Teoriya_veroyatnostey_Nosovskaya

n = A75 = 7 × 6 ×5 = 210.

11

П р и м е р 9. Имеем девять одинаковых по размеру карточек, на каждой из которых написана одна из цифр:1, 2, 3,…,9. Наугад берут пять карточек, и выкладывают в один ряд. Какова вероятность, что при этом получим число 1357?

Р е ш е н и е.

Событие А={число 1357}. Различные комбинации четырех цифр из имеющихся девяти цифр – это размещения, так как могут отличаться как составом, так и порядком входящих цифр. Значит, количество всех элементарных событий равно числу размещений из девяти цифр по четыре цифры:

n = A94 = 9 ×8 ×7 × 6 = 3024.

Благоприятствующим событию А будет только одно элементарное событие, т.е. m=1. Согласно (1) имеем:

P( A) = m = 1 . ♦ n 3024

П р и м е р 10. Буквы Е, М, О, С, Т, Ь, Я написаны на отдельных карточках. Ребенок берет в случайном порядке и прикладывает одну к другой 5 карточек. Какова вероятность того, что получится слово «СЕМЬЯ»?

Р е ш е н и е.

Событие А={слово «СЕМЬЯ»}. Различные комбинации пяти букв из имеющихся семи букв – это размещения, так как могут отличаться как составом, так и порядком входящих букв. Значит, количество всех элементарных событий равно числу размещений из семи букв по пять:

Благоприятствующим событию А будет только одно элементарное событие, т.е. m=1. Таким образом, вероятность

того, что получится слово «СЕМЬЯ»: P( A) =		m	=		1	. ♦
		n
			210
Если k = n , то	получаем комбинации		из		n		элементов,
которые называются перестановки.
Перестановки	– это комбинации из				n		элементов,

отличающиеся друг от друга порядком входящих в них элементов.

12

Число перестановок вычисляется	по формуле:
Pn = n! ,	(5)

где n принимает целые неотрицательные значения. Так как n! = (n -1)!× n ,

то при n = 1 имеем: 1! = 0! . Значит, 0! = 1 .

П р и м е р 11. На каждой из пяти одинаковых карточек записана одна из букв

Б, Г, Е, Р.

Какова вероятность того что карточки, наугад выложенные в ряд, образуют слово «ГЕРБ»?

Р е ш е н и е.

Событие А={слово «ГЕРБ»}. Количество всех элементарных событий равно числу перестановок из данных четырех букв:

n = 4! = 1× 2 ×3× 4 = 24 .

Количество элементарных событий, благоприятствующих появлению события А (слово «ГЕРБ»): m = 1.

Используя классическое определение вероятности (1), получим:

P( A) = m = 1 = 1 . ♦ n 4! 24

Сочетания – это комбинации по k элементов, выбранных из данных n элементов, причем 0 £ k £ n , отличающиеся друг от друга составом входящих в них элементов.

Число сочетаний вычисляется по формуле:

				k сомножителей
Cnk =	n!		или Cnk =	n ×(n -1) ×(n - 2)	×…×(n - k +1)	, (6)
	k !(n - k )!			k !

Свойства числа сочетаний:

1) Cn0 = Cnn = 1 ; 2) Cn1 = Cnn −1 = n ;

3) Cnk = Cnn −k , если k > n .

2

13

П р и м е р 12. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={двое учащихся, вызванных к доске– девушки}. Вероятность этого события найдем при помощи классического определения вероятности (1). Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске учащихся не играет роли. Число всех возможных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать двух учащихся из 30.

30	= 12 +	18
ВСЕГО УЧАЩИХСЯ	ЮНОШЕЙ	ДЕВУШЕК
↓		↓
2		2
ВСЕГО ВЫБРАНО		ДЕВУШКИ

Таким образом,

n= C302 = 30 × 29 = 145 . 2!

Для того чтобы определить число благоприятных исходов, определим число способов выбора двух девушек из 18.

m= C182 = 18 ×17 = 51 . 2!

Значит,

P( A) = m = C182 = 51 .♦

n C302 145

П р и м е р 13. В урне имеется 8 белых и 4 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 5 шаров будет

2черных шара.

Ре ш е н и е.

Пусть событие А={среди наугад взятых 5 шаров будет 2 черных шара}. Всего в урне находится 12 шаров (8 белых+4 черных). По условию задачи порядок извлечения шаров из урны не играет роли. Число всех возможных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать пять шаров из 12.

