МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
.pdf175. lim |
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9x |
2 − 3x − 8 − 2 |
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x +1 |
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x→−1 |
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4x2 − 6x −1 − |
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176. |
lim |
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53 |
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x + 3 |
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x → −3 |
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3x2 +8x + 5 − |
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177. |
lim |
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33 |
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x − 2 |
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x → 2 |
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6x2 |
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+ 3x − 4 − |
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178. lim |
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x − 2 |
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x→2 |
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3x2-3x + 4 − |
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179. lim |
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x − 2 |
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x→2 |
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4x2-5x + 4 − |
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180. lim |
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x − 2 |
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x→2 |
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(−4x−3) |
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2x2 |
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− 2x − 7 |
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(5x−7) |
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181. lim |
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2 |
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x→∞ |
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6x |
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− x −1 |
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(3x−7) |
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6x2 |
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+ |
8x − |
3 |
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(−7x−4) |
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182. lim |
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2 |
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x→∞ |
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6x |
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+ |
3x + 9 |
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(−4x+7) |
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4x2 |
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+ |
6x − |
|
7 |
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(−9x+1) |
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183. lim |
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2 |
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+ |
9x − |
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x→∞ |
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5x |
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6 |
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(5x−3) |
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8x2 |
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+ 6x − 9 |
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(7x−3) |
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184. lim |
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2 |
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x→∞ |
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6x |
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− x + 9 |
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(6x+6) |
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x2 |
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− |
6x − |
8 |
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(x−1) |
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185. lim |
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2 |
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x→∞ |
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9x |
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+ 8x − 6 |
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(−6x−5) |
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6x2 + 6 |
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(9x−1) |
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186.lim |
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2 |
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x→∞ |
5x |
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− 9x − 7 |
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(3x−3) |
|||||||||||
|
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|
4x2 |
|
− |
3x − |
7 |
|
|
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|
(−9x−8) |
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187. lim |
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2 |
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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x→∞ |
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x |
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− 7x − 5 |
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(−8x−5) |
|||||||||||
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4x2 |
|
+ |
4x + |
|
3 |
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|
(−5x−4) |
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188. lim |
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|
|||||||
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|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
+ 8x + 4 |
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
(x+8) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2x2 |
|
+ |
5x + |
1 |
|
|
|
|
(2x+2) |
|||||||||||||||||||||||||
189. lim |
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; |
|||||||||||||||
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|
