shpory_po_astronomii

расширяться. Рассмотрим однородный шар массы M = Vρ = (4/3)πr3ρ. Под действием силы гравитации такой шар будет сжиматься к центру с ускорением:

Таким образом, даже если бы в начальный момент времени некоторая галактика А была неподвижной, то она стала бы двигаться внутрь шара. То же самое касается и других галактик.

Поскольку Вселенная однородна и изотропна, такова же будет судьба любого мысленно выделенного объѐма, независимо от его размера и местоположения.

Из-за наличия сил тяготения Вселенная, не обладающая ни центром, ни осью вращения (т.е.

однородная и изотропная) не может вечно находиться в одном и том же состоянии, она неизбежно должна эволюционировать. При разных начальных условиях эта эволюция может быть разной:

Вселенная будет либо расширяться (возможно, с замедлением или ускорением), либо сжиматься

(возможно, с ускорением или замедлением). В настоящее время Вселенная (пространство Вселенной)

расширяется.

Нестационарность Вселенной в принципе могла быть предсказана ещѐ во времена Ньютона, сразу после открытия закона всемирного тяготения. Однако этому помешали предубежденность в вечности и неизменности Вселенной.

Космологический принцип

Современные космологические модели основаны на принципах общей теории относительности

(ОТО), дополненных т.н. космологическим принципом, который для расширяющейся Вселенной гласит:

Вселенная однородна и изотропна в каждый момент времени, прошедший после Большого

Взрыва.

В силу космологического принципа каждая точка пространства Вселенной удаляется от всех остальных еѐ точек. Таким образом, все точки пространства Вселенной равноправны, наша Галактика не является избранной, центральной во Вселенной, точно так же, как не являются избранными другие галактики.

Некоторым аналогом рассматриваемого процесса расширения пространства Вселенной служит растяжение поверхности воздушного шарика (замкнутой двумерной поверхности) при его надувании. Очевидно, что каждая точка, находящаяся на поверхности шарика, при его надувании будет удаляться от всех остальных точек поверхности.

Основные положения ОТО

1)Принцип эквивалентности сил инерции и сил гравитации. (Этот факт можно считать доказанным.Эффекты гравитации и ускорения движения частиц – неразличимы). 2)Гравитационное взаимодействие распространяется с конечной скоростью, равной скорости света с в виде гравитационных волн.

Гравитационное красное смещение

Среди важнейших следствий из решений уравнений ОТО, допускающих экспериментальные или наблюдательные подтверждения, следует выделить следующие:

•гравитационное и космологическое красное смещение,

•гравитационное линзирование,

•объяснение некоторых аномалий движения планет,

•гравитационные волны.

Гравитационное красное смещение (эффект Эйнштейна) является проявлением эффекта изменения частоты электромагнитного излучения по мере удаления от массивных объектов, таких как звѐзды и чѐрные дыры. Этот эффект не ограничивается исключительно электромагнитным излучением, а

проявляется во всех периодических процессах, и, таким образом, связан с более общим явлением гравитационного замедления времени. Гравитационное замедление времени — это физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода часов в гравитационном потенциале. Измеряющие частоты часы (атомы или атомные ядра) идут быстрее (увеличивают свои характерные частоты) на большем удалении от гравитационного центра, а «частота» фотона в стационарном гравитационном поле не изменяется. Гравитационное красное смещение в спектре испускания сферического тела на расстоянии r>rg (rg – гравитационный радиус) имеет вид:

Величины гравитационного красного смещения очень малы: на поверхности Земли относительно еѐ центра zg ~ 10–15, для Солнца zg ~ 2 × 10–6, для белых карликов zg ~ 10–4–10–5. В настоящее время гравитационное красное смещение в гравитационном поле Земли измерено с погрешностью около

0,01%.

Гравитационное линзирование

Наличие в некоторой области пространства больших масс приводит к искажению формы пространства-времени. В результате этого направление распространения световых лучей,

проходящих вблизи тяготеющего тела, отклоняется от прямолинейного, и возникает эффект гравитационной линзы. Стандартные представления о гравитационном линзировании основаны на модели точечной гравитационной линзы. При расположении источника S, линзы D и наблюдателя O

на одной линии угол отклонения ζ светового луча в поле точечного объекта массой Mбудет определяться следующим образом:

где Dds, Dd и Ds – расстояния между источником и линзой, линзой и наблюдателем, источником и наблюдателем соответственно.

