МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
.pdf1 |
∫(6sin x +1) |
2 / 7 d(sin x 6 + |
1 |
|
(6sin x + |
1)9 / 7 |
+ C . |
|
|||||||||||||||||
= |
|
1)= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
9 /7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx=∫x2 (7x3 − 4)−7 / 4 dx= ∫ x2dx |
= |
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 (7x3 − 4)7 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
= |
1 |
|
|
∫(7x3 − 4)−7 / 4 d( |
x3 |
21− 4)=[t = 7x3 − 4]= |
1 |
|
∫t−7 / 4dt = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
=− 4 (7x3 − 4)−3/ 4 + C .
1 t−3/ 4 + C =
21 − 3/ 4
63 Вместо внесения под знак дифференциала можно применять метод замены
переменной, который также называют методом подстановки:
|
|
|
|
x = ϕ(t) |
|
|
|
′ |
|
' |
(t)dt. |
∫u(x)dx = dx = ϕ (t)dt |
= ∫u(ϕ(t))ϕ |
||
|
|
|
|
t = ϕ −1(x) |
|
|
|
Используя замену переменной задачи 5 и 6 будут решаться так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 6sin x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
−1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5a. ∫cos x7 (6sin x +1) |
|
|
dx = x = arcsin |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 − (t −1) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
Т.к. cos x = 1− sin |
|
|
|
x |
= 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
36 |
− (t −1) |
, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(t)2 / 7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
|
36 − (t −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
36 − (t −1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
∫t2 / 7dt = |
1 t9 / 7 |
1 |
|
|
(6sin x +1)9 / 7 |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
6 9/ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 /7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7x3 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6a. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx= |
x |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 (7x3 − 4)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
+ |
4 |
|
−2 / 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
t + |
4 |
2 / 3 |
−7 / 4 |
1 t + |
4 −2 / 3 |
1 |
|
∫t |
−7 / 4 |
|
1 |
|
t |
−3/ 4 |
|||||||
= ∫ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
21 |
7 |
|
|
21 |
|
|
|
21 − 3/ 4 |
=− 4 (7x3 − 4)−3/ 4 + C . 63
Метод интегрирования по частям ( ∫udv = uv − ∫vdu) − еще один
важный метод интегрирования, который продемонстрируем на следующем
примере:
−x |
u = x; |
|
|
du = dx |
|
|
−x |
−x |
−x −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− x |
|
|
|
=− xe |
|
+ ∫e dx =− xe |
− e + C . |
||
7. ∫ xe dx= |
dx; |
v = −e |
− x |
|
||||||
|
dv = e |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям применяется для следующих, часто
встречающихся случаев (Pn (x) − многочлен степени |
n ): ∫Pn (x)sin kxdx, |
||
∫Pn (x)coskxdx, |
∫Pn (x)ekxdx (здесь |
через u следует |
обозначить Pn (x)); |
∫Pn (x)lnk xdx, |
∫Pn (x)arcsin kxdx, |
∫Pn (x)arccoskxdx, |
∫Pn (x)arctgkxdx , |
∫Pn (x)arcctgkxdx (в этих случаях через dv следует обозначить Pn (x)dx ). Отметим, что по заданному дифференциалу dv, функция v определяется неоднозначно (v = ∫dv ), поэтому следует выбирать в качестве v наиболее
простую формулу.