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|
2 |
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|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
− 7 |
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|
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|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
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|
7x |
|
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(−4x−9)
7x2 + 6x − 5 190. lim x→∞ 2x2 − x − 7
5x + 5 − x+9 191. lim
x→∞ 5x + 9
5x + 3 −6x−4 192. lim
x→∞ 5x − 2
x + 4 −8x−4 193. lim
x→∞ x + 2
|
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6x |
|
− 3 6x+2 |
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||||||||||
194. |
lim |
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|||||
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x→∞ |
6x − 8 |
|
|
|
||||||||||
|
|
5x − 9 8x−4 |
|
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||||||||||
195. |
lim |
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|
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|||||
|
x→∞ |
5x + 3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x −1 7x+8 |
|
|
|
||||||||||
196. |
lim |
|
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|
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|||
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|
|
|
|
|
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||||||
|
x→∞ x + 7 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
4x |
|
− 7 2x−3 |
|
||||||||||
197. |
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
4x + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
1 |
|
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|
||||||||||
|
|
7x |
|
+ 6 −2x−9 |
|
||||||||||
198. |
lim |
|
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|
|
|
|
7x + |
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
x→∞ |
9 |
|
|
|
||||||||||
|
|
8x − 9 −x−6 |
|
||||||||||||
199. |
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
8x + 7 |
|
|
|
||||||||||
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|
6x − |
2 −7x+6 |
|
|||||||||||
200. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
4x2 − 2x + |
4 6x−8 |
||||||||||||
201. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
− 6x + |
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
4x |
|
|
|
6 |
|||||||||
|
4x2 − 6x + 2 |
−5x+9 |
|||||||||||||
202. |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
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|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ 4x |
|
|
|
+ 2x − 5 |
||||||||||
|
|
5x2 + 9x + |
1 |
−8x+2 |
|||||||||||
203. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
− 6x − |
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
5x |
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
7x2 + 9x + |
3 −7x−1 |
||||||||||||
204. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
+ 7x |
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
7x |
|
|
|
|
|
(7x+8)
;
81
|
|
3x2 + x + 2 |
−8x−9 |
||||||||||
205. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 5 |
|
8x−4 |
||||
206. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ x |
|
|
+ 7x − 8 |
|||||||||
|
|
|
6x2 + 9x − 7 |
|
6x + 8 |
||||||||
207. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ 4x − |
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
6x |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
7x2 − 9x + |
3 |
|
−8x−9 |
|||||||
208. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ 7x |
|
|
|
|
|||
|
x→∞ |
|
|
7x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x2 + 9x −1 |
4x+5 |
|||||||||
209. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
3x |
|
− 6x − 3 |
8x2 − 6x −9x−4
210.→∞ 2
x 8x
211.lim arctg4xlim
x→0 arcsin5x
212. |
lim |
arcsin9x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 arctg8x |
|||||||||
213. |
lim |
arcsin7x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 tg5x |
|||||||||
214. |
lim |
sin2x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||||
|
x→0 tg7x |
|||||||||
215. |
lim |
|
tg2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
sin 7x |
||||||||
216. |
lim |
|
sin 4x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
arctg9x |
|||||||
217. |
lim |
arcsin8x |
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
x→0 arctg3x |
|||||||||
218. |
lim |
|
tg9x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
sin 4x |
||||||||
219. |
lim |
|
− 2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 arcsin9x |
|||||||||
220. |
lim |
arctg6x |
; |
|
||||||
|
||||||||||
|
x→0 tg3x |
|||||||||
221. |
lim |
arctg(6x − 24) |
; |
|||||||
|
||||||||||
|
x→4 |
|
x2 −16 |
222. |
lim |
|
|
sin(9x − 9) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→1 |
|
|
x2 + 3x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
223. |
lim |
|
|
|
sin(7x + 7) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−1 3x2 − 4x − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
224. |
lim |
|
|
|
|
sin(4x − 4) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− 8x2 + 4x + 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
225. |
lim |
|
|
arcsin(x − 4) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
x2 + 3x − 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
226.lim |
|
arcsin(5x −15) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→3 9x2 − 21x −18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
227. |
lim |
|
|
|
arctg(2x + 8) |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−4 7x2 + 20x − 32 |
|
||||||||||||||||||||||||||
228. |
lim |
|
|
arcsin(5x − 20) |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
9x2 − 34x − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
229. |
lim |
|
|
|
|
sin(9x − 9) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
− 2x2 + 6x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
230. |
lim |
|
|
|
|
|
|
sin(3x − 6) |
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− 7x2 +11x + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x − sin x) |
; |
|||||||||||||||||||
231. |
lim |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
arcsin(π / 4 − x) |
|
||||||||||||||||||||||
232. |
lim |
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
arctg(π / 4 − x) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