12	=	8	+	4
ВСЕГО ШАРОВ		БЕЛЫХ		ЧЕРНЫХ
↓	=	↓	+	↓
5		3		2

ВСЕГО ИЗВЛЕЧЕНО

БЕЛЫХ

ЧЕРНЫХ

14

Таким образом, n= C125 = 12 ×11×10 ×9 ×8 = 792 .

5!

Для того чтобы определить число благоприятных исходов, определим сначала число способов выбора двух черных шаров из 4. Их будет C42 . Но это еще не все: к каждой комбинации из

двух черных шаров следует присоединить комбинацию из трех белых (так как всего выбрано 5 шаров) – C83 . По правилу

произведения общее число случаев, благоприятствующих событию В, равно

	m= C42 ×C83			=	4 ×3			×	8 × 7 × 6		= 6 ×56 = 336 .
				2!						3!
Значит, P( A) =	m	=	C42 ×C83	=		14	.♦
	n		C5
				33
		12

П р и м е р 14. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={остались нераспроданными холодильники одной марки}. Общее число способов, которыми можно

получить

4 (непроданных)

холодильника из

25

равно:

n = С254 =

25 × 24 × 23 × 22

= 12650. Количество способов,

которыми

4!

можно

получить 4 холодильника первой марки

из

5,

равно

m1 = С54

= 5 ; второй марки из 7 –

m2 = С74 =

7 ×6 ×5 × 4

= 35 ; третьей

4!

марки –

m3

= С134 =

13 ×12 ×11×10

= 715 .

4!

Число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, по правилу суммы равно: m = m1 + m2 + m3 = 5 + 35 + 715 = 755 .

Тогда, используя формулу (1), получим:

P( A) =	m	=		755	=	151	. ♦
	n		12650 2530

P3 = 3!

15

Рассмотрим перестановки с повторениями.

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й – n2 раз, и т.д., k-й элемент – nk раз, причем n1 + n2 + ... + nk = n , то такие перестановки называют перестановками из n

элементов с повторениями.

Число перестановок из n элементов с повторениями равно

	Pn (n1 , n2 ,..., nk ) =	n!		(7)
		n1 !n! nk !

П р и м е р 15. На отдельных одинаковых карточках записана одна из букв

А, А, А, Н, Н, С.

Какова вероятность того, что карточки, наугад выложенные в ряд, образуют слово «АНАНАС»?

Р е ш е н и е.

I способ. Событие А={слово «АНАНАС»}. Всего имеем шесть карточек, из которых на трех написана буква А, на двух – буква Н и на одной – С. Значит, общее количество всех случаев равно числу перестановок из данных шести элементов с повторениями

n1=3 и n2=2 по формуле (7) будет равно: n =	6!	=	4 ×5	× 6	= 60 .
3!2!		2

Количество элементарных событий, благоприятствующих появлению события А: m=1. Используя классическое определение вероятности (1), получим:

P( A) = m = 1 . n 60

II способ. Общее число всех элементарных событий равно числу перестановок из данных шести элементов: n = 6! = 720 .

Так как перестановка трех букв А, осуществляемая способами и перестановка двух букв Н ( P2 = 2! способами) не

меняет собранное слово «АНАНАС», то по правилу произведения число случаев, благоприятствующих событию А:

m = 3!× 2! = 12 .

Тогда

P( A) = m = 12 = 1 . ♦ n 720 60

16

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В (или произошло событие А, или произошло событие В, или произошли оба события А и В).

Суммой нескольких событий, соответственно,

называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Н а п р и м е р: Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) .

(8)

П р и м е р 16. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={у изделия не выдержан первый параметр}, событие B={у изделия не выдержан второй параметр}, событие С={изделие не удовлетворяет стандарту}.

P( A) = 11 , P(B) = 9 , P( AB) = 3 . 25 25 25

Наступление события С означает, что у взятого наудачу изделия либо не выдержан первый параметр, либо второй, либо оба вместе, т.е. С = А+В. Согласно формуле (8),

P(С) = 11 + 9 − 3 = 17 .♦ 25 25 25 25

17

Если события A и B – несовместные (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе: А∩В= ), то событие А+В

состоит в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Поэтому

P( A + B) = P( A) + P(B) .

(9)

П р и м е р 17. Задано множество целых чисел Ω={1, 2, 3, …, 30}. Наудачу из этого множества берут одно число. Какова

вероятность того, что оно окажется кратным 5 или 7? Р е ш е н и е.

