МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
.pdf6. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Двойной интеграл. Рассмотрим на плоскости OXY область (D ), ограниченную замкнутой кривой.
У
yj
Х
0 |
xi |
Разобьем область (D ) на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние xi , а по оси у – на yj .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку P(xi , yj ) и
составим интегральную сумму
∑ f (xi , yj )Sij
i, j
где f = f (x, y) - функция непрерывная и однозначная для всех точек области ( D ), Si j - площадь частичной области. Если при стремлении к нулю шага
разбиения области ( D ) интегральные суммы ∑ f (xi , yj )Sij имеют конеч-
i, j
ный предел, не зависящий от выбора точек Р, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области (D ) и обозначается
∫∫ f (x, y)dxdy
(D)
Теорема. Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области (D ), то двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy существует.
(D)
Свойства двойного интегралв.
1) ∫∫dxdy = S - площадь области (D )
(D)
151
2) ∫∫[f1(x, y) + f2 (x, y)]dxdy = ∫∫ f1(x, y)dxdy + ∫∫ f2 (x, y)dxdy
(D) (D) (D)
3) ∫∫kf (x, y)dxdy = k ∫∫ f (x, y)dxdy (k =const)
(D) (D)
4) Если D = D1 + D2 , то ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy
(D) |
(D1) |
|
|
(D2 ) |
Вычисление двойного интеграла. |
|
|
|
|
Теорема. Если функция |
f (x, y) непрерывна в замкнутой области (D ), |
|||
ограниченной линиями x = a, |
x = b , (a < b), |
y = ϕ(x), |
y =ψ (x) , где ϕ и ψ - |
|
непрерывные функции и ϕ ≤ψ , тогда |
|
|
|
|
|
b ψ (x) |
|
b ψ (x) |
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dy dx = ∫dx |
∫ f (x, y)dy |
|||
(D) |
a ϕ(x) |
|
a ϕ(x) |
У
y =ψ (x)
(D)
y = ϕ(x)
Х
0 |
a |
b |
Пример 1. Вычислить интеграл ∫∫(x − y)dxdy , если область ( D ) огра-
(D)
ничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2 .
152
у
y = x2
4
х
02
Имеем 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x2 , поэтому:
|
2 x2 |
|
|
y |
2 |
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
4 |
|
x |
5 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
3 |
− |
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
|
= 4 − 3 2 |
= 0 8 |
|||
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx ∫ (x − y)dy = xy − |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(D) |
0 0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
10 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Если функция |
f (x, y) |
непрерывная в замкнутой области (D ), ог- |
|||||||||||||||||||||||||
раниченной линиями y = c, y = d(c < d) , x = Φ(y) , x = Ψ(y) (Φ(y) ≤ Ψ(y)), то |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d Ψ(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy |
|
|
∫ f (x, y)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(D) |
|
|
|
|
|
|
c |
|
Φ(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у
8 y = 8
|
х |
y = x30 |
2 |
x = 0 |
|
Пример 2. Вычислить интеграл ∫∫xydxdy , если область (D ) ограни-
(D)
чена линиями y = x3 , y = 8, x = 0 . Поменять порядок интегрирования
153
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Имеем ∫∫ xydxdy = ∫dx ∫ |
xydy = ∫dy ∫xydx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(D) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 y |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
y |
|
|
|
8 |
|
|
|
yx |
2 |
|
|
8 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∫dy ∫ |
|
xydy = ∫dy |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
y |
|
dy = |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
8 |
|
= |
|
|
|
2 |
= 48, а также |
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
2 8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
8 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
256 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫dx ∫ xydy = ∫dx |
xy |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
32x − |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= 16 |
4 − |
2 |
|
= 64 − |
= 64 |
−16 |
= 48 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
x3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойной интеграл в полярных координатах.