233. |
lim |
|
|
|
|
|
8 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
2(cos x − sin x) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
234. |
lim |
|
|
|
|
8 cos x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
235. |
lim |
|
|
|
|
|
|
ctgx −1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
2(cos x − sin x) |
|
||||||||||||||||||||
236. |
|
|
|
2cos2 x − sin 2x |
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1− tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
237. |
lim |
|
|
|
|
|
|
1− tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2cos2 x − sin 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
238. |
lim |
|
cos(x + π / 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
tg(π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
4 |
− x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
239. |
lim |
|
|
ctg(x + π / 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ctgx −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
240. |
lim π / 4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
1− tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
241. |
lim |
sin(π / 4 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
cos(x + |
π |
4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
242. |
lim |
|
|
arcsin(π / 4 − x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
8 cos x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||
243. |
lim |
|
|
tg(π / 4 − x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
8 cos x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
244. |
lim |
|
|
|
arctg(π / 4 − x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
2(cosx − sin x) |
|||||||||||||||||||||||||||
245. |
lim |
cos(3x −1) − cos(5 − 3x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(x −1) |
||||||||||||||||||||||
246. |
lim |
sin(8x − 7) − sin(9 − 8x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(x −1) |
||||||||||||||||||||||
247. |
lim |
tg(2x −1) − tg(7 − 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin(x − 2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
248. |
lim |
|
|
|
|
|
1+ sin8x − |
|
|
|
1− sin8x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − π |
||||||||||||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
249. |
lim |
|
|
tg(4x − 3/ 4π ) − cos(8x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − π |
||||||||||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg 4x − |
|
|
|
π |
+ sin(6x) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
250. |
lim |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − π |
||||||||||||||||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
251. |
lim |
cos(2 + 5x) − cos(2 − 5x) |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
252. |
lim |
sin(3 + 6x) − sin(3 − 6x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
253. |
lim |
|
|
|
tg(1+ 4x) − tg(1− 4x) |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
254. |
lim |
|
|
|
|
|
1+ sin x − |
|
|
1− sin x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255. |
lim |
|
|
|
tg(π / 4 + 2x) − cos(8x) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1− 2sin |
+ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
256. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
257. |
lim |
|
|
|
3 -2sin(π /3 + 6x) |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
258. |
lim |
1- 2cos (π /3 + 2x) |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
259. |
lim |
|
|
3 - 2cos(π / 6 + 4x) |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
260. |
|
|
|
1+ tgx − |
1− tgx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
261. |
lim |
1- tg(π / 4 + 5x) |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
262. |
lim |
1- cos5 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
263. |
lim |
1- cos3 4x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
264. |
lim |
cos 7x − cos3 x |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
265. |
lim |
|
|
|
2 - 1+ cos4x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
266. |
lim |
sin(1+10x) - 2sin(1+ 5x) + sin1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||
267. |
lim |
tg(4 +14x) − 2tg(4 + 7x) + tg4 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
268. |
lim |
|
|
1+ 8xsin3x − cos4x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
269. |
lim |
1− cos9x |
cos3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
270. |
lim |
sin 7x − 7sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
271. |
lim |
tg6x − sin 6x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
272. |
lim |
|
tg2 9x − sin2 9x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
273. |
lim |
tg3 x − sin3 x |
|
||||
x5 |
|||||||
|
x→0 |
||||||
274. |
lim |
cos(1+ 8x) − cos (1− 8x) |
|||||
|
|
|
|||||
|
x→0 |
sin x |
|||||
275. |
lim |
sin(3 + 9x) − sin(3 − 9x) |
|
||||
|
|
||||||
|
x→0 |
arcsin x |
|||||
276. |
lim |
tg(1+ x) − tg(1− x) |
|
||||
|
|||||||
|
x→0 |
tgx |
277. lim 1+ sin x − 1− sin x
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
+ 5x − cos(6x) |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
278. |
lim |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
279. |
lim |
1− 2sin(π / 6 + 5x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
280. |
lim |
|
|
3 − 2sin(π /3 + 2x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
arcsin x |
||||||||||||
281. |
lim |
1− 2cos(π /3 + 6x) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
282. |
lim |
|
|
3 − 2cos(π / 6 + 4x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
283. |
|
|
|
1+ tg8x − |
1− tg8x |
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||
|
1 |
− tg |
|
+ 8x |
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
284. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
285. |
lim |
1− cos9x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
xarcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
286. |
lim |
1− cos3 9x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
287. |
lim |
cos 9x − соs 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
288. |
lim |
|
2 − 1+ cos8x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x arctg x |
||||||||||||||||||
289. |
lim |
sin(3 + 8x) − 2 sin(3 + 4x) + sin 3 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x tg x |
||||||||||||
290. |
lim |