Пусть событие А={число кратно 5}, событие В={число кратно 7}. Необходимо найти вероятность события А+В. Пространство Ω содержит n=30 элементарных исходов. Исходы, благоприятствующие событию А={5, 10, 15, 20, 25, 30}, т.е.

m1=6 и P( A) =	6	=	1	. Аналогично, В={7, 14, 21, 28}, m2 = 4 и
30		5

P(В) = 4 = 2 . События А и В несовместны (А∩В= ). Таким

30 15

образом, согласно формуле (9),

P( A + B) = P( A) + P(B) = 1 + 2 = 1 .♦ 5 15 3

Сумма вероятностей событий А1, А2,…, Ап, образующих

полную группу, равна единице:

P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) + ... + P ( An ) = 1.

Противоположные события образуют полную группу. Если исходное событие обозначено А, тогда противоположное ему событие – A . Тогда

P( A) + P( A) = 1 .

При решении задач часто вычисляют вероятность противоположного события A , а затем находят вероятность исходного события А по формуле

P( A) = 1 − P(		) .	(10)
	A

П р и м е р 18. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

18

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={вынуты шары разных цветов}. Событие А , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Число всех возможных исходов опыта найдем по формуле:

п = С85 =	8!	=	6 × 7	×8	= 56,
5!×3!		6

а число исходов, благоприятствующих событию А - это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:

							т	А	= С5			= 6.
											6
	Тогда P(		) =	6	=	3	, а P( А) = 1-			3	=		25	. ♦
		А
	56				28				28			28

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В.

Аналогично произведением нескольких событий

называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Н а п р и м е р:

а) Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то событием АВ будет попадание обоих стрелков;

б) Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

Условной вероятностью P(В/А) события В называется вероятность события В при условии, что событие А произошло. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Н а п р и м е р: Пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что и вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз

19

не меняется: P(В) = P( А) = 4 = 1 = 0,125. Если же первая карта в

32 8

колоду не возвращается, то осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из которых только 3

туза. Поэтому P(В / А) = 3 » 0, 097. 31

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:

P ( AB) = P( A) × P(B / A) .	(11)
П р и м е р 19. Из множества чисел 1, 2, 3, …, 9	наугад
берут одно число, а потом из оставшихся – второе.	Какова

вероятность того, что полученное двузначное число будет четным?

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={появление четного двузначного числа}. Обозначим:

В1={появление нечетной цифры при первом извлечении}; В2={появление четной цифры при первом извлечении}; В3={появление четной цифры при втором извлечении}.

Тогда

А = (В1 ∩В3) (В2 ∩В3)

или

А = (В1В3)+(В2В3).

Случайные события В1 и В3, В2 и В3 являются зависимыми, поэтому

P(B1 ) =	5	, P(B2 ) =	4	, P(B3	/ B1 ) =	4	, P(B3	/ B2 ) =	3	.
9		9			8			8

События В1·В3 и В2·В3 являются несовместными, значит

P[(В1В3)+(В2В3)]=P(В1В3) + P(В2В3).

Найдем вероятность события А:

P(А) = P[(В1В3)+(В2В3)]=P(В1В3)+P(В2В3) =

= P(B1)P(B3/B1)+P(B2)P(B3/B2)= 5 × 4 + 4 × 3 = 4 .♦

9 8 9 8 9

20

Если события А и В независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления другого), то

P ( AB) = P( A) × P(B)

(12)

П р и м е р 20. Игральную кость и монету подбрасывают одновременно один раз. Какова вероятность того, что при этом на грани кости выпадет число, кратное 3, а на монете «герб»?

Р е ш е н и е.

Пусть событие А={появление числа, кратного 3}, а событие В={появление «герба»}. Вероятности этих событий соответственно равны:

P( A) = 2 = 1 , P(В) = 1 .

6	3	2
Событие А·В={появление числа,		кратного 3 и появление

«герба»}. Случайные события А и В независимы. Поэтому, согласно (11)

P ( AB) = P( A) × P(B) = 1 × 1 = 1 .♦

3 2 6

П р и м е р 21. Пусть А, В и С – три случайных события. Найти выражения для событий, которые состоят в том, что из событий А, В и С: 1) произошло только А; 2) произошли только А и В; 3) произошли все три события; 4) произошло хотя бы одно событие; 5) произошли не менее двух событий; 6) произошло только одно событие; 7) произошли только два события; 8) ни одно из событий не произошло.

Ре ш е н и е.

1)ABC –« произошло событие А и не произошло событие В и не произошло событие С»− совместное появление событийA, B и C ;

2)ABC –« произошло событие A и произошло событие B и не

произошло событие C»− совместное появление событийA, B и C ;

3)ABC –« произошло событие А и произошло событие В и произошло событие С»− совместное появление событийA, B иC;

4)A + B + C –« произошло событие А или произошло событие В

или произошло событие С»;