При переходе от декартовых координат к полярным координатам имеет место формула:
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ,rsinϕ)rdϕ dr
(D) (D*)
где (D*) - область в полярной системе координат, соответствующая области (D ) в декартовой системе координат. Пусть область (D*) задается следующими неравенствами:
α ≤ ϕ ≤ β, r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ) . Тогда будем иметь:
|
|
β |
r2 (ϕ) |
|
∫∫ f (r cosϕ,r sinϕ)rdϕ dr = ∫dϕ |
∫ f (r cosϕ,r sinϕ)rdr . |
|||
(D*) |
|
α |
r1(ϕ) |
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить |
∫∫ 4 − x2 − y2dxdy , где ( D ) – круг x2 + y2 ≤ 4. |
|||
|
(D) |
|
Применив формулу перехода к полярным координатам, получим:
∫∫ |
4 − x2 − y2dxdy = ∫∫ |
4 − r2 cos2ϕ − r2 sin2ϕrdϕdr = ∫∫ 4 − r2rdϕdr . |
(D) |
(D*) |
(D) |
Область (D ) в полярной системе координат определяется неравенствами 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 2.
154
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
-2 |
0 |
|
2 |
-2
Заметим, что область ( D ) – круг – преобразуется в область (D*) -
прямоугольник. Имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(4 − r |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π 2 |
2 |
|
1 |
2π |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫∫ |
|
4 − r2rdϕdr = ∫dϕ∫ |
|
4 − r2rdr = − |
∫dϕ∫ |
(4 − r2) |
d(4 |
− r2)= − |
∫ |
dϕ |
|
) |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(D*) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2π |
|
3 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
16π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
8 |
∫ |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= − |
|
|
|
0 |
− 42 |
dϕ = |
|
dϕ = |
|
ϕ |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тройной интеграл. Пусть в замкнутой области (V) пространства OXYZ задана непрерывная функция f = f (x, y, z). Разбив область (V) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на конечное число элементарных частей, объемы которых обозначим Vijk и выбрав значение функции f
в некоторой точке этого элементарного объема f (xi , yj , zk ), составим инте-
гральную сумму ∑
i, j,k
Если при стремлении к нулю элементарных объемов Vijk разбиения области (V) интегральные суммы имеют конечный предел, не зависящий от выбора точек внутри Vijk , то этот предел называется тройным интегралом
от функции f (xi , yj , zk ) по области (V) и обозначается ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz
(V )
Теорема существования и свойства тройного интеграла аналогичны двойному интегралу.
Вычисление тройного интеграла.
Теорема. Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области
(V ) : z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), a ≤ x ≤ b, тогда
155
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
x2 +2 y2 |
4 |
2 |
|
4 |
2 |
|
Объем тела V = ∫∫∫dxdydz = ∫dx∫dy |
∫ |
dz = ∫dx∫dy(z) 0x |
2 +2 y2 |
=∫dx∫(x2 |
+ 2y2 )dy = |
||||
(V ) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
4 |
|
2 |
|
2y3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
16 |
|
|
2x3 |
|
16 |
|
|
4 |
|
2 |
|
3 |
|
16 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
dx x |
|
y + |
|
|
|
|
= |
∫ |
2x |
|
+ |
|
|
|
dx = |
|
+ |
|
|
x |
|
|
= |
|
4 |
|
+ |
|
|
4 |
= 64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейные интегралы. Рассмотрим на примерах вычисление криволинейных интегралов:
|
|
Пример 6. J = ∫xydx + (x − y)dy , где |
|
|
L - кривая |
y = x3 , пробегаемая от |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки A(0;0) , до точки B(2;8). Имеем dy = 3x2dx , отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x5 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
32 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J = |
|
x x3dx + (x − x3 )3x2dx = |
|
(3x3 + x4 − 3x5 )dx = |
|
x4 + |
|
− |
|
|
x6 |
|
= |
|
16 |
+ |
|
− |
|
64 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 6 |
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 12 + 6 4 − 32 = −13 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 7. J = ∫(y + x)dx + xdy , где |
L - кривая |
x = t2 + t |
, пробегаемая |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
|