tg(1+14x) − 2 tg(1+ 7x) + tg 1 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x arctg x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
291. |
lim |
1+ 8x sin |
4x − cos 7x |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x sin x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
292. |
lim |
1− cos x cos 2x |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
xsin x |
||||||||||||||||||
293. |
lim |
sin 3x - 3 sin x |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
294. |
lim |
tg 2x - sin |
2x |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
295. |
|
tg2 6x − sin |
2 6x |
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x4 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
296. |
|
tg3 x − sin3 |
x |
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sinx5 |
|
|
|
|
|
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||||||||
|
x→0 |
|
|
|
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|
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|
|
Исследовать непрерывность следующих функций:
297.y = 3 − 2x
3x + 5
298.y = sin (2x-1) 6x2 + x − 2
x +1, если х ≤ -1
299.y = х2 , если х > - 1
|
x2 |
, |
если х |
[-1, 1] |
||||
|
|
|
|
|
||||
300. |
y = |
|
|
|
|
|
|
[-1, 1] |
|
|
|
х |
|
, |
если х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5, |
|
если х < -1 |
||||
301. |
y = |
|
х |
3 |
+ 3х |
2 |
+1, если |
- 1 ≤ х ≤ 3 |
2 |
|
|
||||||
|
|
-4х + 2,если х > 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
+1, |
если х < 3 |
|
|||
302. |
y = |
|
|
2 − x, |
если 3 ≤ x |
< 4 |
||
7х |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 4, |
если х ≥ 4 |
|
||
|
|
2 |
|
|
84
|
3х-2, |
если х ≤ 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x − 3, |
|
если x |
< -2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
306. |
y = |
|
|
|
|
|
|
если -2 |
≤ x ≤ 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4, |
|
|||||||||||||||||||||||
303. |
y = log |
3 x, |
если |
|
|
|
< x |
≤ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, если x > 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x |
− 4 −1, |
если х > 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
|
x +1 |
если х < 0 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||
|
x −1 |
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||
|
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|
если 0 ≤ x |
≤ 2 |
|
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|||||||
304. |
y = 2x, |
|
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|
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|||||||||||
|
|
2 |
|
+1, |
|
если x |
> 2 |
|
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||||||
|
x |
|
|
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|
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|
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|||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
cos x, |
|
если x |
≤ 0 |
|
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|
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|||||||||
305. |
|
x |
, |
|
если 0 < x |
< 1 |
|
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|||||||
y = e |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
x, |
|
если |
x ≥ 1 |
|
|
|
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||||||||
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|
4.2 Производная |
|
|
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||||||||||||||||
|
Пусть |
|
функция |
y = f (x) |
определена |
|
на |
|
интервале |
(a,b). Дадим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
аргументу |
x (a,b) |
приращение |
|
|
|
x ≠ 0 |
такое, |
что x + |
x (a,b) , тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
функция y получит соответствующее приращение |
y = f (x + x) − f (x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если существует конечный предел |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
y |
= lim |
f (x + |
|
|
x) − f (x) |
, |
|
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|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
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x→0 |
x |
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
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|
|||
|
то он называется производной функции f (x) в точке x и обозначается |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x) = lim |
y |
= lim |
|
f (x + |
x) − f (x) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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x→0 |
x |
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|
x |
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||
|
Пример 1. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
Найти, исходя из определения, производную функции y = x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( x ≥ 0). |
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||||
|
Зададим приращение x , такое, что x + |
x ≥ 0 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
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|||
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y = |
|
|
x + |
x − |
|
|
x ; |
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||||||||
|
Поэтому |
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||||||
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|||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
y = |
|
|
|
x + |
x − |
|
|
x |
; |
|
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|||||||
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|
xx
Переходим к пределу при |
x → 0 и получаем |
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
y′(x) = lim |
y = lim |
|
x + x |
− |
x |
= lim |
|
|
x |
|
|
= |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x( x + x + |
|
|
|||||||||||
x→0 |
x x→0 |
x |
|
x→0 |
x) 2 x |
85
т.е. ( |
|
)′ = |
|
1 |
|
|
. |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
||||||||
2 |
|
x |
||||||
Основные правила дифференцирования. |
||||||||
Пусть |
f (x) , ϕ(x) - дифференцируемые функции, а с - некоторая |
постоянная, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:
1. c′ = 0 ;
2. ( f ± ϕ)′ = f ′ ± ϕ′ ; 3. (cf )′ = cf ′;
4. ( f ϕ)′ = f ′ ϕ + f ϕ′ ;
f ′ |
f ′ ϕ − f ϕ′ |
|
|||
5. |
|
|
= |
|
; ϕ ≠ 0 . |
|
|
||||
|
ϕ |
|
ϕ 2 |
|
6.Производная сложной функции.
