§9. Элементы теории полезности.

Одной из основных проблем при принятии решений в условиях существенной неопределенности является оценка сравнительной полезности или иных исходов (альтернатив).

Обычно задача решается в два приема:

1. На первом этапе все исходы упорядочивают по степени предпочтения х1>x2>x3…,

2. На втором этапе пытаются путем введения на множестве исходов некоторой функции U(x) хЄХ «оцифровать» эту шкалу предпочтений.

(Множество исходов называют функцией полезности).

На этом пути много трудностей, некоторые носят принципиальный характер:

- во-первых, как предпочтение, так и полезность оценивает эксперт, поэтому все суждения носят крайне субъективный характер;

- во-вторых, даже эти субъективные суждения непросто вытащить из эксперта, здесь нужно высококвалифицированное общение с экспертом и продуманная тактика опроса;

- в-третьих, парные сравнения, применяемые для получения предпочтений, иногда могут приводить к зацикливанию транзитивности.

- в-четвертых, стоит только дополнить множество альтернатив (новые еще не рассматриваются при первом упорядочении), как функцию U(x) потребуется определить заново.

Однако в силу полной неопределенности ситуации, в которой приходится принимать решение не остается ничего лучшего, чем прибегать к теории полезности, стараясь в каждой конкретной ситуации избегать указанных выше проблем.

1. Предпочтение

Предпочтения, полученные путем парных сравнений - это бинарные отношения.

- Бинарные отношения и их свойства.

В декартовом произведении множество A на множество B называется АхВ=(а,b)аА,bВ образованное всеми упорядоченными парами, первый элемент которой принадлежит множеству А, а второй В.

- Некоторые свойства отношений:

Произвольное отношение между множеством А и множеством В условимся называть отношением для множества А. Будем называть множество(а,а)аАдиагональю квадрата А²

1. Отношение для множества А называетсярефлексивным, если для любого элемента аА: аа

Иначе говоря, отношение содержит.

2. Симметричность.- симметрично, еслиа,bА: аbbа; несимметрично, если из того, что аbba.

Среди несимметричных отношений выделяют антисимметричные.

Отношение для множества А называетсяантисимметричным, когда из того, что аbиbаа=b.

3. Отношение для множества А называетсятранзитивным, если:a,b,cAabbcac

4. Каждое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение для множества А называется отношением эквивалентности (- эквивалентность).

5. Каждое рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение для множества А называется отношением порядка.

На неформальном уровне, если с точки зрения эксперта исход Х₁предпочтительнее Х₂, то он пишет Х₁>Х₂, иначе Х₂>Х₁.

Если на данный момент эксперт не может решить, какой предпочтителен, то он пишет Х₁Х₂(равноценен). Эти рассуждения очень похожи на попытку эксперта ввести на множестве исходов отношение строгого порядка и эквивалентности. Для того, чтобы эта попытка была успешной, необходимо, как это делается в теории множеств, задать свойства отношений к предпочтениям. В качестве базового возьмем >, а отношение безразличия;xy(хбезразличенy, тогда и только тогда, когда неверно, чтохпредпочтительнееy, и неверно, чтоyпредпочтительнее х)

Аналогично можно определить xy.

Потребуем, чтобы отношение предпочтительнее было нерефлексивными, несимметричными и транзитивными, т.е. это фактически отношение строгого порядка отношение безразличия рефлексивно, оно симметрично по определению и если еще потребовать транзитивности, то фактически мы получим отношение эквивалентности, тогдаxyбудет аналогом отношения порядка. Однако, учитывая субъективный характер суждений экспертов, надо еще потребовать, чтобы отношениебыло связно (xиy: либоxy, либоyx).Но здесь могут возникнуть неприятности, связанные с требованиями эксперта соблюдения транзитивности, отношения предпочтения и безразличия.

Пример:ученому предложили выбрать место работы:

Х – в качестве ассистента в известном университете с окладом 15 тыс. дол.

Y– в качестве доцентк в университете с окладом 18 тыс. дол.

Z– в качестве профессора в колледже с окладом 21 тыч. дол.

X>Y Y>Z Z>X (X>Y)(Y>Z)X>Z