Далее при нахождении неопределенного интеграла надо изучить методы интегрирования некоторых классов функций. В примере 8 используется
Ax + B
правило интегрирования выражений вида ax2 + bx + c − в частности, надо выделить полный квадрат, чтобы узнать какую замену переменной следует
сделать (аналогично интегрируются выражения вида |
|
Ax + B |
|
|
): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = x + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
dx = x = t − |
4 = |
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 |
+ 8x +15 |
∫ |
|
(x + 4)2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= dt |
|
|
|
|
|
∫ t2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
t −1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= ∫t |
|
|
|
|
1 |
dt + 2∫ |
|
1 |
|
|
dt = ∫tdt = |
t |
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
d( |
|
2 −1) + ln |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
−1 |
2 |
t +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
−1 |
|
t |
|
|
|
− |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
+ C = |
1 |
ln |
|
x2 + 8x +15 |
|
+ ln |
|
|
x + 3 |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
ln |
|
t2 −1 |
|
+ ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t +1 |
|
x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В следуюшем примере применяем метод интегрирования выражений вида
Pn (x)
ax2 + bx + c
интеграл от этой дроби можно представить в виде суммы двух слагаемых:
112
|
|
|
Pn (x) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(1) |
∫ |
|
|
dx = Qn−1(x) ax2 + bx + c +α ∫ |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ax2 + bx + c |
ax2 + bx + c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Qn−1(x) — многочлен с неопределенными коэффициентами степени n −1. Чтобы найти коэффициенты этого многочлена, а также постоянную
αнадо:
1.продифференцировать обе части равенства (1),
2.затем умножить обе части полученного равенства на ax2 + bx + c (после чего получим равенство двух многочленов)
3.приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x
4.решить полученную систему линейных уравнений.
|
|
2 |
x2 − 7x +18 |
dx=(Ax + B) |
|
|
|
|
|
+ α ∫ |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||
9. ∫ |
x2 − 4x + 20 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 − 4x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− 4x + 20 |
||||||||||
|
|
Сначала находим A,B,α . Для этого дифференцируем левую и правую |
||||||||||||||||||||||||||||||||
часть предыдущего равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
2 − 7x +18 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 4 |
|
|
|
+ |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
||||
A x2 − 4x + 20 + (Ax + B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 x2 − 4x + 20 |
|
x2 − 4x + 20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Отсюда получаем |
2x2 − 7x +18= A(x2 − 4x + 20) + (Ax + B)(x − 2) + α . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Теперь приравниваем коэффициенты при x2 , x1, x0 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 : 2 = A+ A A = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x1 : − 7 = −4A − 2A+ B = −6 + B B = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x0 : 18 = 20A− 2B + α = 22 + α α = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
И, наконец, находим интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
d(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
= ln |
x − 2 + x2 − 4x + 20 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 20 |
|
(x − 2)2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
∫ 2x2 − 7x +18 dx=(x −1)x2 − 4x + 20 − 4ln x − 2 + x2 − 4x + 20 + C . x2 − 4x + 20
Теперь можно показать применение интегрирования по частям на более сложном (по сравнению с примером 7) примере:
|
|
|
|
|
|
|
− dx |
|
|
|
|||
|
|
u = arccos x, du = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. ∫(10x − 4)arccos xdx = |
|
|
|
1− x2 |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
dv = (10x − 4)dx, v = 5x |
|
4x |
|||||||||
=(5x2 − |
4x) arccos x + ∫ |
5x2 |
− 4x |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113
Получившийся интеграл находим так (см. предыдущий пример):
|
5x2 |
− 4x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
dx |
= (Ax + B) 1− x2 +α ∫ |
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
− x2 |
|
1− x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Дифференцируем обе части этого равенства: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
5x2 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
|
|
|
+ |
|
α |
|
|||||
|
|
|
= A 1− x2 + (Ax + B) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
2 1− x2 |
1− x2 |
|
Умножаем обе части полученного равенства на 1− x2 : 5x2 − 4x = A(1− x2 ) − x(Ax + B) + α
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , находим значения неизвестных величин A,B,α :
x2 : 5 = −A − A A = − 5 2
x1 : − 4 = −B B = 4
x0 : 0 = A+ α = − 5 + α α = 5
22
Теперь продолжаем решать исходную задачу: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
x + 4) |
|
|
+ |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
||
=(5x2 − 4x) arccos x + (− |
1− x2 |
∫ |
|
|
|
dx = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− x2 |
|||||||||||||
2 |
2 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
=(5x2 − 4x − |
) arccos x + (− |
x + 4) 1− x2 |
+ C . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В примерах 11 и |
12 продемонстрировано применение теории |
интегрирования рациональных дробей. Напомним, что дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены, называется рациональной дробью. Пусть Pn (x)− многочлен степени n , Qm (x)− многочлен степени
m, тогда R(x) = Pn (x) − рациональная дробь. Если n < m , то рациональная
Qm (x)
дробь называется правильной, а в противном случае (т.е. если выполнено неравенство n ≥ m ) неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух слагаемых: многочлена и
правильной рациональной дроби. Поэтому |
|
надо |
уметь интегрировать |
|||
|
|
A |
|
и |
Mx + N |
|
правильные рациональные дроби. Дроби вида |
|
|
|
|
, |
|
|
(x − a)α |
|
(x2 + px + q)β |
|||
где a, p,q, A,M , N − вещественные числа, |
α,β − |
|
натуральные числа, |
p2 − 4q < 0 (т.е. уравнение x2 + px + q = 0 не имеет вещественных корней), называются элементарными рациональными дробями. Справедливо утверждение:
Теорема о разложении правильной рациональной дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
114
элементарных рациональных дробей.
