Teoriya_veroyatnostey_Nosovskaya

51

58.На девяти карточках написано буквы "м", "с", "к", "н", "э", "о", "и", "т", "о". Найти вероятность того, что наугад выкладывая эти карточки, вы получите слово "экономист".

59.В соревнованиях по легкой атлетике принимают участие 6 учеников восьмого класса, 7 – девятого, 8 – десятого. Найти вероятность того, что по результатам жеребьевки в первую пару бегунов войдут двое учеников из одного класса.

60.В корзине лежат 8 красных и 2 зеленых яблока. Найти вероятность того, что среди четырех взятых яблок будут: а) все красные; б) 2 зеленых яблока.

52

II. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

1.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа он будет около первого станка, равна 0,7; около второго – 0,5; третьего – 0,75. Определить вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют: а) все станки; б) какой-нибудь один станок; в) хотя бы один станок.

2.Вероятность того, что студент ответит на первый из трех экзаменационных вопросов равна 0,95; на второй – 0,9 и на третий – 0,85. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого ему необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса.

3.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий: а) только одно стандартно; б) хотя бы одно стандартно.

4.Строители сдают в эксплуатацию 2 объекта. Вероятность того, что они будут приняты с хорошей оценкой, соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) только один из объектов будет принят; б) оба объекта будут приняты; в) хотя бы один из объектов будет принят с хорошей оценкой.

5.Об аварии на производстве сигнализируют две сирены. Вероятность того, что просигналит первая сирена, равна 0,93; для второй сирены эта вероятность равна 0,9. Определить вероятность того, что при аварии: а) ни одна из сирен не подаст сигнала; б) сигнал подаст только одна сирена.

6.Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% - у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвертого и, наконец, 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у какого-то одного станка; 2) хотя бы у одного станка.

7.В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

53

8.Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет

10очков, равна 0,4, 9 очков - 0,3 и, наконец, 8 или меньше очков - 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

9.На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них

3женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее 2.

10.Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

11.Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Минске, 8 - в Гомеле и 7 - в Витебске. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?

12.12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: 3 - в первый,

3- во второй, 2 - в третий и 4 - в четвертый. Чему равна вероятность того, что данные трое рабочих поедут в один дом отдыха?

13.В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9, для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.

14.Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго - 0,7 и для третьего - 0,75. Найти вероятность по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

15.В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша: 1) хотя бы на один билет; 2) по первому билету денег, а по второму - вещей?

16.Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго - 0,95, третьего -

54

0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

17.При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,01, на третьей - 0,02, на четвертой - 0,03.

18.Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго - 0,91. Найти вероятность поражения цели.

19.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,85. Найти вероятность при следующих условиях: 1) в течение некоторого часа ни один из станков не потребует внимания рабочего; 2) все станки потребуют внимания рабочего.

20.Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка эта вероятность равна 0,8, для третьего - 0,9 и, наконец, для четвертого - 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа по крайней мере один станок потребует к себе внимания рабочего.

21.В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

22.В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

23.Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7, второго 0,8. Какова вероятность попадания в волка? Как изменится результат, если охотники сделают по два выстрела?

24.Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый сигнал, равна 0,25; второй сигнал – 0,38; третий – 0,42. Каждый отдельный сигнал это независимое

55

случайное событие. Найти вероятность того, что корреспондент вообще примет сигнал.

25.Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Найти вероятность того, что в полученной выборке содержится хотя бы одно бракованное изделие.

26.Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два сета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

27.Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.

28.На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них 3 книги по теории вероятностей, 3 – по математическому анализу и 4 – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?

29.Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: 4 с первого, 5 со второго, 7 с третьего и 4 с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?

30.Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы; б) из двух проверенных изделий только одно стандартное?

56

III. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛЫ БАЙЕСА.

1.На двух автоматических линиях изготавливают одинаковые детали: на первой – 30%, на второй – 70%. Вероятность изготовления стандартной детали на первой линии равна 0,9, на второй – 0,5. Все изготовленные на этих линиях детали поступают на склад. Наудачу выбранная деталь, которая изготовлена на одной из линий, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первой линии.

2.Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей его надежность за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных изделий.

3.Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность тог, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

4.В центр статистических исследований поступает информация из трех пунктов: с первого – 50%, со второго – 30%, с третьего – 20% всей информации. Вероятность допустить ошибку при обработке статистических данных в первом пункте равна 0,1, во втором – 0,05, в третьем – 0,15. Какова вероятность того, что полученная центром в данный момент времени информация полностью правильна?