Углы отклонения гравитационными линзами, как правило, невелики. Так, если гравитационная линза имеет массу порядка массы Земли (10–6 ), то характерное расстояние между изображениями составляет величину порядка 10–9 угловых секунд. Под таким углом видна, например, монета диаметром 2,5 см с расстояния 4,5 × 109 км или 30 а.е. (т.е. примерно с орбиты Нептуна).

В зависимости от формы гравитационной линзы и еѐ расположения относительно источника могут образовываться изображения различной формы – точки, дуги и др. Принадлежность изображений к одному и тому же источнику определяется по их спектрам, которые должны быть идентичными.

Среди наиболее известных примеров гравитационно линзированных изображений выделяется т.н. «крест Эйнштейна». Это гравитационно линзированное изображение квазара, который располагается по оси зрения за галактикой ZW 2237+030 (созвездие Пегаса), представляет собой практически идеальное изображение креста с угловыми размерами каждой из компонент менее 0″,5. Квазар находится примерно в 8 млрд. световых лет от Земли, а линзирующая галактика – в 0,4 млрд.

световых лет, то есть в 20 раз ближе.

Гравитационные волны

Из уравнений ОТО следует возможность существования решений в виде гравитационных волн – периодических возмущений пространства-времени (метрики), распространяющихся со скоростью света. Гравитационную волну излучает любая ускоренно движущаяся материя, однако амплитуда таких волн обычно крайне мала, и экспериментально они пока не регистрировались. Для возникновения гравитационной волны заметной амплитуды необходимы большие массы и/или большие ускорения. Наиболее мощными источниками гравитационных волн являются столкновения галактик (большие массы) и слияния двойных звѐзд (большие ускорения на последнем этапе). В

последнем случае наиболее эффективны слияния чѐрных дыр и нейтронных звѐзд. Для регистрации гравитационных волн используются т.н. гравитационные антенны, одна из конструкций которых представляет собой тяжѐлый металлический предмет (например, цилиндр), охлаждѐнный до низкой температуры и подвешенный на проволочках. При падении гравитационной волны на такой детектор его размеры изменяются, что в принципе может быть зарегистрировано.

Косвенно излучение гравитационных волн обнаружено в системах двойных компактных объектов (в

частности, пульсаров). Из-за потери энергии на излучение гравитационных волн в таких системах расстояние между компонентами уменьшается, а их взаимное вращение ускоряется.

58. Уравнения общей теории относительности. Космологические модели.

Масштабный фактор. Космологическое красное смещение. Закон Хаббла.

Параметр («постоянная») Хаббла. Критическая плотность Вселенной.

Космологическая постоянная.

Уравнения ОТО

Общая теория относительности (ОТО), или неквантовая теория гравитации – это современная физическая теория пространства, времени и тяготения, созданная Альбертом Эйнштейном в 1915– 1916 годах. Теория тяготения Эйнштейна представляет собой одну из важнейших физических теорий, поскольку именно в рамках ОТО впервые была сформулирована проблема происхождения и эволюции Вселенной с материалистической точки зрения.

В основе ОТО лежит экспериментальный факт равенства инертной массы, входящей во 2-й закон Ньютона, и гравитационной массы, входящей в закон тяготения, для любого тела (принцип эквивалентности). В настоящее время равенство масс экспериментально подтверждается с относительной погрешностью 10–12–10–13.

Равенство инертной и гравитационной масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения не зависит от массы тела, т. к. в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются. Поэтому ускорение тела, а, следовательно, и его траектория не зависит от массы тела. Если же все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение можно связать не со свойствами тел, а со свойствами самогó пространства в этой точке. Это позволяет ОТО трактовать тяготение

(гравитацию) как искривление пространственно-временного континуума.

Движение объектов в гравитационном поле происходит по геодезическим (кратчайшим) мировым линиям пространства-времени. Геодезические линии находят с помощью интервала – «расстояния» между двумя событиями в четырѐхмерном пространстве-времени. Интервал задаѐтся 10

независимыми компонентами метрического тензора (метрикой). Метрика описывает искривление пространства-времени и определяется из уравнений ОТО.

Уравнения тяготения Эйнштейна имеют следующий вид (по одинаковым верхним и нижним индексам производится суммирование):

где Rμν – тензор кривизны пространства-времени (тензор Риччи)

Γμμρ – символы Кристофеля:

,

gμν – метрический тензор;R = Rμρgμρ – скалярная кривизна (след тензора Риччи);Tμν – тензор энергии-импульса материи;μ, ν = 0, 1, 2, 3;x1, x2, x3 – произвольные пространственные координаты, x0 = ct – временная координата.