При практическом применении этой теоремы полезны следующие утверждения ( R(x) = P(x) − правильная рациональная дробь):
|
Q(x) |
|
|
|
1. Пусть |
Q(x) = (x − a)k Q |
(x), |
Q |
(a) ≠ 0, k ≥1. Тогда правильная дробь |
|
1 |
|
1 |
|
R(x) = P(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
следующим образом: |
P(x) |
= |
A |
+ |
P1(x) |
|
|
|
|
. |
|||
Q(x) |
(x − a)k |
(x − a)k −1Q (x) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2. Пусть Q(x) = (x2 + px + q)k Q (x), |
p2 − 4q < 0, k ≥1, и многочлен Q (x) |
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
не делится на многочлен x2 + px + q . Тогда правильная дробь R(x) = P(x)
Q(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей следующим
образом: |
P(x) |
= |
|
Mx + N |
|
+ |
|
|
|
|
|
P1(x) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
Q(x) |
(x2 + px + q)k |
|
(x2 + px + q)k −1Q (x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) |
||||
Из этих утверждений следует, в частности, что если |
|
- правильная |
||||||||||||||||||||||||
(x − a)k |
||||||||||||||||||||||||||
рациональная |
дробь, то существуют такие |
числа |
A1,L, Ak , что |
|||||||||||||||||||||||
справедливо |
|
равенство |
|
P(x) |
|
|
= |
Ak |
+ |
Ak −1 |
+L+ |
A1 |
, а |
|||||||||||||
(x − a)k |
(x − a)k |
(x − a)k −1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
||||||||||||
правильную рациональную дробь |
|
|
|
P(x) |
|
можно представить так |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + px + q)k |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
P(x) |
|
= |
Mk x + Nk |
|
+L + |
M1x + N1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x2 + px + q)k |
(x2 + px + q)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. ∫ |
− 6x2 − 36x − 38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x −1)(x |
+ 3) |
2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы найти этот интеграл, применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших
дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6x2 − 36x − 38 |
= |
A |
|
+ |
B |
|
+ |
C |
|
. |
|
(x −1)(x + 3)2 |
x −1 |
(x + 3) |
2 |
x + 3 |
|||||||
|
|
|
|
Находим A,B,C из следующего равенства:
− 6x2 − 36x − 38 = A(x + 3)2 + B(x −1) + C(x −1)(x + 3) Подставляем x = 1 в обе части предыдущего равенства и находим
− 80 = 16A, откуда A = −5. Подставляем x = −3 в обе части предыдущего равенства и находим − 6 9 − 36 (−3) − 38 = −4B , откуда B = −4.