5.Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из 3-х станков с вероятностями

равными р1=0,2; р2 = 0,3; р3=0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке – 0,03, на третьем станке – 0,05. Найти вероятность того, что поступившее в цех после обработки изделие окажется удовлетворяющим техническим условиям.

57

6.Электролампы изготавливаются на 3 заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

7.На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй - 0,2% и третий - 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго - 2000 и с третьего - 2500 деталей.

8.Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

9.Два экономиста заполняют документы, которые складывают в общую папку. Вероятность сделать ошибку для первого экономиста равна 0,1. для второго – 0,2. Первый экономист заполнил 40 документов, второй – 60. Во время проверки наудачу взятый документ оказался с ошибкой. Найти вероятность того, что его составил первый экономист.

10.Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов.

11.На склад поступает продукция 3 фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2% и, наконец, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

12.Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, a y второго - 0,6. В результате первого залпа оказалось одно

58

попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

13.Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело

5дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1 и 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час?

14.25% партии электроламп изготовлено заводом №1, 35% - заводом №2 и 40% - заводом №3. Вероятность брака при изготовлении одной электролампы для завода №1 равняется 0,01, завода №2 – 0,05 и завода №3 – 0,09. Какова вероятность того, что взятая наудачу электролампа окажется бракованной?

15.В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель -–0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это: а) сапоги; б) туфли?

16.Часы, продаваемые в магазине "Секунда", изготавливают на трех заводах. Первый поставляет 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. Из часов первого завода точно указывают время 95%, второго завода – 85%, третьего – 80%. Какова вероятность того, что купленные наудачу часы будут точно указывать время?

17.Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность периода экономического роста 0,65. Какова вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

18.2 автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) первым автоматом; б) вторым автоматом.

19.Имеются 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара.

59

Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

20.В среднем 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

21.В группе 30 студентов. Нужно выучить 35 билетов. Перед экзаменом оказалось, что 9 студентов выучили 35 билетов, 12 – по 25 билетов; 6 – по 20 билетов и 3 студента – по 10 билетов. Случайно выбранный студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что этот студент знал 25 билетов или 20 билетов?

22.Трое рабочих делают одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность труда первого втрое больше, чем второго, а второго в четыре раза меньше, чем третьего. Вероятность изготовления бракованной детали первым рабочим – 0,01; вторым – 0,05; третьим – 0,04. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна?

23.Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

24.Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к гривне, и с вероятностью – 0,75, если доллар подорожает. Вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к гривне, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

25.Среди студентов института 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м их по 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на 1-м курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки,

60

на 2-м – 30%, на 3-м – 35%, на 4-м – 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) – третьекурсник?

26.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,04, на втором - 0,01, а на третьем – 0,07. Производительность первого станка втрое больше производительности второго, а третьего – вдвое меньше, чем производительность второго. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь, которая изготовлена рабочим, бракованная.

27.На предприятии работают две бригады рабочих: первая

производит в среднем 3 4 продукции с процентом брака 4%,

вторая - 14 продукции с процентом брака 6%. Найти

вероятность того, что взятое наугад изделие изготовлено второй бригадой при условии, сто изделие оказалось бракованным.

28.В одном классе 5 отличников, во втором – 3 отличника, а в третьем классе отличников нет. Из наудачу взятого класса выбрали ученика. Найти вероятность того, что он отличник, если в каждом классе учится по 30 детей.

29.На склад поступают однотипные изделия с четырех заводов: 15% - с завода №1, 25% - с завода №2, 40% - с завода №3 и 20% - с завода №4. Во время контроля продукции, которая поступает на склад, установлено, что в среднем брак составляет для завода №1 – 3%, завода №2 – 5%, завода №3 – 8% и завода №4 – 1%. Наугад выбранное изделие со склада оказалось бракованным. Какова вероятность того, что его изготовил завод №1.

30.Трое рабочих изготавливают однотипные детали. Причем за смену первый рабочий изготовил в 1,5 раза больше, чем второй, а второй в 1,8 раза меньше, чем третий. В среднем брак составляет для первого рабочего 4%, для второго и третьего – 1% и 8%. Изготовленные детали размещают в одном ящике. Наудачу взятая одна деталь из ящика оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее изготовил второй рабочий?