Уравнения Эйнштейна – это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно метрического тензора. Зная gμν как функции четырѐх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Уравнения тяготения Эйнштейна связывают компоненты метрического тензора gμν с величинами, характеризующими создающую поле материю. Компоненты метрического тензора gμν определяют квадрат интервала ds:

ds2 = gμνdxμdxν.

В сферической системе координат (r, ζ, θ) интервал принимает вид:

где a(t) – масштабный фактор; параметр k определяет кривизну пространства (k = –1, 0 или +1).

Тензор энергии-импульса в приближении идеальной жидкости имеет следующий вид:

где uν – 4-вектор скорости жидкости; p – давление жидкости; ρ – плотность энергии (материи).

Масштабный фактор

Масштабный фактор a(t) показывает, как с течением времени изменяется расстояние между фиксированными частицами в деформирующейся Вселенной. Другими словами, изменение масштабного фактора с течением времени описывает расширение или сжатие пространства.

Конкретный вид функции a(t) определяется уравнениями гравитационного поля ОТО. Для изотропного расширения Вселенной масштабный фактор определяется из уравнения:

где H(t) – параметр («постоянная») Хаббла.

Космологическое красное смещение

Космологическое красное смещение – это наблюдаемое для всех далѐких (гравитационно не связанных) источников (галактик, квазаров) уменьшение частот излучения (увеличение длин волн),

свидетельствующее о динамическом удалении этих источников друг от друга и, в частности, от нашей Галактики, то есть о нестационарности (расширении) Вселенной. Космологическое красное смещение связано с общим расширением пространства Вселенной и при малых скоростях (z << 1)

может быть интерпретировано как совместное действие эффектов Доплера и Эйнштейна. При u << c

космологическое красное смещение сводится к доплеровскому, а при u = 0 – к гравитационному.

Для нестационарной изотропной и однородной Вселенной величина космологического красного смещения определяется масштабным фактором a(t) пространства в моменты испускания (te) и

регистрации (to) излучения:

Чем больше космологическое красное смещение, тем «дальше» во времени (т.е. «моложе» по сравнению с нами относительно момента Большого Взрыва) расположен источник. В последние годы обнаружены квазары с zc ≈ 7 и галактики с zc > 8. Так, у квазара ULAS J1120+0641 z = 7,058,

что соответствует расстоянию в 12,9 млрд. св. лет, у галактики UDFy-38135539 z = 8,5549 ± 0,0002,

т.е. расстояние около 13,1 млрд. св. лет.

Для галактик величина красного смещения не может превышать 30. Этот предел связан с типичными размерами самих галактик. Для источника, находящегося на горизонте Вселенной, наблюдаемая частота стремится к нулю, а красное смещение бесконечно. В действительности величина космологического красного смещения ограничена значением zc ~ 1000, соответствующим реликтовому излучению, т.е. поверхности последнего рассеяния.

Космологические модели

Первые решения системы уравнений (7.2) были найдены самим А. Эйнштейном. Однако, находясь в контексте существовавших в то время представлений о неизменности Вселенной, он нашѐл лишь стационарные (т.е. независящие от времени) решения. Поскольку уравнения ОТО в виде (7.2) не допускают стационарных решений, Эйнштейну пришлось их модифицировать, введя т.н. Λ-

слагаемое (подробнее см. далее).

Первые нестационарные решения уравнений (7.2) были найдены русским математиком Александром Фридманом в 1922–1924 годах. Эти решения положены в основу космологических моделей эволюции Вселенной, называемых моделями Фридмана.

При ограничениях, накладываемых космологическим принципом, уравнения Эйнштейна сводятся к уравнениям Фридмана относительно масштабного фактора:

После деления второго из уравнений (7.4) на H2 (при использовании условия (7.3)) получим:

Первое слагаемое в (7.5) называется параметром плотности Ω:

Параметр плотности можно выразить через параметр кривизны пространства k:

Тогда при Ω < 1 кривизна пространства отрицательна (k = –1), при Ω > 1 – положительна (k = +1), а

при Ω = 1 – равна нулю (k = 0). Значение плотности энергии, при котором Ω = 1, называется

критической плотностью:

Параметр плотности теперь может быть выражен через критическую плотность:Ω = ρ/ρ0.