Если функции y = f (u) и u = ϕ(x) имеют конечные производные, то
y′x = fu′ u′x
Таблица производных основных элементарных функций:
1. |
(um )′ = mum−1u′; |
11. (ctg u)′ = − |
1 |
|
|
|
|
= − cosec2u u′ ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
( |
|
|
|
)′ |
= |
|
|
1 |
|
u′ ; |
12. (arcsin u)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u′ ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 ′ |
= − |
1 |
u′ |
|
|
13. (arccos u)′ = − |
|
|
|
1 |
|
|
|
u′ ; |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−u 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
(eu )′ = euu′ ; |
|
|
14. (arctg u)′ = |
|
|
1 |
|
|
|
u′; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
(au )′ = auu′ln a; |
15. (arcctg u)′ = − |
|
|
|
1 |
|
|
|
u′ ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ u2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(lnu)′ = |
1 |
|
u′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eu |
− e−u |
|
′ |
|||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
16. (sh u)′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= chu u′ ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u)′ = |
|
|
1 |
|
u′; |
17. (ch u)′ = |
eu |
+ e |
−u |
|
′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
(log |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= shu u′ ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ulna |
|
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2 |
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(sin u)′ = cosu u′; |
18. (th u)′ = |
shu ′ |
= |
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1 |
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u′; |
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8. |
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ch2 u |
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chu |
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9. (cosu)′ = −sin u u′; |
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chu |
′ |
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1 |
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u′. |
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19. (cth u)′ = |
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= |
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shu |
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sh2 u |
86
Пример 2. Найти производную функции y = x2 arctgx + |
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cos x |
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cos x + sin x |
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|||
y′ = (x2 )′arctgx + x2 (arctgx)′ + |
(cos x)′(cos x + sin x) − cos x(cos x + sin x)′ |
= |
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(cos x + sin x)2 |
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= 2x arctgx + |
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x2 |
+ − sin xcos x − sin2x + cos xsin x − cos2 x |
= |
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. |
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+ x2 |
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1 |
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(cos x + sin x)2 |
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||||||
= 2x arctgx + |
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x2 |
− |
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1 |
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|
. |
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||||
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+ x2 |
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(cos x + sin x)2 |
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1 |
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Пример 3. Найти производную y = lntg(2x + 3) . |
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Берем производную от y |
как сложной функции |
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y = ln(u(v(x))), где u = tgv , v = 2x + 3. |
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y′ |
= |
1 |
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uυ′ v′x , где u(v(x)) = tg(2x + 3), |
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u(v(x)) |
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u′ = |
1 |
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; v′ = 2. |
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cos2 v |
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υ |
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x |
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Итак, |
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′ |
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1 |
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1 |
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y |
= tg(2x |
+ 3) |
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cos2 (2x + 3) |
2. |
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Логарифмическое дифференцирование
В некоторых случаях для нахождения производной заданную функцию логарифмируют, а затем полученное выражение дифференцируют. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.
Пример 4. Найти производную функции y = (sin x)tgx
Прологарифмировав заданную функцию, получим ln y = tgxlnsin x . Находим производные от сложных функций в левой и правой частях равенства
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