+ 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
от точки A(2;3), до точки B(6;12) . Данным точкам соответствуют значения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t1 = 1; t2 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Имеем dx = (2t +1)dt, |
|
dy = (3t2 + 2)dt , отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
(t3 + 2t + t2 + t)(2t +1)dt + (t2 + t)(3t2 + 2)dt = |
2 |
|
(5t4 |
|
|
|
|
|
|
+ 5t)dt = |
|
|
6 |
|
|
|
|
t3 |
t2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
J = |
∫ |
∫ |
+ 6t3 + 9t2 |
t5 |
+ |
|
|
t4 + 9 |
|
+ 5 |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (32 |
+ 24 + 24 +10) − 1 |
+ |
|
|
+ 3 |
+ |
|
= 82 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. J = ∫x2ds , где L - кривая y = ln x , пробегаемая от точки
L
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
1+ x2 dx |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|||||||
A(1;0) , до точки B(e;1) . Имеем ds = |
1+ (y′x ) dx = |
1+ |
|
|
dx = |
|
|
|
, 1 |
≤ x ≤ e . |
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Поэтому
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
J = ∫x2 |
|
|
|
dx = ∫x 1+ x2 dx = |
1 |
∫ |
|
1+ x2 d(1+ x2 ) = |
1 |
(1+ x2 ) |
|
|
|
|
2 |
|
= |
1 |
(1+ e2 ) |
|
|
− |
|
1 |
2 |
2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Пример 9. J = |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds , где |
L - кривая y = |
y = t |
|
|
. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫L x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(xt′)2 + (yt′)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ds = |
|
|
dt = (2t)2 + (3t2 )2 dt = t |
4 + 9t2 dt . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
J = ∫ |
(t |
) |
|
t |
|
4 + 9t2 dt =∫t |
|
4 + 9t2 dt = |
|
1 |
∫ |
|
4 + 9t2 d(4 + 9t2 )= |
1 |
|
2 |
(4 + 9t2 ) |
|
|
|
|
= |
1 |
|
(132 |
|
− 4 |
2 |
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 |
|
18 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
(t |
|
) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
18 3 |
|
|
|
|
0 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
132 − 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1 |
3−x |
0 |
3−x |
|||||||||||||
1. ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
8. ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|||||||||||||||
0 |
2x2 |
− |
3 |
2x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
25−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
4 |
|
|
25− y2 |
||||||||||||
9. ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
||||||||||||||||
0 |
|
|
3x |
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3y |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
2 |
y+3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
3 16y |
||||||||||||||
3. ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
10. ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|||||||||||||||
0 |
2 y2 |
|
0 |
|
|
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x
4.∫dx∫ f (x, y)dy .
10
0x+3
5.∫dx ∫ f (x, y)dy .
−1 |
2x2 |
13− y
6.∫dy ∫ f (x, y)dx .
02 y2
1x2 +1
7. ∫dx ∫ f (x, y)dy .
0−1
158
Вычислить двойные интегралы по соответствующим областям.
11.∫∫(x + 2y)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями x = 0, x = 2, y = 0, y = 3.
D
12. |
∫∫x2 ydxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = 2x, y = 0,x = 1. |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
13. |
∫∫(x2 − y)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = x3 , y = 0, x = 2. |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ xydxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = |
|
|
||||
14. |
|
x |
, y = 0, x = 4. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
15. |
∫∫(y − 2x)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = 2, y = x, x = 0. |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
16. |
∫∫xy2dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = x3 , y = 8, x = 0. |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
Перейти к полярным координатам, вычислить. |
|
|
|
|
|||
17.∫∫ xydxdy, где (D)-область, ограниченная линией x2 |
+ y2 |
= 1, x ≥ 0, y ≥ 0. |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