Приравнивая коэффициенты при x2 , получаем равенство
115
− 6 = A+ C = −5+ C , откуда следует, что C = −1. Итак, используя теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей, получили
|
∫ |
− 6x2 − 36x − 38 |
|
|
|
|
∫ |
− 5 |
|
− 4 |
2 |
|
−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
dx = |
|||
|
|
|
|
(x −1)(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
(x + 3) |
|
|
x + 3 |
||||||||||
=− 5ln |
|
x −1 |
|
+ |
|
|
4 |
|
− ln |
|
x + 3 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. ∫ |
|
|
|
4x2 + 7x |
+ 7 |
|
|
|
dx= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x + 2)(x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы найти этот интеграл, применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших
дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 7x + 7 |
= |
A |
|
+ |
Bx + C |
. |
|
(x + 2)(x2 + 2x + 3) |
x + |
2 |
(x2 + 2x + 3) |
|||
|
|
|
|
Находим A,B,C из следующего равенства:
4x2 + 7x + 7 = A(x2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x + 2)
Подставляем x = −2 в обе части предыдущего равенства и находим 9 = 3A, откуда A = 3. Приравниваем коэффициенты при x2 : 4 = A + B = 3+ B . Отсюда следует, что B =1. Приравниваем коэффициенты при x0 :
7 = 3A + 2C = 9 + 2C . Отсюда следует, что C = −1 . Теперь можем найти интеграл
3 |
+ |
|
|
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
d(x + 2) |
+ ∫ |
(x +1) − 2 |
|
||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx =3∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx= |
||||||||
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
x + 2 |
(x +1) |
2 |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||
x + 2 x |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= 3ln |
|
x + |
2 |
|
+ |
|
1 |
∫ |
d((x +1)2 +1) |
|
− 2∫ |
d(x +1) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
(x +1) |
2 |
+1 |
|
(x +1) |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= 3ln |
|
x + 2 |
|
+ |
1 |
ln((x +1)2 +1) − 2arctg(x +1) + C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим некоторые приемы интегрирования функций, содержащих |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m αx + β |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
радикалы. Пусть требуется найти ∫R x, |
|
|
γx + δ |
|
dx , где R − рациональная |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функция |
|
|
от |
|
двух |
аргументов, |
m − |
|
натуральное число, α,β,γ ,δ − |
константы, удовлетворяющие условию αδ − βγ ≠ 0. В этом случае делаем следующую замену переменной:
|
|
|
δtm − β |
m(αδ − βγ )tm−1 |
||
|
αx + β |
|
|
|||
t = m γx + δ , отсюда находим |
x = |
α − γtm , dx = |
(α −γtm ) |
dt, после |
||
|
|
|
|
116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(αδ − |
βγ )t |
m−1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
αx + β |
δt |
m |
− β |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
dt , т.е. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|||||||||
этого получаем ∫R x, |
|
γx + δ |
dx =∫R |
α |
− γt |
,t |
(α − γt |
) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получили |
интеграл |
от |
рациональной |
|
дроби. |
Если |
|
надо |
|
найти |
||||||||||||
∫R(x,m |
|
,n |
|
)dx, m,n |
|
|
||||||||||||||||
xk |
xl |
|
− натуральные числа, то вначале находим |
|||||||||||||||||||
наименьшее общее кратное чисел m и n . Пусть это будет p . Тогда |
p |
= m |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иp = n1 натуральные числа, следовательно замена переменной x = t p n
позволяет избавится от иррациональностей. Действительно, в этом случае
∫R(x,m |
|
|
,n |
|
|
|
|
)dx = ∫ R(t p ,tm1k ,tn1l ) pt p−1dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
xk |
xl |
т.е. |
|
получили |
интеграл от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональной дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10t − 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dx = 6t5dt = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t5dt = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
+ 6t − 27) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
66 x5 (3 x |
+ 66 |
|
x |
− 27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t |
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = t + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−10t − 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10z + 3dz = |
− 5 |
|
|
d(z − 36) |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
dt = |
t |
= z − 3 = |
∫ |
+ 3 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(t + 3)2 − 36 |
|
|
|
|
z2 − |
62 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ z2 − 36 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 36 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
z − 6 |
|
+ C =− 5ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
x |
− 3 |
|
+ C . |
|
||||||||||
=− 5ln |
z2 − 36 |
+ |
ln |
|
|
3 x |
+ 66 |
|
|
x − |
27 |
+ |
ln |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
z + 6 |
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
При интегрировании выражений вида sinn x cosm x, где n,m - целые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа, следует различать случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. n = 2k +1, т.е. n - нечетное число. Тогда |
∫sinn x cosm xdx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫sin2k +1 x cosm xdx = ∫sin x (sin2 x)k cosm xdx=(∫sin xdx = −cos x) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= −∫(1− cos2 x)k x cosm x d cos x = (t = cos x) = −∫(1− t2 )k tm dt = L |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.е. в этом случае вносим |