Здесь следует отметить, что, если пространство Вселенной описывается евклидовой геометрией (т.е.

если k = 0, или случай плоской Вселенной), то выражение для критической плотности может быть получено даже в рамках теории гравитации Ньютона. Эта плотность определяется величиной скорости убегания uII (второй космической скорости) некоторого объекта (например, галактики) с

поверхности однородного шара массой M = 4/3πρr3 в результате изотропного расширения Вселенной. В этом случае будет справедлив закон Хаббла (7.1), и, следовательно, можно записать:

откуда с очевидностью следует равенство (7.7). Если при этом исходная скорость объекта

(галактики) v = uII, то на бесконечности эта скорость стремится к нулю, а если v > uII, то – к

некоторой ненулевой величине.

В моделях Фридмана сценарий будущего Вселенной существенно зависит от соотношения между сегодняшними значениями критической плотности (фактически постоянной Хаббла, см. (7.7)) и

средней плотности вещества во Вселенной.

Если фактическая плотность меньше критического значения (ρ < ρc, т. е. v > uII), то тяготение не сможет остановить расширение. Поэтому, хотя расширение и будет замедляться, но оно не сменится сжатием. Качественная зависимость масштабного фактора для такого сценария показана на рисунке

(кривая 1). При этом пространство бесконечно, а при однородной плотности бесконечно и общее количество вещества во Вселенной. Геометрия пространства неевклидова (геометрия Лобачевского),

а его кривизна отрицательна. Примером поверхности второго порядка с постоянной отрицательной кривизной служит седловидная поверхность (гиперболический параболоид). Сумма углов треугольника, нарисованного на седловидной поверхности, меньше 180°.

Плоскость – пример поверхности второго порядка с постоянной нулевой кривизной

При средней плотности, равной критической (ρ = ρc, т.е. v = uII), скорость расширения стремится к нулю (кривая 2), и происходит замедление расширения. При этом кривизна пространства равна нулю, и пространство в среднем обладает евклидовой геометрией. Примером поверхности второго порядка с нулевой кривизной служит плоскость.

Сфера – пример поверхности второго порядка с постоянной положительной кривизной

Если же плотность больше критической (ρ > ρc, т.е. v < uII), то притяжение велико и наблюдаемое в настоящее время расширение должно в будущем смениться остановкой и сжатием (кривая 3). В этом случае Вселенная представляет собой замкнутое, но неограниченное трѐхмерное пространство. Его объѐм в каждый момент конечен, количество вещества во всей Вселенной имеет вполне определѐнное значение, не изменяющееся с течением времени. Геометрия пространства неевклидова

(геометрия Римана), а его кривизна положительна. Примером поверхности второго порядка с постоянной положительной кривизной служит сфера. Сумма углов треугольника, нарисованного на сфере, больше 180°.

Для суждения о том, является ли Вселенная бесконечной (открытой) или замкнутой, сравнивается сегодняшнее значение плотности ρ с сегодняшним же значением Н0, от которого зависит ρc. С

течением времени ρ и Н меняются. Оказывается, однако, что изменение ρ и Н происходит так, что знак разности (ρ – ρc) не может измениться. Таким образом, если будет доказано, что сегодня ρ > ρc,

то это означает, что и всегда было и будет ρ > ρc, свойство замкнутости не может измениться с течением времени. Для принятого в настоящее время значения Н0 критическая плотность равна 9,23

× 10–30 г/см3.

Параметр Хаббла

Параметр Хаббла H0, параметр плотности Ω0 и параметр замедления

называются космологическими параметрами, значения которых определены для современной эпохи

(об этом сигнализирует индекс «0»). На основе их измерения можно делать выводы о свойствах и характеристиках Вселенной.

Значение параметра Хаббла постоянно уточняется, поскольку зависит от используемой теоретической модели и набора наблюдательных данных. Так, например, в соответствии с данными,

полученным спутником WMAP в результате исследований спектра реликтового излучения, параметр Хаббла равен 69,32 ± 0,80 км/(с Мпк). Другие модели и измерения также дают значение параметра Хаббла, близкое к 70 км/(с Мпк).

В процессе расширения Вселенной, если такое расширение происходит равномерно, постоянная Хаббла должна уменьшаться. Знание точного значения постоянной Хаббла весьма важно для космологии, поскольку, как уже отмечалось, Н определяет критическое значение средней плотности Вселенной. Кроме этого, постоянная Хаббла даѐт оценку времени, прошедшего после Большого Взрыва.

