3.2 Определение минимального количества измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положительном исходе. Задача сводится к уста­новлению минимального объема выборки (числа измерений) N_minпри заданных значениях доверительного интервала 2mи доверительной вероятности. При выполнении измерений необходимо знать их точность:

, (3.7)

где s₀– среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклоненияs,

. (3.8)

Значение s₀часто называютсредней ошибкой.Дове­рительный интервал ошибки измеренияDопределяется аналогично для измерений. С помощьюtлегко определить доверительную вероятность ошибки измере­ний из табл. П1.

В исследованиях часто по заданной точности Dи до­верительной вероятности измерения определяют мини­мальное количество измеренийN_min, гарантирующих требуе­мые значенияDи р_д.

При N_min =nполучаем

(3.9)

где k_в– коэффициент вариации (изменчивости), %;

D– точность измерений, %.

Для определения N_minпринимается такая по­следовательность вычислений:

1. проводится предвари­тельный эксперимент с количеством измерений п,кото­рое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50;

2. вычисляется среднеквадратичное отклоне­ние sиз (3.1);

3. в соответствии с поставлен­ными задачами эксперимента устанавливается требуе­мая точность измерений D, которая не должна превышать точности прибора;

4. устанавливается нор­мированное отклонение t,значение которого обычно за­дается (зависит также от точности метода);

5. по фор­муле (3.9) определяют N_minи тогда в дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньшеN_min..

Оценки измерений с помощью sиs₀по приведенным методам справедливы приn>30.

Для нахождения гра­ницы доверительного интервала при малых значениях применяют следующий метод.

Для малой выборки доверительный интервал

(3.10)

где a_cт – коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. П2 в зависимости от значения доверительной ве­роятности р_д.

Зная m_ст, можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки

(3.11)

3.3 Проверка наличия грубых ошибок ряда

В процессе обработки экспериментальных данных сле­дует исключить грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерении. ­Известно несколько ме­тодов определения грубых ошибок статистического ряда.

Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм: разброс случайных величин от среднего значения не дол­жен превышать значения трех среднеквадратичных отклонений

. (3.12)

Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала.

Пусть име­ется статистический ряд малой выборки, подчиняющий­ся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам

, (3.13)

где x_max,x_min– наибольшее и наименьшее значения изпизмерений.

В табл. П3 приведены максимальные значения b_max, возника­ющие вследствие статистического разброса, в зависимости от доверитель­ной вероятности р_д.

Если b₁>b_mах, то значение x_mахнеобходимо исключить из ряда как грубую погрешность; приb₂>b_mахисключается величинаx_тin.

После исключения грубых ошибок определяют новые значения из (n-1) или (n-2) измерений.

Второй метод установления грубых ошибок основан на использовании критерия В. И. Романовскогои приме­ним также для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следующему.

1. Задаются дове­рительной вероятностью р_ди по табл. П4 в зависимости отп определяется коэффициентq.

2. Вычисляют предельно до­пустимую абсолютную ошибку отдельного измерения

. (3.14)

Если , то измерениеx_maxисключают из ряда наблюдений. Этот метод более требователен к очи­стке ряда.

В случае более глубокого анализаэкспериментальных данных рекомендуется такая последовательность:

1. по­сле получения экспериментальных данных в виде статистического ряда его анализируют и исключают система­тические ошибки;

2. анализируют ряд в целях обнару­жения грубых ошибок:

• устанавливают подо­зрительные значения x_max, x_min;

• определяют средне­квадратичное отклонение s;

• вычисляют по (3.13) критерии b₁,b₂и сопоставляют сb_max, исключают при необходимости из статистического рядаx_max илиx_minи получают новый ряд из новых членов;

3. вычисляют среднеарифметическое ,погрешности отдельных изме­ренийи среднеквадратичное очищенного рядаs;

4. находят среднеквадратичное s₀серии измерений, ко­эффициент вариацииk_в;

5. при малой выборке (n<30) в зависимости от принятой доверительной вероятности р_ди числа членов рядап принимают коэффициент Стьюдентаa_ст; с помощью формулы (3.10) для малой выборки определяют доверительный интервал;

6. устанавливают по (3.11) действительное значение ис­следуемой величины х_д;

7. оценивают относительную погрешность (%) результатов серии измерений при задан­ной доверительной вероятности р_д:

. (3.15)