sin x под знак дифференциала и получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл от многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. m = 2l +1, т.е. m - нечетное число. Действуем аналогично предыдущему, но под знак дифференциала вносим cos x: ∫sinn x cosm xdx =
= ∫sinn |
x cos2l+1 xdx = ∫sinn x (cos2 x)i cos xdx = (∫cos xdx = sin x) = |
= ∫sinn |
x (1− sin2 x)l d sin x = (t = sin x) = ∫tn (1− t2 )l dt = L |
3. Если |
n и m - четные числа, т.е.если n = 2k, m = 2l , тогда следует |
применить формулы ”удвоения аргумента”:
2cos2 α =1+ cos2α, 2sin2 α =1− cos2α. В этом случае получаем
117
|
|
|
|
n |
|
cos |
m |
xdx = |
|
|
2k |
x cos |
2l |
xdx = |
|
1− cos2x k |
1 |
+ cos2x l |
|||||||||||||||
∫sin |
|
x |
|
∫sin |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
После чего выполняем алгебраические преобразования и вновь, если |
|||||||||||||||||||||||||||||
необходимо, применяем вышеописанную процедуру. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В примерах 14-15 показано как можно интегрировать произведение |
|||||||||||||||||||||||||||||
функций sin x и cos x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. ∫sin2 (5x + 2)cos4 (5x + 2)dx= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
1 |
|
∫sin2 (5x + 2)cos4 (5x + 2)d(x 5+ 2)=[t = 5x + 2]= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
∫sin |
|
|
1 |
|
|
1− cos2t |
1 |
+ cos2t |
2 |
1 |
∫(1− cos |
2 |
|
+ cos2t)dt = |
|||||||||||||||||
= |
|
|
2 t cos4 tdt = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt= |
|
|
|
2t)(1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
∫sin2 2t (1+ cos2t)dt = |
1 |
∫(1− cos4t)dt + |
1 |
∫sin2 2td(sin 2t)= |
|
|||||||||||||||
40 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
= |
|
t − |
|
sin4t + |
|
sin |
|
2t |
+ C = |
|
− |
|
sin(20x + 8) + |
|
sin |
|
(10x + 4) |
+ C . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
80 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
1 16 |
|
320 |
|
|
|
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 (4x |
−1) |
|
|
t |
= 4x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. ∫ |
|
cos8 (4x |
|
dx = x |
= (t +1)/ 4 = |
|
|
|
|
∫sint |
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
cos8 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dt / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
− cos2 t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−8 |
|
|
−6 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
=− |
|
|
∫ |
|
|
|
|
d(cost)=[z = cost]=− |
|
|
|
∫(z |
|
|
− z |
|
|
)dz = |
|
|
− |
|
|
|
+ C = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28z7 |
20z5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
cos8 t |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
28cos7 (4x −1) |
20cos5(4x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Если подинтегральное выражение является рациональной дробью от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx (или от |
ctgx ), то замена переменной вида |
t = tgx |
(соответственно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
t = ctgx) приведет к интегралу от рациональной дроби аргумента |
t : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2 |
+1 |
|
|
t = tgx |
|
|
t |
2 |
+1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
d(2t − 3) |
|
|
|
|||||||||
16. ∫ |
|
|
dx = x = arctgt |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2tgx − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t − 3 1 |
+ t |
2 |
|
|
2t − 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dt /(1+ t2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
ln | 2t − 3| +C = |
1 |
ln | 2tgx − 3| +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если требуется найти интеграл от рациональных дробей, аргументами которых являются тригонометрические функции sin x и cos x, то часто применяется универсальная тригонометрическая подстановка:
118
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−11sin x − 3cos x −12 dx = x = 2arctg t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin x + 2cos x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
1− t2 |
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
−11 |
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
− 9t2 − 22t −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t2 +1 |
t2 +1 |
|
|
|
|
= ∫ |
2dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
1− t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
(6t + 4) (t |
2 |
+1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
2 + |
1 |
t2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
A |
+ |
|
Bt + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3t + 2 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Находим |
A,B,C из равенства |
|
|
− 9t2 − 22t −15 = A(t2 +1) + (Bt + C) (3t + 2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сначала |
|
в |
|
|
обе |
|
|
|
части |
|
|
|
этого |
|
|
равенства |
|
|
подставляем t = − |
2 |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
− 9 |
4 |
|
+ 22 |
2 |
−15 = − |
13 |
= A |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A = − 3 . Затем приравниваем коэффициенты при t2 и при t0 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 : − 9 = A + 3B = −3+ 3B B = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t0 : −15 = A+ 2C = −3+ 2C C = −6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь продолжаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
− 3 |
∫ |
|
d(3t + 2) |
+ |
− 2 |
∫ |
d(t2 +1) |
− 6∫ |
|
|
dt |
|
= |
− ln |
|
3t + 2 |
|
− ln |
|
t2 +1 |
|
− 6arctg t + C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3t |
+ 2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− ln 3tg x + 2 − ln tg2 x +1 − 3x + C .
