Пусть теперь в условиях этого же примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность такого события
P400(300 ≤ m ≤ 360) = P400,300 + P400,301 + . . . + P400,360.
Технически возможно вычислить каждое слагаемое по локальной формуле МуавраЛапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким.
25
4.8.2Интегральная формула Муавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступлений события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом n приближенно равна
Pn(a ≤ m ≤ b) ≈ Φ(x2) − Φ(x1),
где
|
x |
e− 2 |
dt |
Φ(x) = √2π Z0 |
|||
1 |
|
t2 |
|
функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;
x |
|
= |
a − np |
, x |
|
= |
b − np |
. |
||||
1 |
√ |
|
|
2 |
√ |
|
|
|||||
|
|
npq |
|
|
|
npq |
|
Эта формула называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула, так же, как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.
Значения функции Φ(x) сведены в таблицу. Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Φ(x).
1.Функция Φ(x) нечетная, т.е. Φ(x) = −Φ(x).
2.Функция Φ(x) монотонно возрастающая, при x → −∞ Φ(x) → −0, 5, x → +∞ Φ(x) → 0, 5, причем при x > 4 можно считать, что Φ(x) ≈ 0, 5.
Пример. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники, при условии, что среднестатистическая семья имеет холодильник с вероятностью 0,8.
Применяем интегральную теорему Муавра - Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим
x |
|
= |
300 − 400 · 0, 8 |
= |
2, 50, |
x |
|
= |
|
360 − 400 · 0, 8 |
= 5, 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
√400 |
· |
0, 8 |
· |
0, 2 |
− |
|
2 |
|
√400 |
· |
0, 8 |
· |
0, 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По интегральной формуле Муавра-Лапласа, учитывая свойства функции Φ(x), получа-
ем
P400(300 ≤ m ≤ 360) ≈ Φ(5, 0) − Φ(−2, 50) = Φ(5, 0) + Φ(2, 50) ≈ 0, 5 + 0, 4398 = 0, 9398.
Следствие. Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:
а) число m наступлений события A отличается от произведения np не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине), т.е.
ε
Pn(|m − np| ≤ ε) ≈ Φ(√npq );
26
б) частость mn события A заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.
Pn α ≤ |
m |
≈ Φ(z2) − Φ(z1), |
||||||||||
|
≤ β |
|||||||||||
n |
||||||||||||
где |
|
|
|
α − p |
|
|
|
|
β − p |
|
||
z |
|
= |
|
, z |
|
= |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
ppq/n |
|
2 |
|
ppq/n |
в) частость mn события A отличается от его вероятности p не более, чем на величину
> 0 (по абсолютной величине), т.е.
m |
− p |
≤ |
|
Pn n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
√
n
≈ Φ √pq .
27