Если галактика удаляется с постоянной скоростью v и в настоящее время находится на расстоянии r,

то время еѐ удаления tH = r/v. По закону Хаббла v = Hr, и тогда находим, что tH = H–1. Таким образом, постоянная Хаббла имеет размерность частоты (с–1), а обратная ей величина имеет смысл характерного времени расширения Вселенной на текущий момент. Это время по последним данным составляет 13,73 ± 0,12 млрд. лет.

Здесь следует ещѐ раз вернуться к закону Хаббла и отметить, что он является только линейным приближением к красному космологическому смещению, и поэтому закон Хаббла плохо выполняется для галактик на очень больших расстояниях (миллиарды св. лет), которым соответствует величина zc > 1. Кроме этого, закон Хаббла также плохо выполняется или совсем не выполняется для объектов, находящихся на расстоянии ближе 10–15 млн. св. лет, поскольку кроме космологических скоростей, обусловленных расширением Вселенной, галактики обладают также собственными (или пекулярными) скоростями (величины которых составляют от нескольких сотен до 1000 км/с).

Космологическая постоянная

Как уже отмечалось выше, для получения стационарного решения уравнений (7.2) А. Эйнштейн дополнил их Λ-слагаемым (или космологическим слагаемым):

где Λ – космологическая постоянная.

С учѐтом ненулевого значения Λ уравнения (7.4) для масштабного фактора и равенство (7.5)

принимают вид:

где pm и ρm – давление и плотность материи Вселенной.

Теперь можно определить параметры плотности материи, кривизны и энергии вакуума:

59. Модель горячей Вселенной. Основные этапы эволюции Вселенной. Большой взрыв. Космическая инфляция. Зарядовая асимметрия. Электрослабая эпоха.

Эпохи кварков, адронов, лептонов. Эпоха излучения, нуклеосинтез.

Рекомбинация водорода и реликтовое излучение. «Тѐмные века». Реионизация водорода и образование структуры Вселенной.

Основные этапы эволюции Вселенной. Большой взрыв.

Cовременная теория происхождения и эволюции Вселенной – теория Большого Взрыва, или теория Горячей Вселенной.

По современным представлениям, наблюдаемая нами сейчас Вселенная возникла 13,73 ± 0,12 млрд.

лет назад из некоторого начального «сингулярного» горячего состояния с температурой более 1032

K (планковская температура) и плотностью более 1094 г/см3 (планковская плотность), и с тех пор непрерывно расширяется и охлаждается. В «истории» Вселенной принято выделять несколько эпох.

Ранняя Вселенная (Планковская эпоха) представляла собой в высокой степени однородную и изотропную среду с необычайно высокой плотностью энергии, температурой и давлением. В

результате расширения и охлаждения во Вселенной произошли фазовые переходы, аналогичные конденсации жидкости из газа, но применительно к элементарным частицам.

Начало расширения Вселенной условно называют Большим Взрывом. Неверно представлять начало эволюции Вселенной – Большой Взрыв – как процесс, происходивший во времени и пространстве.

Большой Взрыв дал начало времени и породил пространство, и дальнейшее расширение Вселенной – это расширение именно пространства Вселенной, в котором существует материя Вселенной.

В течение 10−43–10–35 с после Большого Взрыва (эпоха Великого объединения) происходит отделение гравитационного взаимодействия от остальных фундаментальных взаимодействий.

Космическая инфляция

В период времени 10−35–10−31с происходит экспоненциальное расширение Вселенной, или космическая инфляция.

Расчѐты позволяют утверждать, что при температуре 1032 K и плотности 1094 г/см3 в веществе возникает отрицательное давление, и в подобных условия гравитация неизбежно должна была приводить не к притяжению, а к взаимному отталкиванию частиц.

Этап космической инфляции необходим для объяснения ряда наблюдательных фактов. Так, в начале этой эпохи в наблюдаемую сейчас часть Вселенной должно было входить примерно 1090 причинно-

несвязанных областей. Тогда для объяснения наблюдаемой однородности и изотропности Вселенной при отсутствии эпохи инфляции необходимо допустить одинаковость физических условий в гигантском числе причинно-несвязанных областей пространства. Если же допустить существование эпохи инфляции, то вся наблюдаемая сейчас Вселенная «выросла» только из одной причинно-

связанной области.

Электрослабая эпоха и эпоха кварков