18. |
∫∫ ydxdy,где (D)-область, ограниченная линиями x2 |
+ y2 |
= 4, y = 1;(y ≥ 1). |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
19. ∫∫x2dxdy,где (D)-область, ограниченная линиями x2 + y2 = 9, x = 0;(x ≥ 0). |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
20. ∫∫xdxdy, где (D)-область, ограниченная линией x2 + y2 ≤ 2x. |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
21. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. |
|
|
|||||
1. |
xy = 4, y = x,x = 4. |
8. (x2 + y2 )3 = 2x2 + y2 . |
|||||
2. |
y = x2 ,4y = x2 , y = 4. |
9. (x2 + y2 )5 = x3 y. |
|||||
3. |
y = x2 ,4y = x2 , x = 2, x = −2. |
10. (x2 + y2 )2 = xy. |
|||||
4. |
y2 = 4 + x, x + 3y = 0. |
11. ρ = 2 − cosϕ. |
|
|
|||
5. |
y = x2 − 2, y = x. |
12. |
ρ = sinϕ. |
|
|
||
6. |
y = ln x, x − y = 1, y = −1. |
13. |
ρ = cos2ϕ. |
|
|
||
7. |
(x2 + y2 )3 = x2 . |
|
|
|
|
|
|
22. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: |
|||||||
1. |
z = x2 + y2 ; x + y = 4; x = 0;z = 0; y = 0. |
6. z = 4 − y2 ; x = 0; x = 2;z = 0. |
|||||
2. |
x + y + z = 3; y2 = x; x = 1;z = 0; y = 0. |
7. x2 + y2 = 4; x + y + z = 4;z = 0. |
|||||
3. |
z = x2 + y2 ; y = x2 ; y = 1;z = 0. |
8. x2 + y2 = 2x; x + z = 6;z = 0. |
|||||
4. |
z = 1− x2 − y2 ; x2 + y2 = 1;z = 1. |
9. z = x2 + 2y2 ; y = x; y = 2x;z = 0; x = 1. |
|||||
5. |
z = x2 ; y = 0; x + y = 1;z = 0. |
10. |
x2 + y2 + z2 = 4;z ≥ 1. |
23. Вычислить следующие криволинейные интегралы по соответствующим кривым:
159
1. |
∫ xdy − ydx, где (L)- есть верхняя половина эллипса x = acost, y = bsint, |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пробегаемая против хода часовой стрелки. |
|||||||||||
2. |
∫(x2 − y)dx + (x + y)dy, где (L)- есть треугольник с вершинами в точках О(0;0), |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(1;0), В(0;1), пробегаемый против хода часовой стрелки. |
|||||||||||
3. |
∫2xdy + ydx, |
где (L)- есть дуга параболы y2 = x от точки А(1;1) до точки |
|||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(4;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∫ |
y2 |
+ 1 |
dx − |
|
x |
dx, где (L)- есть отрезок прямой, соединяющей точку А(1;2) с |
||||
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
( L) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точкой В(2;4). |
|
|
|||||||||
5. |
∫2xy3dx + 3x2 y2dy, вдоль любой кривой, соединяющей точки А(1;2) и В(2;4). |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
ydx − xdy |
где (L)- есть окружность x = Rcost, y = Rsint, пробегаемая по ходу |
||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часовой стрелки. |
|||||||||||
7. |
∫(x2 − y)dx + (y2 − x)dy, вдоль любой кривой, соединяющей точки А(0;0) и |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(3;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
∫(x − y)dx + (x + y)dy, где (L)- есть окружность x = Rcost, y = Rsint, пробегаемая |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
против хода часовой стрелки. |
|||||||||||
9. |
∫ |
ydx + |
x |
dy, |
где (L)- есть дуга кривой y = e− x от точки А(0;1) до точки В(-1;е). |
||||||
|
|||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
∫(3x2 y + 1)dx + (x3 − 2)dy, где (L)- дуга кубической параболы, соединяющей |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки А(1;1) и В(2;8).
11. ∫ xds, где (L)- есть дуга кривой y = x2 , соединяющей точки А(1;0,5) и В(2;2).
( L)
2
12. |
∫ yds, где (L)- есть дуга кривой y = |
x3 |
, соединяющей точки А(0;0) и В(3;9). |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
( L) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
y |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
1 |
|
13. |
|
ds, где (L)- есть дуга кривой y = |
|
|
, соединяющей точки А(1; |
) и |
||||||
x |
3 |
|
4 |
4 |
||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(2;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
∫ y2ds, где (L)- есть дуга кривой y = ex , |
соединяющей точки А(0;1) и В(1;e) . |
||||||||||
|
( L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2sint, |
π |
|
|
|||||
15. |
∫ xyds,где (L)- есть дуга кривой |
|
|
0 ≤ t ≤ |
. |
|
|
|||||
|
( L) |
|
|
y = 2cost, |
2 |
|
|
160