22
При интегрировании выражений вида R(x,a2 − x2 ) , R(x,a2 + x2 ) ,
R(x, |
x2 |
− a2 ) |
|
можно |
применять |
тригонометрические подстановки, |
||||||||||||||||
позволяющие избавиться от квадратного корня. Для выражений вида |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
|
|
|
|
||||||
R(x, |
x2 |
− a2 ) |
|
делаем |
замену |
переменной |
|
, |
для |
выражений |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
asint |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R(x, |
a2 |
+ x2 ) |
|
осуществляем замену |
x = a tgt |
, и, наконец для выражений |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = asint , |
|
|
|
|||||||||||
R(x, |
a2 |
− x2 ) |
|
применяем подстановку |
как |
это |
показано в |
|||||||||||||||
следующем примере |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
− 4x |
|
|
|
|
2 |
t − 4sint |
|
|
|
|
|
|
|||||
18. ∫ |
5x |
|
dx = dx = costdt = ∫ |
5sin |
|
costdt = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119
= |
5 |
∫(1− cos2t)dt − 4∫sintdt = |
5 |
t − |
5 |
sin2t + 4cost + C = |
|
|
|
||||
2 |
2 |
4 |
|
=5 arcsin x − 5 sin(2arcsin x) + 4cos(arcsin x) + C . 2 4
Задачи для самостоятельного решения.
Найти неопределенные интегралы:
1.∫(4x3 − x)dx ;
2.∫(x2 + 3x2 )2 dx ;
3. |
∫ |
3x − 4x2 |
dx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x5 |
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
24 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
3 |
|
|
x |
+ 4x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
∫ |
3x sin x − 4x3 |
dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
∫(2x + x2 )dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
∫ |
8x |
+ 3x x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
∫(2cosx − 3ex ) |
dx ; |
||||||||||||||||||||||
10. |
∫(tg2 x + |
1 |
|
|
)dx ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
tg |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
∫(3sin x − 10) |
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||
12. |
∫ |
cos2x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 − 4x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 + 4x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
+ 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
− 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 − 9x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
18. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 + 3x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4x |
2 |
− |
|
25 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
∫(3x − 2)11 dx ; |
||||||||||||||||||||
22. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5x |
|
|
+ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
23. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
(2x + |
3) |
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
24. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
(8 − 5x)4 |
||||||||||||||||||
|
∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
25. |
(7x − 2)3 dx ; |
||||||||||||||||||||
26. |
∫sin(3x − 4)dx ; |
||||||||||||||||||||
27. |
∫cos(4 − x)dx ; |
||||||||||||||||||||
28. |
∫e−7x+12dx ; |
||||||||||||||||||||
29. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
2 |
(5x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30. |
∫ |
|
xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31. |
∫ x(x2 + 7)21 dx ; |
||||||||||||||||||||
32. |
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
8x2 |
|
|
− 4 |
||||||||||||||
33. |
∫ xsin(2x2 |
|
+ 3)dx ; |
||||||||||||||||||
34. |
∫ x2 2− x3 |
|
dx ; |
||||||||||||||||||
35. |
∫ |
x2dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
6 |
|
+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36. |
∫ |
|
x3dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
8 |
|
− 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||
37. |
|
|
9sin x − 2 |
dx ; |
120